Гиперболические функции - Hyperbolic functions

Sinh cosh tanh.svg

В математике , гиперболические функции являются аналогами обычных тригонометрических функций , но определяются с помощью гиперболы , а не круг . Точно так же, как точки (cos t , sin t ) образуют круг с единичным радиусом , точки (cosh t , sinh t ) образуют правую половину единичной гиперболы . Точно так же, как производные sin ( t ) и cos ( t ) равны cos ( t ) и –sin ( t ) , производные sinh ( t ) и cosh ( t ) равны cosh ( t ) и + sinh ( t ) .

Гиперболические функции встречаются при вычислении углов и расстояний в гиперболической геометрии . Они также встречаются в решениях многих линейных дифференциальных уравнений (таких как уравнение, определяющее цепную связь ), кубических уравнений и уравнения Лапласа в декартовых координатах . Уравнения Лапласа важны во многих областях физики , включая теорию электромагнетизма , теплопередачу , гидродинамику и специальную теорию относительности .

Основные гиперболические функции:

из которых получены:

соответствующие производным тригонометрическим функциям.

В обратных гиперболических функциях являются:

  • гиперболический синус области "arsinh" (также обозначаемый "sinh −1 ", "asinh" или иногда "arcsinh")
  • гиперболический косинус площади "arcosh" (также обозначается "ch − 1 ", "acosh" или иногда "arccosh")
  • и так далее.
Луч, проходящий через единичную гиперболу x 2 - y 2 = 1 в точке (ch a , sinh a ) , где a - это удвоенная площадь между лучом, гиперболой и осью x . Для точек на гиперболе ниже оси x площадь считается отрицательной (см. Анимированную версию со сравнением с тригонометрическими (круговыми) функциями).

Гиперболические функции принимают вещественный аргумент, называемый гиперболическим углом . Размер гиперболического угла в два раза больше площади его гиперболического сектора . Гиперболические функции могут быть определены в терминах катетов прямоугольного треугольника, покрывающего этот сектор.

В комплексном анализе гиперболические функции возникают как мнимые части синуса и косинуса. Гиперболический синус и гиперболический косинус - целые функции . В результате другие гиперболические функции мероморфны во всей комплексной плоскости.

По теореме Линдемана – Вейерштрасса гиперболические функции имеют трансцендентное значение для любого ненулевого алгебраического значения аргумента.

Гиперболические функции были введены в 1760-е годы независимо Винченцо Риккати и Иоганн Генрих Ламберт . Риккати использовал Sc. и Cc. ( sinus / cosinus circare ) для обозначения круговых функций и Sh. и гл. ( sinus / cosinus hyperbolico ) для обозначения гиперболических функций. Ламберт принял имена, но изменил аббревиатуры на те, которые используются сегодня. В настоящее время также используются сокращения sh , ch , th , cth , в зависимости от личных предпочтений.

Определения

син , кош и тан
CSCH , сечь и COTH

Существуют различные эквивалентные способы определения гиперболических функций.

Экспоненциальные определения

sinh x составляет половину разницы между e x и e - x
сЬ х является среднее по е х и е - х

В терминах экспоненциальной функции :

  • Гиперболический синус: нечетная часть экспоненциальной функции, то есть
  • Гиперболический косинус: четная часть экспоненциальной функции, то есть
  • Гиперболический тангенс:
  • Гиперболический котангенс: при x ≠ 0 ,
  • Гиперболический секанс:
  • Гиперболический косеканс: для й ≠ 0 ,

Определения дифференциальных уравнений

Гиперболические функции могут быть определены как решения дифференциальных уравнений : гиперболический синус и косинус являются единственными решениями ( s , c ) системы

такие, что s (0) = 0 и c (0) = 1 .

(Начальные условия необходимы, потому что каждая пара функций формы решает два дифференциальных уравнения.)

sinh ( x ) и ch ( x ) также являются единственным решением уравнения f  ″ ( x ) = f  ( x ) , таким что f  (0) = 1 , f  ′ (0) = 0 для гиперболического косинуса и f  (0) = 0 , f  ′ (0) = 1 для гиперболического синуса.

Сложные тригонометрические определения

Гиперболические функции также могут быть выведены из тригонометрических функций со сложными аргументами:

  • Гиперболический синус:
  • Гиперболический косинус:
  • Гиперболический тангенс:
  • Гиперболический котангенс:
  • Гиперболический секанс:
  • Гиперболический косеканс:

где i - мнимая единица с i 2 = −1 .

Приведенные выше определения связаны с экспоненциальными определениями через формулу Эйлера (см. § Гиперболические функции для комплексных чисел ниже).

Характерные свойства

Гиперболический косинус

Можно показать, что площадь под кривой гиперболического косинуса (на конечном интервале) всегда равна длине дуги, соответствующей этому интервалу:

Гиперболический тангенс

Гиперболический тангенс - это (единственное) решение дифференциального уравнения f  ′ = 1 - f 2 , где f  (0) = 0 .

Полезные отношения

Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все они по форме похожи на тригонометрические тождества . В самом деле, правило Осборна гласит , что один может преобразовать любой тригонометрическое тождество для , , или и в гиперболической идентичности, дополнив его полностью в терминах интегральных степеней синусов и косинусов, изменение синуса в зп и косинуса к дубинкой, а переключение знака каждого члена, содержащего произведение двух зол.

Нечетные и четные функции:

Следовательно:

Таким образом, ch x и sech x - четные функции ; остальные - нечетные функции .

Гиперболический синус и косинус удовлетворяют:

последний из которых похож на тригонометрическое тождество Пифагора .

У одного также есть

для других функций.

Суммы аргументов

особенно

Также:

Формулы вычитания

Также:

Формулы половинного аргумента

где sgn - знаковая функция .

Если x ≠ 0 , то

Квадратные формулы

Неравенства

В статистике полезно следующее неравенство:

Это можно доказать, почленно сравнивая ряды Тейлора этих двух функций.

Обратные функции как логарифмы

Производные


Вторые производные

Каждая из функций sinh и ch равна своей второй производной , то есть:

Все функции с этим свойством являются линейными комбинациями из зпа и дубинки , в частности, экспоненциальные функции и .

Стандартные интегралы

Следующие интегралы можно доказать с помощью гиперболической замены :

где C - постоянная интегрирования .

Выражения ряда Тейлора

Можно явно выразить ряд Тейлора в нуле (или ряд Лорана , если функция не определена в нуле) вышеуказанных функций.

Этот ряд сходится для любого комплексного значения x . Так как функция зп х является нечетным , только нечетными индексы для й происходят в ряде Тейлора.

Этот ряд сходится для любого комплексного значения x . Поскольку функция ch x является четной , в ее ряд Тейлора входят только четные показатели для x .

Сумма рядов sinh и ch является бесконечным рядным выражением экспоненциальной функции .

Следующие серии сопровождаются описанием подмножества их области сходимости , где ряд сходится, а его сумма равна функции.

куда:

является п - го числа Бернулли
- n- е число Эйлера

Сравнение с круговыми функциями

Круг и гиперболой касательной в точке (1,1) отображения геометрии круговых функций с точки зрения кругового сектора области ¯u и гиперболических функций в зависимости от гиперболического сектора области ¯u .

Гиперболические функции представляют собой расширение тригонометрии за пределы круговых функций . Оба типа зависят от аргумента : кругового или гиперболического угла .

Поскольку площадь кругового сектора с радиусом r и углом u (в радианах) равна r 2 u / 2, она будет равна u, когда r = 2 . На диаграмме такая окружность касается гиперболы xy = 1 в точке (1,1). Желтый сектор обозначает площадь и угловую величину. Точно так же желтый и красный секторы вместе обозначают площадь и величину гиперболического угла .

Катеты двух прямоугольных треугольников с гипотенузой на луче, определяющем углы, имеют длину 2 раза больше круговой и гиперболической функций.

Гиперболический угол является инвариантной мерой по отношению к отображению сжатия , так же как круговой угол инвариантен относительно вращения.

Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не содержащими комплексных чисел.

График функции a  ch ( x / a ) - это цепная линия, кривая, образованная однородной гибкой цепью, свободно свисающей между двумя фиксированными точками под действием равномерного гравитации.

Связь с экспоненциальной функцией

Разложение экспоненты на четную и нечетную части дает тождества

а также

Первый аналогичен формуле Эйлера

Кроме того,

Гиперболические функции для комплексных чисел

Поскольку экспоненциальная функция может быть определена для любого сложного аргумента, мы также можем расширить определения гиперболических функций до сложных аргументов. ФУНКЦИИ SINH  г и сп  г затем голоморфны .

Связь с обычными тригонометрическими функциями задается формулой Эйлера для комплексных чисел:

так:

Таким образом, гиперболические функции периодичны относительно мнимой составляющей с периодом ( для гиперболического тангенса и котангенса).

Гиперболические функции на комплексной плоскости
Комплекс Sinh.jpg
Комплекс Cosh.jpg
Комплекс Tanh.jpg
Комплекс Coth.jpg
Комплекс Sech.jpg
Комплекс Csch.jpg

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки