Четырехугольник Саккери - Saccheri quadrilateral

Четырехугольники Саккери

Саккери четырехугольник (также известный как четырехугольник Хайяма-Саккери ) представляет собой четырехугольник с двумя равными сторонами , перпендикулярной к основанию. Он назван в честь Джованни Джероламо Саккери , который широко использовал его в своей книге Euclides ab omni naevo vindicatus (буквально «Евклид, свободный от всех недостатков»), впервые опубликованной в 1733 году, в попытке доказать параллельный постулат с использованием метода Reductio ad absurdum .

Первое известное рассмотрение четырехугольника Саккери было сделано Омаром Хайямом в конце 11 века, и его иногда можно назвать четырехугольником Хайяма-Саккери.

У четырехугольника Саккери ABCD стороны AD и BC (также называемые сторонами) равны по длине и также перпендикулярны основанию AB. Верхний CD - это вершина или верхнее основание, а углы в C и D называются вершинами.

Преимущество использования четырехугольников Саккери при рассмотрении постулата параллельности состоит в том, что они очень четко определяют взаимоисключающие варианты:

Углы вершины прямые, тупые или острые?

Как оказывается:

• когда углы вершины прямые, существование этого четырехугольника эквивалентно утверждению, сформулированному в пятом постулате Евклида.
• Когда углы вершины острые, этот четырехугольник приводит к гиперболической геометрии , и
• когда вершины тупые, четырехугольник приводит к эллиптической или сферической геометрии (при условии, что в постулаты внесены также некоторые другие модификации).

Сам Саккери, однако, считал, что и тупые, и острые случаи могут оказаться противоречивыми . Он действительно показал, что тупой случай противоречив, но не смог должным образом рассмотреть острый случай.

История

Четырехугольники Саккери впервые были рассмотрены Омаром Хайямом (1048–1131) в конце 11 века в книге I « Объяснение трудностей постулатов Евклида» . В отличие от многих комментаторов Евклида до и после него (включая, конечно, Саккери), Хайям не пытался доказать параллельный постулат как таковой, но вывести его из эквивалентного постулата, который он сформулировал из «принципов философа» ( Аристотель ):

Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и две сходящиеся прямые линии не могут расходиться в том направлении, в котором они сходятся.

Затем Хайям рассмотрел три случая правильного, тупого и острого, которые могут принимать вершины четырехугольника Саккери, и после доказательства ряда теорем о них, он (правильно) опроверг тупые и острые случаи на основе своего постулата и, следовательно, вывел классический постулат Евклида.

Лишь 600 лет спустя Джордано Витале продвинулся вперед на Хайяме в своей книге Euclide restituo (1680, 1686), когда он использовал четырехугольник, чтобы доказать, что если три точки равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD везде равноудалены.

Сам Саккери основал все свое длинное и в конечном итоге ошибочное доказательство постулата параллельности вокруг четырехугольника и его трех случаев, доказывая множество теорем о его свойствах.

Четырехугольники Саккери в гиперболической геометрии

Пусть ABCD - четырехугольник Саккери, имеющий AB в качестве основания , CD как вершину, а CA и DB как равные стороны, перпендикулярные основанию. Следующие свойства действительны в любом четырехугольнике Саккери в гиперболической геометрии :

• В углы на высшем уровне (углы при C и D ) равны и острый.
• Вершина длиннее основания .
• Два четырехугольника Саккери равны, если:
  • базовые сегменты и вершинные углы совпадают
  • сегменты вершины и углы вершины совпадают.
• Отрезок линии, соединяющий середину основания и середину вершины:
  • Перпендикулярно основанию и вершине,
  • это единственная линия симметрии четырехугольника,
  • это самый короткий отрезок, соединяющий базу и вершину,
  • перпендикулярна линии, соединяющей середины сторон,
  • делит четырехугольник Саккери на два четырехугольника Ламберта .
• Отрезок, соединяющий середины сторон, не перпендикулярен ни одной из сторон.

Уравнения

В гиперболической плоскости постоянной кривизны вершина четырехугольника Саккери может быть вычислена по опоре и основанию по формуле ${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle b}$

${\ Displaystyle \ сш s = (\ сш б-1) \ сш ^ {2} л + 1 = \ сш б \ cdot \ сш ^ {2} л- \ зп ^ {2} л}$

${\ displaystyle \ sinh \ left ({\ frac {s} {2}} \ right) = \ cosh \ left (l \ right) \ sinh \ left ({\ frac {b} {2}} \ right)}$

Тайлинги в модели диска Пуанкаре

Замощения на диске модели Пуанкаре в плоскости , имеющей EXIST гиперболического Саккери четырехугольников в фундаментальных областях . Помимо двух прямых углов, у этих четырехугольников есть острые вершины. Плитки демонстрируют симметрию * nn22 ( орбифолд ) и включают:

* 3322 симметрия

* ∞∞22 симметрия

Смотрите также

• Четырехугольник Ламберта

Примечания

использованная литература

• Кокстер, HSM (1998), Неевклидова геометрия (6-е изд.), Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-522-4
• Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
• М. Дж. Гринберг , Евклидовы и неевклидовы геометрии: развитие и история , 4-е издание, WH Freeman, 2008.
• Джордж Э. Мартин, Основы геометрии и неевклидовой плоскости , Springer-Verlag, 1975 г.