Предельная параллель - Limiting parallel

Две линий через заданную точку Р и предельные параллельную линию R .

В нейтральной или абсолютной геометрии , а также в гиперболической геометрии может быть много прямых, параллельных данной прямой, проходящих через точку не на прямой ; однако на плоскости две параллели могут быть ближе, чем все другие (по одной в каждом направлении ). ${\ displaystyle l}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle R}$

Таким образом, полезно дать новое определение параллелям в нейтральной геометрии. Если есть ближайшие параллели к данной прямой, они известны как предельная параллель , асимптотическая параллель или горопараллель ( horo от греческого : ὅριον - граница).

Для лучей отношение предельной параллельности является отношением эквивалентности , которое включает в себя отношение эквивалентности котерминальности.

Если в гиперболическом треугольнике пары сторон предельно параллельны, то треугольник является идеальным треугольником .

Определение

Луч Aa является предельной параллелью Bb , записанной:${\ displaystyle Aa ||| Bb}$

Луч является лимитирующим параллельно лучу , если они coterminal или если они лежат на разных линиях не равна линии , они не встречаются, и каждый луч в интерьере угла встречает луч . ${\ displaystyle Aa}$${\ displaystyle Bb}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle BAa}$${\ displaystyle Bb}$

Свойства

Четкие линии, несущие ограничивающие параллельные лучи, не встречаются.

Доказательство

Предположим, что прямые, несущие различные параллельные лучи, встретились. По определению они не могут встретиться, на той стороне, на которой они находятся. Затем они должны встретиться на противоположной стороне , назовите эту точку . Итак . Противоречие. ${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ angle CAB + \ angle CBA <2 {\ text {right angles}} \ Rightarrow \ angle aAB + \ angle bBA> 2 {\ text {right angles}}}$

Смотрите также

• орицикл , в гиперболической геометрии на кривой , чьи нормали ограничивают параллели
• угол параллельности

Ссылки