Идеальный треугольник - Ideal triangle

Три идеальных треугольника в модели диска Пуанкаре

Два идеальных треугольника в модели полуплоскости Пуанкаре

В гиперболической геометрии идеал треугольник является гиперболическим треугольник которого три вершины , все идеальные точки . Идеальные треугольники также иногда называют тройными асимптотическими треугольниками или тройными асимптотическими треугольниками . Вершины иногда называют идеальными . Все идеальные треугольники конгруэнтны .

Характеристики

Идеальные треугольники обладают следующими свойствами:

• Все идеальные треугольники конгруэнтны друг другу.
• Все внутренние углы идеального треугольника равны нулю.
• Идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
• Идеальный треугольник - это самый большой треугольник в гиперболической геометрии.

В стандартной гиперболической плоскости (поверхность с постоянной гауссовой кривизной -1) мы также обладаем следующими свойствами:

• Любой идеальный треугольник имеет площадь π.

Расстояния в идеальном треугольнике

Размеры, относящиеся к идеальному треугольнику и вписанной в него окружности, изображенные в модели Бельтрами – Клейна (слева) и модели диска Пуанкаре (справа)

• Вписанная окружность до идеального треугольника имеет радиус

${\ displaystyle r = \ ln {\ sqrt {3}} = {\ frac {1} {2}} \ ln 3 = \ operatorname {artanh} {\ frac {1} {2}} = 2 \ operatorname {artanh } (2 - {\ sqrt {3}}) =}$ ${\ displaystyle = \ operatorname {arsinh} {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {3}} = \ operatorname {arcosh} {\ frac {2} {3}} {\ sqrt {3}} \ примерно 0,549}$ .

Расстояние от любой точки треугольника до ближайшей стороны треугольника меньше или равно радиусу r, указанному выше, с равенством только для центра вписанной окружности.

• Вписанный круг встречается с треугольником в трех точках касания, образуя равносторонний контактный треугольник с длиной стороны, где - золотое сечение .${\ displaystyle d = \ ln \ left ({\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {{\ sqrt {5}} - 1}} \ right) = 2 \ ln \ varphi \ приблизительно 0,962}$${\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$

Окружность с радиусом d вокруг точки внутри треугольника будет встречаться или пересекать по крайней мере две стороны треугольника.

• Расстояние от любой точки на одной стороне треугольника до другой стороны треугольника равно или меньше , с равенством только для точек касания, описанных выше.${\ displaystyle a = \ ln \ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) \ приблизительно 0,881}$

также высота в треугольнике Швейкарт .

Если кривизна - К везде , а не -1, области выше следует умножить на 1 / K и длин и расстояний следует умножить на 1 / √ K .

Условие тонкого треугольника

Условие δ-тонкого треугольника, используемое в δ-гиперболическом пространстве

Поскольку идеальный треугольник - это самый большой из возможных треугольников в гиперболической геометрии, указанные выше меры являются максимально возможными для любого гиперболического треугольника , этот факт важен при изучении δ-гиперболического пространства .

Модели

В модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости идеальный треугольник ограничен тремя окружностями, которые пересекают граничную окружность под прямым углом.

В модели полуплоскости Пуанкаре идеальный треугольник моделируется арбелосом , фигурой между тремя касательными друг к другу полуокружностями .

В модели Бельтрами – Клейна гиперболической плоскости идеальный треугольник моделируется евклидовым треугольником, описанным граничной окружностью. Обратите внимание, что в модели Бельтрами-Клейна углы при вершинах идеального треугольника не равны нулю, потому что модель Бельтрами-Клейна, в отличие от моделей диска Пуанкаре и полуплоскостей, не является конформной, т.е. не сохраняет углы.

Группа реальных идеальных треугольников

Модель диска Пуанкаре, выложенная идеальными треугольниками

Группа идеальных (∞ ∞ ∞) треугольников

Еще одна идеальная плитка

Группа реального идеального треугольника - это группа отражений, порожденная отражениями гиперболической плоскости через стороны идеального треугольника. Алгебраически он изоморфен свободному произведению трех групп второго порядка (Schwarz 2001).

Рекомендации

Библиография

• Шварц, Ричард Эван (2001). «Группы идеальных треугольников, помятые торы и численный анализ». Анналы математики . Сер. 2. 153 (3): 533–598. arXiv : math.DG / 0105264 . DOI : 10.2307 / 2661362 . JSTOR  2661362 . Руководство по ремонту  1836282 .