История концепции функции - History of the function concept

Математическое понятие функции появились в 17 веке в связи с развитием исчисления ; например, наклон из графика в точке рассматриваются как функция от й координаты точки. В древности функции явно не рассматривались, но некоторые предшественники этой концепции, возможно, можно увидеть в работах средневековых философов и математиков, таких как Орем .

Математики 18 века обычно считали функцию определяемой аналитическим выражением . В 19 - м века, требование строгого развития анализа по Вейерштрассе и другим, переформулировка геометрии с точкой зрения анализа, и изобретение теории множеств по Кантору , в конечном счете привели к гораздо более общей современной концепции функции в качестве однозначное отображение из одного набора в другой.

Функции до 17 века

Уже в XII веке математик Шараф ад-Дин ат-Туси проанализировал уравнение x 3 + d = b  ⋅  x 2 в форме x 2  ⋅ ( b - x ) = d , заявив, что левая часть должна как минимум равняться значение d, чтобы уравнение имело решение. Затем он определил максимальное значение этого выражения. Можно утверждать, что выделение этого выражения является ранним подходом к понятию «функция». Значение меньше d означает отсутствие положительного решения; значение, равное d, соответствует одному решению, а значение, превышающему d, соответствует двум решениям. Анализ этого уравнения Шараф ад-Дином явился заметным достижением в исламской математике , но его работа в то время не получила дальнейшего развития ни в мусульманском мире, ни в Европе.

Согласно Дьедонне и Понте, концепция функции возникла в 17 веке в результате развития аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых . Тем не менее Медведев предполагает, что неявное понятие функции имеет древнее происхождение. Понте также видит более явные подходы к этой концепции в средние века :

Исторически можно считать, что некоторых математиков предвидели и вплотную подошли к современной формулировке концепции функции. Среди них Орем (1323–1382) . . . В его теории, по-видимому, присутствуют некоторые общие идеи о независимых и зависимых переменных величинах.

Развитие аналитической геометрии около 1640 г. позволило математикам выбирать между геометрическими задачами о кривых и алгебраическими соотношениями между «переменными координатами x и y ». Исчисление было разработано с использованием понятия переменных и связанного с ними геометрического значения, которое сохранялось до восемнадцатого века. Однако термин «функция» стал использоваться во взаимодействиях между Лейбницем и Бернулли ближе к концу 17 века.

Понятие «функция» в анализе

Термин «функция» был буквально введен Готфридом Лейбницем в письме 1673 года для описания величины, связанной с точками кривой , например координаты или наклона кривой . Иоганн Бернулли начал называть выражения, состоящие из одной переменной, «функции». В 1698 году он согласился с Лейбницем, что любую величину, сформированную «алгебраическим и трансцендентным образом», можно назвать функцией от x . К 1718 году он стал рассматривать как функцию «любое выражение, состоящее из переменной и некоторых констант». Алексис Клод Клеро (примерно 1734 г.) и Леонард Эйлер ввели знакомые обозначения для значения функции.

Рассмотренные в то время функции сегодня называются дифференцируемыми . Для этого типа функций можно говорить о пределах и производных; оба являются измерениями выхода или изменения выхода, поскольку это зависит от входа или изменения входа. Такие функции составляют основу исчисления .

Эйлер

В первом томе своего фундаментального текста Введение в анализ бесконечно малых , опубликованной в 1748 году, Эйлер дал по существу такое же определение функции как своего учителя Бернулли, как выражение или формулы с участием переменных и констант например, . Собственное определение Эйлера гласит:

Функция переменной величины - это аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из переменного количества и чисел или постоянных величин.

Эйлер также допускал многозначные функции, значения которых определяются неявным уравнением.

В 1755 году , однако, в его Institutiones исчислений differentialis , Эйлер дал более общее понятие функции:

Когда одни величины зависят от других таким образом, что они претерпевают изменение при изменении последних, тогда первые называются функциями вторых. Это имя имеет чрезвычайно широкий характер; он включает в себя все способы, которыми одна величина может быть определена в терминах других.

Медведев считает, что «по сути это определение, которое стало известно как определение Дирихле». Эдвардс также приписывает Эйлеру общую концепцию функции и далее говорит, что

Отношения между этими величинами не считаются заданными формулами, но, с другой стороны, они определенно не рассматриваются как своего рода общие теоретико-множественные, всевозможные подмножества пространств продуктов, которые современные математики имеют в виду, когда они используют слово «функция».

Фурье

В своей « Аналитической теории Шалера» Фурье утверждал, что произвольная функция может быть представлена ​​рядом Фурье . У Фурье была общая концепция функции, которая включала функции, которые не были непрерывными и не определялись аналитическим выражением. Связанные с этим вопросы о природе и представлении функций, возникающие при решении волнового уравнения для колеблющейся струны, уже были предметом споров между Даламбером и Эйлером, и они оказали значительное влияние на обобщение понятия функции. . Лузин отмечает, что:

Современное понимание функции и ее определения, которое нам кажется правильным, могло возникнуть только после открытия Фурье. Его открытие ясно показало, что большинство недоразумений, возникших в дебатах о вибрирующей струне, были результатом смешения двух, казалось бы, идентичных, но на самом деле совершенно разных концепций, а именно концепции функции и концепции ее аналитического представления. Действительно, до открытия Фурье не проводилось различия между понятиями «функция» и «аналитическое представление», и именно это открытие привело к их разъединению.

Коши

В 19 веке математики начали формализовать все различные разделы математики. Одним из первых это сделал Коши ; его несколько неточные результаты были позже сделаны полностью строгими Вейерштрассом , который выступал за построение исчисления на основе арифметики, а не на геометрии , который отдавал предпочтение определению Эйлера над определением Лейбница (см. арифметизацию анализа ). Согласно Смитису, Коши считал функции определяемыми уравнениями, включающими действительные или комплексные числа , и молчаливо предполагал, что они непрерывны:

Коши делает некоторые общие замечания о функциях в главе I, разделе 1 своей книги Analyze algébrique (1821). Из того, что он там говорит, ясно, что он обычно рассматривает функцию как определяемую аналитическим выражением (если оно явное) или уравнением или системой уравнений (если оно неявно); Чем он отличается от своих предшественников, так это тем, что он готов рассмотреть возможность того, что функция может быть определена только для ограниченного диапазона независимой переменной.

Лобачевский и Дирихле

Николаю Лобачевскому и Петру Густаву Лежену Дирихле традиционно приписывают независимость, давшую современное «формальное» определение функции как отношения, в котором каждый первый элемент имеет уникальный второй элемент.

Лобачевский (1834) пишет, что

Общее понятие функции требует, чтобы функция x была определена как число, данное для каждого x и постепенно изменяющееся с x . Значение функции может быть задано либо аналитическим выражением, либо условием, которое предоставляет средства проверки всех чисел и выбора одного из них; или, наконец, зависимость может существовать, но оставаться неизвестной.

в то время как Дирихле (1837) пишет

Если теперь единственное конечное y, соответствующее каждому x , и, более того, таким образом, что когда x непрерывно изменяется в интервале от a до b , также непрерывно изменяется, то y называется непрерывной функцией x для этого интервала. Здесь вовсе не обязательно, чтобы y задавался через x по одному и тому же закону на всем интервале, и не обязательно рассматривать его как зависимость, выраженную с помощью математических операций.

Ивс утверждает, что «изучающий математику обычно встречает определение функции Дирихле в своем вводном курсе математики.

Требование Дирихле об этой формализации было оспорено Имре Лакатосом :

В работах Дирихле такого определения нет вообще. Но есть достаточно свидетельств того, что он не имел представления об этой концепции. Например, в своей статье [1837], когда он обсуждает кусочно-непрерывные функции, он говорит, что в точках разрыва функция имеет два значения : ...

Однако Гардинер говорит: «... мне кажется, что Лакатос заходит слишком далеко, например, когда утверждает, что« есть достаточно доказательств того, что [Дирихле] не имел представления о концепции [современной функции] »». Более того, как отмечалось выше, статья Дирихле, похоже, включает определение, аналогичное тому, что ему обычно приписывают, хотя (как и Лобачевский) он формулирует его только для непрерывных функций действительной переменной.

Точно так же Лавин отмечает, что:

Некоторые споры вызывают то, насколько Дирихле заслуживает уважения за современное определение функции, отчасти потому, что он ограничил свое определение непрерывными функциями ... Я считаю, что Дирихле определил понятие непрерывной функции, чтобы прояснить, что нет правила или закон требуется даже в случае непрерывных функций, а не только в целом. Это заслуживает особого внимания, поскольку Эйлер определяет непрерывную функцию как функцию, заданную одним выражением или законом. Но я также сомневаюсь, что есть достаточные доказательства для разрешения спора.

Поскольку Лобачевский и Дирихле считались одними из первых, кто ввел понятие произвольного соответствия, это понятие иногда называют определением функции Дирихле или Лобачевского-Дирихле. Общая версия этого определения была позже использована Бурбаки (1939), и некоторые в образовательном сообществе называют ее определением функции «Дирихле – Бурбаки».

Дедекинд

Дьедонне , который был одним из основателей группы Бурбаки, приписывает точное и общее современное определение функции Дедекинду в своей работе Was sind und was sollen die Zahlen , которая появилась в 1888 году, но уже была составлена ​​в 1878 году. отмечает, что вместо того, чтобы ограничиваться, как в предыдущих концепциях, реальными (или сложными) функциями, Дедекинд определяет функцию как однозначное отображение между любыми двумя наборами:

Новым и важным для всей математики была совершенно общая концепция функции .

Харди

Hardy 1908 , pp. 26–28 определил функцию как отношение между двумя переменными x и y, такое, что «некоторым значениям x в любом случае соответствуют значения y ». Он не требовал, чтобы функция определялась для всех значений x или связывало каждое значение x с одним значением  y . Это широкое определение функции включает в себя больше отношений, чем обычно считается функциями в современной математике. Например, определение Харди включает многозначные функции и то, что в теории вычислимости называется частичными функциями .

«Функция» логика до 1850 г.

Логики того времени в основном занимались анализом силлогизмов (аристотелевские формы 2000-летней давности и др.), Или, как выразился Август де Морган (1847): «исследование той части рассуждения, которая зависит от того, каким образом выводы формируются, а также исследование общих принципов и правил построения аргументов ». В настоящее время понятие (логической) «функции» не является явным, но, по крайней мере, в работе Де Моргана и Джорджа Буля оно подразумевается: мы видим абстракцию форм аргументов, введение переменных, введение символического алгебру по этим переменным и некоторые понятия теории множеств.

В работе Де Моргана 1847 г. «ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА ИЛИ, Исчисление вывода, необходимого и вероятного» отмечается, что «[] логическая истина зависит от структуры утверждения , а не от конкретных вопросов, о которых идет речь»; он не теряет времени (предисловие, стр. i), абстрагируя: «В форме предложения связка сделана столь же абстрактной, как и термины». Он немедленно (стр. 1) преобразует то, что он называет «пропозицией» (современная пропозициональная функция или отношение ), в такую ​​форму, как «X есть Y», где символы X, «есть» и Y представляют, соответственно, субъект , копула и сказуемое. Хотя слово «функция» не появляется, понятие «абстракция» присутствует, «переменные» присутствуют, понятие включения в его символику «все Δ находится в О» (стр. 9) присутствует, и, наконец, новый символизм для логического анализа понятия «отношение» (он использует слово в отношении этого примера «X) Y» (стр. 75)):

«A 1 X) Y Чтобы взять X, необходимо взять Y» [или Чтобы быть X, необходимо быть Y]
«A 1 Y) X Чтобы взять Y, достаточно взять X» [или Чтобы быть Y, достаточно быть X] и т. Д.

В своей работе 1848 года «Природа логики» Бул утверждает, что «логика ... является в более особом смысле наукой о логических рассуждениях», и вкратце обсуждает понятия «принадлежность к» и «класс»: «Человек может обладать большое разнообразие атрибутов и, следовательно, принадлежность к большому количеству различных классов ". Как и Де Морган, он использует понятие «переменной», извлеченное из анализа; он приводит пример «представления класса быков символом x, а лошадей - символом y, соединением и знаком + ... мы могли бы представить совокупный класс волов и лошадей посредством x  +  y ».

В контексте «дифференциального исчисления» Бул определил (около 1849 г.) понятие функции следующим образом:

«Та величина, вариация которой однородна ... называется независимой переменной. Та величина, вариация которой относится к вариации первой, называется функцией от нее. Дифференциальное исчисление позволяет нам в каждом случае перейти от функции до предела. Это он делает с помощью определенной Операции. Но в самой Идеи Операции есть ... идея обратной операции. Выполнение этой обратной операции в данном случае является делом Int [egral] Calculus . "

«Функция» логиков 1850–1950 гг.

Ивс отмечает, «что логики пытались еще больше отодвинуть начальный уровень дефиниционного развития математики и вывести теорию множеств или классов на основе логики высказываний и пропозициональных функций». Но к концу 19 века в исследованиях логиков основ математики произошел серьезный раскол. Направление первой группы, логиков , может быть лучше всего охарактеризовано Бертраном Расселом  1903 года: «выполнить две задачи: во-первых, показать, что вся математика следует из символической логики, а во-вторых, чтобы открыть, насколько это возможно, то, что являются принципами самой символической логики ".

Вторая группа логиков, теоретики множеств, возникла на основе «теории множеств» Георга Кантора (1870–1890), но была продвинута вперед отчасти в результате открытия Расселом парадокса, который мог быть выведен из концепции Фреге о «функции». ", но также как реакция на предложенное Расселом решение. Теоретико-множественным ответом Цермело стали его Исследования 1908 года по основам теории множеств I - первой аксиоматической теории множеств ; здесь тоже играет роль понятие «пропозициональная функция».

Джордж Буль « Законы мысли» 1854 г .; Символическая логика Джона Венна 1881

В своем исследовании законов мышления Буль теперь определил функцию в терминах символа x следующим образом:

«8. Определение. - Любое алгебраическое выражение, содержащее символ x , называется функцией от x и может быть представлено сокращенной формой f ( x )»

Затем Бул использовал алгебраические выражения для определения как алгебраических, так и логических понятий, например, 1 -  x является логическим НЕ ( x ), xy - логическим AND ( x , y ), x  +  y - логическим OR ( x , y ), x ( x  +  y ) равно xx  +  xy , а «особый закон» xx = x 2 = x .

В своей символической логике 1881 года Венн использовал слова «логическая функция» и современный символизм ( x = f ( y ), y = f  −1 ( x ), см. Стр. Xxi) плюс круговые диаграммы, исторически связанные с Венном, для описания "отношения классов", понятия "количественная оценка" нашего предиката "," предложения в отношении их расширения "," отношение включения и исключения двух классов друг к другу "и" пропозициональная функция "(все на стр. 10 ), полосу над переменной для обозначения not- x (стр. 43) и т. д. В действительности он недвусмысленно приравнял понятие «логическая функция» к «классу» [современный «набор»]: «... на представлении, принятом в В этой книге f ( x ) никогда не означает ничего, кроме логического класса. Это может быть составной класс, состоящий из множества простых классов; это может быть класс, обозначенный некоторыми обратными логическими операциями, он может состоять из двух групп классов, равных друг к другу, или что то же самое, их разность объявляется равной нулю, то есть логическим уравнением. Как результат или производное, f ( x ) для нас никогда не будет ничем иным, как общим выражением для таких логических классов вещей, которые могут справедливо найти место в обычной логике ".

Фреге Begriffsschrift 1879

Фреге «s Begriffsschrift (1879) предшествует Пеано (1889 г.), но Пеано не имело никакого знания Фрега 1879 г. harvnb ошибка: несколько мишеней (2 ×): CITEREFFrege1879 ( помощь ) до тех пор , после того, как он опубликовал свои 1889. Оба автора сильного влияние Рассела (1903) . Рассел, в свою очередь, повлиял на большую часть математики и логики 20-го века благодаря своей книге «Основы математики» (1913), написанной совместно с Альфредом Норт Уайтхедом .

С самого начала Фреге отказывается от традиционных «понятий субъект и предикат », заменяя их аргументом и функцией соответственно, которые, по его мнению, «выдержат испытание временем. Легко увидеть, как рассмотрение содержания как функции аргумента приводит к формирование понятий. Кроме того , заслуживает внимания демонстрация связи между значениями слов if, and, not, or, there is, some, all, и т. д. ".

Фреге начинает свое обсуждение «функции» с примера: Начните с выражения «Водород легче углекислого газа». Теперь удалите знак водорода (т. Е. Слово «водород») и замените его знаком кислорода (т. Е. Словом «кислород»); это делает второе заявление. Сделайте это еще раз (используя любое из утверждений) и замените знак азота (т.е. слово «азот») и обратите внимание, что «это изменяет значение таким образом, что« кислород »или« азот »входят в отношения, в которых« водород «стоял раньше». Есть три утверждения:

  • «Водород легче углекислого газа».
  • «Кислород легче углекислого газа».
  • «Азот легче углекислого газа».

Теперь обратите внимание на все три «стабильного компонента, представляющего совокупность [отношений]»; назовите это функцией , т. е.

«... легче углекислого газа» - вот функция.

Фреге называет аргумент функции «[t] знак [например, водород, кислород или азот], рассматриваемый как заменяемый другими, которые обозначают объект, стоящий в этих отношениях». Он отмечает, что мы могли бы получить функцию как «Водород легче, чем ...», с аргументом справа ; точное наблюдение сделано Пеано (подробнее см. ниже). Наконец, Фреге учитывает случай двух (или более) аргументов. Например, удалите «углекислый газ», чтобы получить инвариантную часть (функцию) как:

  • "... легче, чем ..."

Функция с одним аргументом Фреге обобщается в форме Φ (A), где A - аргумент, а Φ () - функция, тогда как функцию с двумя аргументами он символизирует как Ψ (A, B) с аргументами A и B и Ψ (,) функция и предупреждает, что «в общем случае Ψ (A, B) отличается от Ψ (B, A)». Используя свой уникальный символизм, он переводит читателю следующий символизм:

«Мы можем читать | --- Φ (A) как« A обладает свойством Φ. | --- Ψ (A, B) можно перевести как «B стоит в отношении Ψ к A» или «B является результатом применения процедуры Ψ к объекту A».

Принципы арифметики Пеано 1889 г.

Пеано определил понятие «функция» примерно так же, как Фреге, но без точности. Сначала Пеано определяет знак «K означает класс или совокупность объектов», объекты которого удовлетворяют трем простым условиям равенства: a = a , ( a = b ) = ( b = a ), IF (( a = b ) И ( b = c )) ТОГДА ( a = c ). Затем он вводит φ, «такой знак или совокупность знаков, что если x является объектом класса s , выражение φ x обозначает новый объект». Пеано добавляет к этим новым объектам два условия: во-первых, выполнение трех условий равенства для объектов φ x ; во-вторых, что «если x и y являются объектами класса s и если x = y , мы предполагаем, что можно вывести φ x = φ y ». Если все эти условия выполнены, φ является «предварительным знаком функции». Точно так же он определяет "служебный знак". Например, если φ - функция presign a +, тогда φ x дает a + x , или если φ - функция postign + a, то x φ дает x + a .

Принципы математики Бертрана Рассела 1903 г.

В то время как влияние Кантора и Пеано было превалирующим, в Приложении А «Логические и арифметические доктрины Фреге» к Принципам математики Рассел приходит к обсуждению концепции функции Фреге , «... точки, в которой работа Фреге находится очень важно и требует внимательного изучения ». В ответ на обмен письмами с Фреге в 1902 году о противоречии, обнаруженном им в « Begriffsschrift» Фреге, Рассел в последний момент добавил к этому разделу.

Для Рассела сбивает с толку понятие «переменной»: «6. Математические предложения характеризуются не только тем, что они утверждают импликации, но и тем фактом, что они содержат переменные . Понятие переменной - одно из самых трудных. с которой должна иметь дело логика. Пока же я открыто хочу прояснить, что есть переменные во всех математических предложениях, даже там, где на первый взгляд они могут показаться отсутствующими ... Мы всегда найдем, во всех математических предложениях. предложения, что слова any или some встречаются, и эти слова являются знаками переменной и формальной импликацией ".

Как выразился Рассел, «процесс преобразования констант в предложении в переменные приводит к тому, что называется обобщением, и дает нам, так сказать, формальную сущность предложения ... Пока любой термин в нашем предложении может быть обращен в переменную, наше предложение может быть обобщено, и пока это возможно, это дело математики »; эти обобщения Рассел назвал пропозициональными функциями ". Действительно, он цитирует и цитирует Фреге Begriffsschrift и представляет яркий пример из работы Фреге 1891 г." Function und Begriff " :" сущность арифметической функции 2 x 3  +  x - это то, что остается, если взять x прочь, т.е. в приведенном выше примере 2 () 3  + (). Аргумент x не принадлежит функции, но два, взятые вместе, составляют целое ». Рассел согласился с понятием« функция »Фреге в одном смысле:« Он считает функции - и в этом я с ним согласен - более фундаментальными, чем предикаты. и отношения », но Рассел отверг« теорию субъекта и утверждения »Фреге, в частности,« он думает, что, если термин а встречается в предложении, предложение всегда может быть проанализировано на а и утверждение относительно а ».

Эволюция идеи Рассела о «функции» 1908–1913 гг.

Рассел продолжит свои идеи в своей книге « Математическая логика, основанная на теории типов» 1908 года и в своих и Уайтхедских « Основах математики » 1910–1913 годов . Ко времени создания Principia Mathematica Рассел, как и Фреге, считал пропозициональную функцию фундаментальной: «Пропозициональные функции - это фундаментальный вид, от которого исходят более обычные виды функций, такие как« sin x »или log x, или« отец x ». производные. Эти производные функции ... называются "описательными функциями". Функции высказываний ... являются частным случаем пропозициональных функций ".

Пропозициональные функции : поскольку его терминология отличается от современной, читатель может быть сбит с толку «пропозициональной функцией» Рассела. Пример может помочь. Рассел пишет пропозициональную функцию в ее необработанном виде, например, как φŷ : « ŷ обижен». (Обратите внимание на циркумфлекс или "шляпу" над переменной y ). В нашем примере мы присвоим переменной ŷ всего 4 значения: «Боб», «Эта птица», «Кролик Эмили» и « y ». Замена одного из этих значений на переменную ŷ дает предложение ; это предложение называется «значением» пропозициональной функции. В нашем примере есть четыре значения пропозициональной функции, например, «Боб ранен», «Эта птица ранена», «Кролик Эмили ранен» и « Y ранен». Суждение, если значительная -ie, если его истинность является детерминированным -обладает истинностное значение от истины или ложности . Если значение истинности предложения - это «истина», то считается, что значение переменной удовлетворяет пропозициональной функции. Наконец, согласно определению Рассела, « класс [множество] - это все объекты, удовлетворяющие некоторой пропозициональной функции» (стр. 23). Обратите внимание на слово «все» - так в трактовку входят современные понятия «Для всех» и «существует хотя бы один экземпляр» (стр. 15).

Продолжая пример: предположим (вне математики / логики) кто-то определяет, что утверждения «Боб ранен» имеют значение истинности «ложь», «Эта птица ранена» имеет значение истинности «истина», «Эмили кролик ранен "имеет неопределенное значение истинности, потому что" кролик Эмили "не существует, а" y ранен "неоднозначно относительно его истинностного значения, потому что сам аргумент y неоднозначен. Хотя два утверждения «Боб ранен» и «Эта птица ранен» значимы (оба имеют значения истинности), только значение «Эта птица» переменной ŷ удовлетворяет пропозициональной функции φŷ : « ŷ ранен». При формировании класса α: φŷ : « ŷ ранен » включается только «Эта птица», учитывая четыре значения «Боб», «Эта птица», «Кролик Эмили» и « y » для переменной ŷ. и соответствующие им истинностные ценности: ложность, истина, неопределенность, двусмысленность.

Рассел определяет функции предложений с аргументами и функции истинности f ( p) . Например, предположим, что кто-то должен был сформировать «функцию предложений с аргументами» p 1 : «НЕ ( p ) И q » и присвоить ее переменным значения p : «Боб ранен» и q : «Эта птица ранена» . (Мы ограничены логическими связями НЕ, И, ИЛИ и ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ, и мы можем только присвоить «значимые» предложения переменным p и q ). Тогда «функция предложений с аргументами» будет p 1 : НЕ («Боб ранен») И «Эта птица ранена». Чтобы определить значение истинности этой «функции предложений с аргументами», мы передаем ее «функции истинности», например, f ( p 1 ): f (НЕ («Боб ранен») И «Эта птица ранена») , что дает значение истинности "истина".

Понятие функционального отношения «многие-одно» : Рассел сначала обсуждает понятие «тождество», затем определяет описательную функцию (стр. 30ff) как уникальное значение ιx, которое удовлетворяет (2-вариативной) пропозициональной функции (т. Е. «отношение») φŷ .

NB. Здесь следует предупредить читателя, что порядок переменных обратный! y - независимая переменная, а x - зависимая переменная, например, x = sin ( y ).

Рассел символизирует описательную функцию как «объект, стоящий по отношению к y »: R'y = DEF ( ιx ) ( x R y ). Рассел повторяет, что « R'y является функцией y , но не пропозициональной функцией [sic]; мы будем называть ее описательной функцией. Все обычные функции математики относятся к этому типу. Таким образом, в нашем обозначении« sin  y »будет должно быть написано «грех  у », а «грех» будет обозначать отношение греха  у к у ».

«Функция» формалиста: аксиоматизация математики Дэвидом Гильбертом (1904–1927)

Дэвид Гильберт поставил перед собой цель «формализовать» классическую математику »как формальную аксиоматическую теорию, и эта теория должна быть доказана непротиворечивой , т. Е. Свободной от противоречий». В «Основах математики» Гильберта 1927 он формулирует понятие функции в терминах существования «объекта»:

13. A (a) -> A (ε (A)) Здесь ε (A) обозначает объект, для которого утверждение A (a) заведомо верно, если оно верно для любого объекта; назовем ε логической ε-функцией ». [Стрелка указывает« подразумевает ».]

Затем Гильберт иллюстрирует три способа использования ε-функции, во-первых, как понятия «для всех» и «существует», во-вторых, для представления «объекта, которого [утверждение] имеет место», и, наконец, как преобразовать это в функцию выбора .

Теория рекурсии и вычислимость . Но неожиданным результатом усилий Гильберта и его ученика Бернейса стала неудача; см. теоремы Гёделя о неполноте 1931 года. Примерно в то же время, пытаясь решить Entscheidungsproblem Гильберта , математики приступили к определению того, что подразумевается под «эффективно вычислимой функцией» ( Alonzo Church 1936), то есть «эффективным методом» или алгоритм », то есть явная пошаговая процедура, позволяющая успешно вычислить функцию. Различные модели алгоритмов появились в быстрой последовательности, в том числе церкви лямбда - исчисления (1936), Стивен Клини «s мю-рекурсивной функции (1936) и Алан Тьюринг » понятие s (1936-7) замены „компьютеров“ человека с совершенно-механический «вычислительные машины» (см. машины Тьюринга ). Было показано, что все эти модели могут вычислять один и тот же класс вычислимых функций . Тезис Чёрча утверждает, что этот класс функций исчерпывает все теоретико-числовые функции, которые могут быть вычислены с помощью алгоритма. Результатом этих усилий стала яркая демонстрация того, что, по словам Тьюринга, «не может быть общего процесса для определения, доказуема ли данная формула U функционального исчисления K [ Principia Mathematica ]»; подробнее см. Независимость (математическая логика) и Теория вычислимости .

Развитие теоретико-множественного определения «функции».

Теория множеств началась с работы логиков с понятием «класс» (современное «множество»), например Де Морган (1847) , Джевонс (1880), Венн (1881) , Фреге (1879) harvtxt error: множественные цели ( 2 ×): CITEREFFrege1879 ( помощь ) и Пеано (1889) . Толчком к этому послужила попытка Георга Кантора определить бесконечное в теоретико-множественной трактовке (1870–1890) и последующее открытие антиномии (противоречия, парадокса) в этой трактовке ( парадокс Кантора ) открытием Рассела (1902 г.) ) антиномии Фреге 1879 г. ( парадокс Рассела ), открытием большего количества антиномий в начале 20-го века (например, парадокса Бурали-Форти 1897 г. и парадокса Ричарда 1905 г. ), а также сопротивлением сложному подходу Рассела к логике и неприязни. своей аксиомы сводимости (1908, 1910–1913), которую он предложил как средство избежать антиномий.

Парадокс Рассела 1902

В 1902 году Рассел отправил Фреге письмо, в котором указывал, что в « Begriffsschrift » 1879 года Фреге допускает, чтобы функция была аргументом самой себя: «С другой стороны, также может быть, что аргумент является определенным, а функция - неопределенной ...». В непринужденной ситуации Рассел сумел сформировать парадокс:

«Вы утверждаете ... что функция тоже может действовать как неопределенный элемент. Раньше я верил в это, но теперь эта точка зрения кажется мне сомнительной из-за следующего противоречия. Пусть w будет предикатом: быть предикатом, который не может быть основанным на себе. Может ли мы быть основаны на самом себе? "

Фреге сразу же ответил: «Ваше открытие противоречия вызвало у меня величайшее удивление и, я бы сказал, ужас, поскольку оно пошатнуло основу, на которой я намеревался строить арифметику».

С этого момента дальнейшее развитие основ математики стало упражнением в том, как избежать «парадокса Рассела», сформулированного в «голых [теоретико-множественных] понятиях множества и элемента».

Теория множеств Цермело (1908 г.) в модификации Сколема (1922 г.)

Понятие «функция» появляется как аксиома III Цермело - Аксиома разделения (Axiom der Aussonderung). Эта аксиома вынуждает нас использовать пропозициональную функцию Φ ( x ) для «отделения» подмножества M Φ от ранее сформированного множества M :

«АКСИОМА III. (Аксиома разделения). Когда пропозициональная функция Φ ( x ) определена для всех элементов множества M , M обладает подмножеством M Φ, содержащим в качестве элементов в точности те элементы x из M, для которых Φ ( x ) является правда".

Поскольку не существует универсального множества - множества происходят посредством Аксиомы II из элементов (неустановленной) области B - «... это устраняет антиномию Рассела, насколько это касается нас». Но «определенный критерий» Цермело неточен и установлен Вейлем , Френкелем , Сколемом и фон Нейманом .

Фактически Сколем в своем 1922 году назвал этот «определенный критерий» или «свойство» «определенным утверждением»:

«... конечное выражение, построенное из элементарных предложений вида a ε b или a = b с помощью пяти операций [логическая конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, универсальная квантификация и экзистенциальная квантификация].

ван Хейеноорт резюмирует:

«Свойство является определенным в смысле Сколема, если оно выражается ... хорошо сформированной формулой в простом исчислении предикатов первого порядка, в котором единственными константами предиката являются ε и, возможно, =. ... Сегодня аксиоматизация множества Теория обычно включается в логическое исчисление, и обычно применяется подход Вейля и Сколема к формулировке аксиомы разделения.

В этой цитате читатель может заметить сдвиг в терминологии: нигде не упоминается понятие «пропозициональная функция», а скорее встречаются слова «формула», «исчисление предикатов», «предикат» и «логическое исчисление». Этот сдвиг в терминологии более подробно обсуждается в разделе, посвященном «функции» в современной теории множеств.

Определение «упорядоченной пары» Винера – Хаусдорфа – Куратовского 1914–1921 гг.

История возникновения понятия « упорядоченная пара » не ясна. Как отмечалось выше, Фреге (1879) предложил интуитивный порядок в своем определении функции двух аргументов Ψ (A, B). Норберт Винер в своей работе 1914 года (см. Ниже) отмечает, что его собственная трактовка, по сути, «возвращается (я) к трактовке отношения Шредером как класса упорядоченных пар». Рассел (1903) рассматривал определение отношения (например, Ψ (A, B)) как «класс пар», но отверг его:

«Существует соблазн рассматривать отношение как определяемое в расширении как класс пар. Это формальное преимущество, заключающееся в том, что оно позволяет избежать необходимости в примитивном утверждении, утверждающем, что каждая пара не имеет отношения, поддерживаемого никакими другими парами терминов. Но оно необходимо, чтобы придать смысл паре, чтобы отличить референт [ область ] от relatum [ обратная область ]: таким образом, пара становится существенно отличной от класса двух терминов, и сама должна быть представлена ​​как примитивная идея ... Поэтому кажется более правильным взглянуть на отношения интенсионально и отождествлять их скорее с концепциями классов, чем с классами ".

К 1910–1913 гг. И Principia Mathematica Рассел отказался от требования интенсионального определения отношения, заявив, что «математика всегда занимается расширениями, а не интенсионалами» и «Отношения, как и классы, следует рассматривать в расширении ». Чтобы продемонстрировать понятие отношения в расширении, Рассел теперь принял понятие упорядоченной пары : «Мы можем рассматривать отношение ... как класс пар ... отношение, определяемое функцией φ ( x, y ), является классом пар. ( x, y ), для которых верно φ ( x, y ) ». В сноске он разъяснил свое понятие и пришел к такому определению:

«Такая пара имеет смысл , то есть пара ( x, y ) отличается от пары ( y, x ), если только x  =  y . Мы будем называть ее« парой со смыслом »... она также может быть называется заказанная пара .

Но он продолжает говорить, что не будет вводить упорядоченные пары дальше в свое «символическое лечение»; он предлагает вместо них свою «матрицу» и свою непопулярную аксиому сводимости.

Попытка решить проблему антиномий привела к тому, что Рассел предложил свою «доктрину типов» в приложении B к его «Основам математики» 1903 года . Через несколько лет он уточнил это понятие и предложил в своей Теории типов 1908 года две аксиомы сводимости , цель которых заключалась в приведении (с одной переменной) пропозициональных функций и (с двумя переменными) отношений к «низшей» форме. (и в конечном итоге в полностью экстенсиональную форму); он и Альфред Норт Уайтхед перенесут это рассмотрение в Principia Mathematica 1910–1913 с дальнейшим уточнением, названным «матрицей». Первая аксиома * 12.1; второй * 12.11. По словам Винера, вторая аксиома * 12.11 «задействована только в теории отношений». Обе аксиомы, однако, были встречены скептицизмом и сопротивлением; подробнее см. Аксиома сводимости . К 1914 году Норберт Винер, используя символизм Уайтхеда и Рассела, устранил аксиому * 12.11 («двухвариантную» (реляционную) версию аксиомы сводимости), выразив отношение как упорядоченную пару с использованием нулевого множества. Примерно в то же время Хаусдорф (1914, стр. 32) дал определение упорядоченной пары ( a , b ) как {{ a , 1}, { b , 2}}. Несколькими годами позже Куратовски (1921) предложил определение, которое с тех пор широко используется, а именно {{ a , b }, { a }} ". Как отмечает Suppes (1960) " Это определение. . . исторически важен для сведения теории отношений к теории множеств.

Заметим, что, хотя Винер «сокращал» реляционную форму * 12.11 аксиомы сводимости, он не уменьшал и не изменял иным образом форму пропозициональной функции * 12.1; действительно, он заявил, что это «необходимо для обращения с идентичностью, описаниями, классами и отношениями».

Понятие Шенфинкеля о «функции» как о «соответствии с множеством единиц» 1924 г.

Неясно, откуда происходит общее понятие «функция» как соответствие «многие-один». Рассел в своем « Введении в математическую философию » ( 1920 г.) утверждает, что «следует отметить, что все математические функции в результате образуют отношения один-многие [sic - современное употребление - много-один] ... Функции в этом смысле являются описательными функциями». Разумной возможностью является понятие «описательной функции» в « Принципах математики » - R 'y = DEF (ι x ) ( x R y ): «особый объект, имеющий отношение R к y ». Как бы то ни было, к 1924 году Моисей Шенфинкель выразил эту идею, заявив, что она «хорошо известна»:

"Как хорошо известно, под функцией мы понимаем в простейшем случае соответствие между элементами некоторой области величин, области аргументов и элементами области значений функции ... таким образом, что каждому значению аргумента соответствует самое большее одно значение функции ».

Согласно Уилларду Куайну , Schönfinkel 1924 «обеспечивает [s] для ... всей развертки абстрактной теории множеств. Суть вопроса в том, что Шенфинкель позволяет функциям выступать в качестве аргументов. Для Шенфинкеля, как и для Фреге, классы являются особыми видами функций. Они являются пропозициональными функциями, функциями, значениями которых являются истинностные значения. Все функции, пропозициональные и прочие, относятся к одноместным функциям Шенфинкеля ". Примечательно, что Шенфинкель сводит всю математику к чрезвычайно компактному функциональному исчислению, состоящему всего из трех функций: постоянства, слияния (т. Е. Композиции) и взаимной исключительности. Куайн отмечает, что Хаскелл Карри (1958) продвигал эту работу «под руководством комбинаторной логики ».

Теория множеств фон Неймана, 1925 г.

К 1925 году Абрахам Френкель (1922) и Торальф Сколем (1922) внесли поправки в теорию множеств Цермело 1908 года. Но фон Нейман не был убежден, что эта аксиоматизация не может привести к антиномиям. Поэтому он предложил свою собственную теорию, свою аксиоматизацию теории множеств 1925 года . Он явно содержит «современную» теоретико-множественную версию понятия «функция»:

«[В отличие от теории множеств Цермело] [мы] мы предпочитаем, однако, аксиоматизировать не« набор », а« функцию ». Последнее понятие, безусловно, включает первое. (Точнее, эти два понятия полностью эквивалентны, поскольку функция может быть рассматривается как набор пар, а набор как функция, которая может принимать два значения.) ".

Вначале он начинает с I-объектов и II-объектов , двух объектов A и B, которые являются I-объектами (первая аксиома), и двух типов «операций», которые предполагают упорядочение как структурное свойство, полученное из результирующих объектов [ x , y ] и ( x , y ). Две «области объектов» называются «аргументами» (I-объекты) и «функциями» (II-объекты); где они перекрываются, - это «функции аргументов» (он называет их объектами I-II). Он вводит две «универсальные операции с двумя переменными» - (i) операцию [ x , y ]: «... читать 'значение функции x для аргумента y ... это сам объект типа I», и (ii) операция ( x , y ): «... (прочтите 'упорядоченная пара x , y' ), переменные x и y которой должны быть аргументами и которая сама производит аргумент ( x , y ). важным свойством является то, что x 1 = x 2 и y 1 = y 2 следуют из ( x 1 = y 2 ) = ( x 2 = y 2 ) ". Чтобы прояснить пару функций, он отмечает, что «вместо f ( x ) мы пишем [ f, x ], чтобы указать, что f , как и x , следует рассматривать как переменную в этой процедуре». Чтобы избежать «антиномий наивной теории множеств, в первую очередь у Рассела ... мы должны отказаться от трактовки некоторых функций как аргументов». Он заимствует идею Цермело, чтобы ограничить эти «определенные функции».

Суппес отмечает, что аксиоматизация фон Неймана была модифицирована Бернейсом «для того, чтобы оставаться ближе к исходной системе Цермело ... Он ввел два отношения принадлежности: одно между множествами, а другое - между множествами и классами». Затем Гёдель [1940] дополнительно модифицировал теорию: «его примитивные понятия - это понятия множества, класса и принадлежности (хотя одного членства достаточно)». Эта аксиоматизация теперь известна как теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя .

Бурбаки 1939 г.

В 1939 году Бурбаки , в дополнение к хорошо известному определению функции упорядоченной парой как некоторого подмножества декартова произведения E × F , дал следующее:

«Пусть E и F - два множества, которые могут быть, а могут и не быть различными. Отношение между переменным элементом x из E и переменным элементом y из F называется функциональным отношением в y, если для всех x ∈ E существует единственный y ∈ F, который находится в данном отношении с x . Мы даем имя функции операции, которая таким образом ставит в соответствие каждому элементу x ∈ E элемент y ∈ F, который находится в данном отношении с x , и функция определяется данным функциональным отношением. Два эквивалентных функциональных отношения определяют одну и ту же функцию ».

С 1950 г.

Понятие «функция» в современной теории множеств

Как аксиоматические, так и наивные формы теории множеств Цермело в модификации Френкеля (1922) и Сколема (1922) определяют «функцию» как отношение, определяют отношение как набор упорядоченных пар и определяют упорядоченную пару как набор из двух ». ассиметричные »наборы.

В то время как читатель Suppes (1960) Axiomatic Set Theory или Halmos (1970) Naive Set Theory наблюдает за использованием функционально-символизма в аксиоме разделения , например, φ ( x ) (в Suppes) и S ( x ) (в Halmos) ), они не увидят упоминания о «пропозиции» или даже о «исчислении предикатов первого порядка». На их место приходят « выражения объектного языка», «атомарные формулы», «примитивные формулы» и «атомарные предложения».

Клини (1952) определяет эти слова следующим образом: «В языках слов предложение выражается предложением. Тогда« предикат »выражается неполным предложением или скелетом предложения, содержащим открытое место. Например,« ___ - это мужчина. «выражает предикат ... Предикат - это пропозициональная функция одной переменной . Предикаты часто называют« свойствами »... Исчисление предикатов будет рассматривать логику предикатов в этом общем смысле слова« предикат », т. е. как пропозициональную функция ".

В 1954 году Бурбаки на с. 76 в главе II Theorie des Ensembles (теория множеств) дал определение функции как тройки f = ( F , A , B ). Здесь F - функциональный граф , означающий набор пар, в которых нет двух пар, имеющих одинаковый первый член. На стр. 77 ( указ. Соч. ) Бурбаки утверждает (дословный перевод): «Часто в оставшейся части этого Трактата мы будем использовать слово функция вместо функционального графа ».

Suppes (1960) в « Аксиоматической теории множеств» формально определяет отношение (стр. 57) как набор пар, а функцию (стр. 86) - как отношение, в котором никакие две пары не имеют одного и того же первого члена.

Реляционная форма функции

Причина исчезновения слов «пропозициональная функция», например, в Suppes (1960) и Halmos (1970) , объясняется Тарским (1946) вместе с дальнейшим объяснением терминологии:

"Выражение, такое как x, является целым числом , которое содержит переменные и при замене этих переменных константами становится предложением, называется СЕНЦИАЛЬНОЙ [то есть пропозициональной по его индексу] ФУНКЦИЕЙ. Но математики, кстати, не очень люблю это выражение, потому что они используют функцию «» термин с другим смыслом ... сентенциальные функции и предложения , состоящие исключительно из математических символов (а не слов языка повседневного), такие как:. х  +  у = 5, как правило , называют математиками как ФОРМУЛЫ. Вместо «сентенциальной функции» мы иногда будем просто говорить «предложение» - но только в тех случаях, когда нет опасности какого-либо недопонимания ».

Со своей стороны, Тарский называет реляционную форму функции «ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ОТНОШЕНИЕМ или просто ФУНКЦИЕЙ». После обсуждения этой «функциональной связи» он утверждает, что:

«Концепция функции, которую мы сейчас рассматриваем, существенно отличается от концепций сентенционального [пропозиционального] и обозначающей функции ... Строго говоря ... [они] не относятся к области логики или математики; они обозначают определенные категории выражений, которые служат для составления логических и математических утверждений, но они не обозначают вещи, о которых говорится в этих утверждениях ... Термин "функция" в его новом смысле, с другой стороны, является выражением некоторого чисто логический характер; он обозначает определенный тип вещей, которыми занимаются в логике и математике ».

Узнайте больше о «истине под интерпретацией» у Альфреда Тарски .

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

  • Дубинский, Эд; Харел, Гершон (1992). Понятие функции: аспекты эпистемологии и педагогики . Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-081-8.
  • Фреге, Готтлоб (1879). Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens . Галле.
  • Кляйнер, Израиль (1989). «Эволюция концепции функции: краткий обзор». Журнал математики колледжа . Математическая ассоциация Америки. 20 (4): 282–300. DOI : 10.2307 / 2686848 . JSTOR  2686848 .
  • Лютцен, Джеспер (2003). «Между строгостью и приложениями: развитие концепции функции в математическом анализе» . В Рой Портер (ред.). Кембриджская история науки: современные физико-математические науки . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521571995. Доступная и увлекательная историческая презентация.
  • Малик, М.А. (1980). «Историко-педагогические аспекты определения функции». Международный журнал математического образования в науке и технологиях . 11 (4): 489–492. DOI : 10.1080 / 0020739800110404 .
  • Монна, АФ (1972). «Концепция функции в 19-м и 20-м веках, в частности, в отношении дискуссий между Бэром, Борелем и Лебегом». Архив истории точных наук . 9 (1): 57–84. DOI : 10.1007 / BF00348540 . S2CID  120506760 .
  • Райхенбах, Ганс (1947) Элементы символической логики , Dover Publishing Inc., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN  0-486-24004-5 .
  • Рутинг, Д. (1984). «Некоторые определения концепции функции от Бернулли Дж. До Бурбаки Н.». Математический интеллигент . 6 (4): 72–77. DOI : 10.1007 / BF03026743 . S2CID  189883712 .
  • Ющкевич А.П. (1976). «Концепция функции до середины XIX века». Архив истории точных наук . 16 (1): 37–85. doi : 10.1007 / BF00348305 (неактивен 31 мая 2021 г.).CS1 maint: DOI неактивен с мая 2021 г. ( ссылка )

внешние ссылки