Класс (теория множеств) - Class (set theory)

В теории множеств и ее приложений по всей математике , класс представляет собой совокупность наборов (а иногда и другие математические объекты) , которые могут быть однозначно определенным свойством , что все его доля членов. Классы действуют как способ иметь коллекции, подобные множеству, но при этом отличаться от множеств, чтобы избежать парадокса Рассела (см. #Paradoxes ). Точное определение «класса» зависит от основного контекста. В работе по теории множеств Цермело – Френкеля понятие класса является неформальным, тогда как другие теории множеств, такие как теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя , аксиоматизируют понятие «собственный класс», например, как объекты, не являющиеся членами другое лицо.

Класс, который не является набором (неформально у Цермело – Френкеля), называется собственным классом , а класс, который является набором, иногда называют малым классом . Например, класс всех порядковых чисел и класс всех множеств являются собственными классами во многих формальных системах.

В теоретико-множественных работах Куайна фраза «окончательный класс» часто используется вместо фразы «надлежащий класс», подчеркивая, что в рассматриваемых им системах определенные классы не могут быть членами и, таким образом, являются последним термином в любой цепочке членства, к которой они принадлежат.

Вне теории множеств слово «класс» иногда используется как синоним «множества». Это использование восходит к историческому периоду, когда классы и множества не разделялись, как в современной теоретико-множественной терминологии. Многие дискуссии о «классах» в XIX веке и ранее на самом деле относятся к множествам или, скорее, могут иметь место без учета того, что определенные классы могут не быть множествами.

Примеры

Совокупность всех алгебраических структур данного типа обычно будет правильным классом. Примеры включают класс всех групп , класс всех векторных пространств и многие другие. В теории категорий , в категории которой коллекция объектов образует собственный класс (или чья коллекция морфизмов образует собственный класс) называется большой категорией .

В сюрреалистических номерах являются собственным классом объектов , которые имеют свойство поля .

В рамках теории множеств многие наборы множеств оказываются собственными классами. Примеры включают класс всех наборов, класс всех порядковых чисел и класс всех кардинальных чисел.

Один из способов доказать, что класс является правильным, - это поместить его в биекцию с классом всех порядковых чисел. Этот метод используется, например, при доказательстве отсутствия свободной полной решетки на трех и более образующих .

Парадоксы

В Парадоксы наивной теории множеств можно объяснить с точки зрения противоречивой молчаливого предположения , что «все классы множеств». Эти парадоксы со строгим обоснованием вместо этого предлагают доказательства того, что определенные классы являются собственными (т. Е. Что они не являются множествами). Например, парадокс Рассела предлагает доказательство того, что класс всех множеств, которые не содержат самих себя, является правильным, а парадокс Бурали-Форти предполагает, что класс всех порядковых чисел является правильным. С классами парадоксов не возникает, потому что нет понятия классов, содержащих классы. В противном случае можно было бы, например, определить класс всех классов, которые не содержат самих себя, что привело бы к парадоксу Рассела для классов. Конгломерат , с другой стороны, может иметь собственные классы в качестве членов, хотя теория конгломератов еще не устоявшиеся.

Занятия по формальным теориям множеств

Теория множеств ZF не формализует понятие классов, поэтому каждая формула с классами должна быть синтаксически сведена к формуле без классов. Например, можно сократить формулу до . Семантический, в метаязыке , классы могут быть описаны как эквивалентности классов из логических формул : Если это структура интерпретации ZF, то язык объекта «выражение класса строитель» интерпретируется совокупностью всех элементов из области на который держит; таким образом, класс можно описать как набор всех предикатов, эквивалентных (который включает самого себя). В частности, можно отождествить «класс всех множеств» с множеством всех предикатов, эквивалентных${\ Displaystyle А = \ {х \ середина х = х \}}$${\ Displaystyle \ forall х (х \ в А \ leftrightarrow х = х)}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle \ {х \ мид \ фи \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ lambda x \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle х = х.}$

Поскольку классы не имеют формального статуса в теории ZF, аксиомы ZF не сразу применяются к классам. Однако, если предполагается недоступный кардинал , тогда множества меньшего ранга образуют модель ZF ( вселенная Гротендика ), а ее подмножества можно рассматривать как «классы». ${\ displaystyle \ kappa}$

В ZF понятие функции также может быть обобщено на классы. Функция класса не является функцией в обычном смысле, поскольку это не набор; это скорее формула со свойством, что для любого набора существует не более одного набора , которому удовлетворяет пара. Например, функция класса, отображающая каждый набор на его преемник, может быть выражена как формула Тот факт, что упорядоченная пара удовлетворяет, может быть выраженным сокращенными обозначениями${\ Displaystyle \ Phi (х, у)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ displaystyle \ Phi.}$${\ Displaystyle у = х \ чашка \ {х \}.}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi (x) = y.}$

Другой подход основан на аксиомах фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG); классы являются базовыми объектами в этой теории, и набор затем определяется как класс, который является элементом некоторого другого класса. Однако аксиомы существования классов NBG ограничены так, что они количественно определяют только множества, а не все классы. Это заставляет NBG быть консервативным продолжением ZF.

Теория множеств Морса – Келли допускает собственные классы как базовые объекты, такие как NBG, но также допускает количественную оценку по всем собственным классам в своих аксиомах существования классов. Это заставляет MK быть строго сильнее, чем NBG и ZF.

В других теориях множеств, таких как New Foundations или теория полумножеств , понятие «собственный класс» по-прежнему имеет смысл (не все классы являются множествами), но критерий множественности не замкнут по подмножествам. Например, любая теория множеств с универсальным множеством имеет собственные классы, которые являются подклассами множеств.

Примечания

использованная литература

• Jech, Thomas (2003), Теория множеств , Монографии Springer по математике (издание третьего тысячелетия), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
• Леви А. (1979), Основная теория множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Раймонд М. Смуллян, Мелвин Фиттинг, 2010 г., Теория множеств и проблема континуума . ISBN  публикаций Dover 978-0-486-47484-7 .
• Монах Дональд Дж., 1969, Введение в теорию множеств . ISBN  компании McGraw-Hill Book Co. 9780070427150 .

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Установить класс» . MathWorld .