Функциональный детерминант - Functional determinant

В функциональном анализе , ветвь математики , иногда можно обобщить понятие определителя в виде квадратной матрицы конечного порядка (представляющими собой линейное преобразование из конечномерного векторного пространства в себя) к бесконечномерному случае линейный оператор S, отображающий функциональное пространство V в себя. Соответствующее количество Det ( S ) называется функциональный определитель из S .

Существует несколько формул функционального определителя. Все они основаны на том факте, что определитель конечной матрицы равен произведению собственных значений матрицы. Математически строгое определение через дзета - функции оператора ,

${\ Displaystyle \ zeta _ {S} (а) = \ OperatorName {tr} \, S ^ {- a} \ ,,}$

где tr обозначает функциональный след : определитель тогда определяется как

${\ Displaystyle \ Det S = е ^ {- \ zeta _ {S} '(0)} \ ,,}$

где дзета-функция в точке s = 0 определяется аналитическим продолжением . Другое возможное обобщение, часто используемое физиками при использовании формализма интегралов по путям Фейнмана в квантовой теории поля (КТП), использует функциональное интегрирование :

${\ displaystyle \ det S \ propto \ left (\ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi, S \ phi \ rangle} \ right) ^ {- 2 } \ ,.}$

Этот интеграл по путям хорошо определен только с точностью до некоторой расходящейся мультипликативной константы. Чтобы придать ему строгий смысл, он должен быть разделен другим функциональным детерминантом, таким образом эффективно устраняя проблемные «константы».

Теперь это, якобы, два разных определения функционального детерминанта, одно из квантовой теории поля, а другое из спектральной . Каждый из них включает своего рода регуляризацию : в популярном в физике определении два детерминанта можно только сравнивать друг с другом; в математике использовалась дзета-функция. Осгуд, Филлипс и Сарнак (1988) показали, что результаты, полученные путем сравнения двух функциональных детерминант в формализме КТП, согласуются с результатами, полученными с помощью дзета-функционального детерминанта.

Определение формул

Версия с интегральной траекторией

Для положительного самосопряженного оператора S в конечномерном евклидовом пространстве V формула

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {\ det S}}} = \ int _ {V} e ^ {- \ pi \ langle x, Sx \ rangle} \, dx}$

держит.

Проблема состоит в том, чтобы найти способ понять определитель оператора S в бесконечномерном функциональном пространстве. Один из подходов, предпочитаемых в квантовой теории поля, в котором функциональное пространство состоит из непрерывных траекторий на отрезке, состоит в том, чтобы формально попытаться вычислить интеграл

${\ displaystyle \ int _ {V} e ^ {- \ pi \ langle \ phi, S \ phi \ rangle} \, {\ mathcal {D}} \ phi}$

где V есть функция пространства и L ² скалярное произведение, а мера Винера . Основное предположение относительно S состоит в том, что он должен быть самосопряженным и иметь дискретный спектр λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ ,… с соответствующим набором собственных функций f ₁ , f ₂ , f ₃ ,…, которые полны в L ^2. (как, например, было бы в случае оператора второй производной на компактном интервале Ω). Это примерно означает, что все функции φ могут быть записаны как линейные комбинации функций f _i : ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} \ phi}$

${\ displaystyle | \ phi \ rangle = \ sum _ {i} c_ {i} | f_ {i} \ rangle \ quad {\ text {with}} c_ {i} = \ langle f_ {i} | \ phi \ рангл.}$

Следовательно, скалярное произведение в экспоненте можно записать как

${\ displaystyle \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle = \ sum _ {i, j} c_ {i} ^ {*} c_ {j} \ langle f_ {i} | S | f_ {j} \ rangle = \ sum _ {i, j} c_ {i} ^ {*} c_ {j} \ delta _ {ij} \ lambda _ {i} = \ sum _ {i} | c_ {i} | ^ {2} \ lambda _ {i}.}$

В основе функций f _i функциональная интеграция сводится к интеграции по всем базовым функциям. Формально, если предположить, что наша интуиция из конечномерного случая переносится в бесконечномерную среду, тогда мера должна быть равна

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ phi = \ prod _ {i} {\ frac {dc_ {i}} {2 \ pi}}.}$

Это делает функциональный интеграл произведением гауссовых интегралов :

${\ Displaystyle \ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle} = \ prod _ {i} \ int _ {- \ infty } ^ {+ \ infty} {\ frac {dc_ {i}} {2 \ pi}} e ^ {- \ lambda _ {i} c_ {i} ^ {2}}.}$

Затем интегралы могут быть вычислены, давая

${\ displaystyle \ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle} = \ prod _ {i} {\ frac {1} { 2 {\ sqrt {\ pi \ lambda _ {i}}}}} = {\ frac {N} {\ sqrt {\ prod _ {i} \ lambda _ {i}}}}}$

где N - бесконечная константа, с которой нужно иметь дело с помощью некоторой процедуры регуляризации. Произведение всех собственных значений равно определителю для конечномерных пространств, и мы формально определяем, что это имеет место и в нашем бесконечномерном случае. Это приводит к формуле

${\ displaystyle \ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle} \ propto {\ frac {1} {\ sqrt {\ det S}}}.}$

Если все величины сходятся в подходящем смысле, то функциональный определитель можно описать как классический предел (Ватсон и Уиттакер). В противном случае необходимо провести некую регуляризацию . Самым популярным из них для вычисления функциональных детерминантов является регуляризация дзета-функции . Например, это позволяет вычислить определитель операторов Лапласа и Дирака на римановом многообразии , используя дзета-функцию Минакшисундарама – Плейеля . В противном случае можно также рассмотреть частное двух определителей, что приведет к сокращению расходящихся констант.

Версия дзета-функции

Пусть S - эллиптический дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами, положительный на функциях компактного носителя . То есть существует постоянная c > 0 такая, что

${\ Displaystyle \ langle \ phi, S \ phi \ rangle \ geq с \ langle \ phi, \ phi \ rangle}$

для всех гладких функций φ с компактным носителем. Тогда S имеет самосопряженное расширение до оператора на L ² с нижней гранью с . Собственные значения S могут быть расположены в последовательности

${\ displaystyle 0 <\ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ cdots, \ qquad \ lambda _ {n} \ to \ infty.}$

Тогда дзета-функция S определяется рядом:

${\ displaystyle \ zeta _ {S} (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {s}}}.}$

Известно , что ζ _S имеет мероморфное продолжение на всю плоскость. Более того, хотя можно определить дзета-функцию в более общих ситуациях, дзета-функция эллиптического дифференциального оператора (или псевдодифференциального оператора) регулярна в точке .${\ displaystyle s = 0}$

Формально, почленное дифференцирование этого ряда дает

${\ displaystyle \ zeta _ {S} '(s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {- \ ln \ lambda _ {n}} {\ lambda _ {n} ^ { s}}},}$

и поэтому, если функциональный детерминант определен правильно, он должен быть задан как

${\ Displaystyle \ Det S = \ ехр \ влево (- \ zeta _ {S} '(0) \ right).}$

Поскольку аналитическое продолжение дзета-функции регулярно в нуле, это можно строго принять как определение определителя.

Этот вид Зета-регуляризированный функционального определитель появляется также при оценке сумм вида , интегрирование по дает , которые он только может рассматриваться как логарифм детерминанта для гармонического осциллятора последнего значения как раз равен , где есть Гурвицы дзета функция . ${\ textstyle \ sum _ {п = 0} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {1} {(п + а)}}}$${\ textstyle \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} \ пер (п + а)}$${\ displaystyle - \ partial _ {s} \ zeta _ {H} (0, а)}$${\ displaystyle \ zeta _ {H} (s, a)}$

Практический пример

Бесконечная потенциальная яма

Вычислим определитель следующего оператора, описывающего движение квантово-механической частицы в бесконечной потенциальной яме :

${\ displaystyle \ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right) \ qquad (x \ in [0, L]),}$

где A - глубина потенциала, L - длина ямы. Мы вычислим этот определитель, диагонализуя оператор и умножая собственные значения . Чтобы не беспокоиться о неинтересной расходящейся константе, мы вычислим частное между детерминантами оператора с глубиной A и оператора с глубиной A = 0. Собственные значения этого потенциала равны

${\ displaystyle \ lambda _ {n} = {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}} + A \ qquad (n \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}).}$

Это значит, что

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^) {2}} {dx ^ {2}}} \ right)}} = \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {{\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2 }} {L ^ {2}}} + A} {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}}} = \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (1 + {\ frac {L ^ {2} A} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ right).}$

Теперь мы можем использовать Эйлер «S бесконечного представление продукта для синусоидальной функции :

${\ displaystyle \ sin z = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \верно)}$

из которой может быть получена аналогичная формула для функции гиперболического синуса :

${\ displaystyle \ sinh z = -i \ sin iz = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ right).}$

Применяя это, мы находим, что

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^) {2}} {dx ^ {2}}} \ right)}} = \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (1 + {\ frac {L ^ {2} A} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ sinh L {\ sqrt {A}}} {L {\ sqrt {A}}}}.}.}$

Другой способ вычисления функционального детерминанта

Для одномерных потенциалов существует кратчайший путь, дающий функциональный детерминант. Он основан на рассмотрении следующего выражения:

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {1} (x) -m \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {2} (x) -m \ right)}}}$

где m - комплексная постоянная. Это выражение является мероморфной функцией от т , имеющая нули , когда т равно собственного значения оператора с потенциалом V ₁ ( х ) и полюс , когда т является собственным значением оператора с потенциалом V ₂ ( х ). Рассмотрим теперь функции ψ^м
₁и ψ^м
₂ с участием

${\ displaystyle \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {i} (x) -m \ right) \ psi _ {i} ^ {m} (x ) = 0}$

подчиняясь граничным условиям

${\ displaystyle \ psi _ {i} ^ {m} (0) = 0, \ quad \ qquad {\ frac {d \ psi _ {i} ^ {m}} {dx}} (0) = 1.}$

Если построить функцию

${\ displaystyle \ Delta (m) = {\ frac {\ psi _ {1} ^ {m} (L)} {\ psi _ {2} ^ {m} (L)}},}$

которая также является мероморфной функцией m , мы видим, что она имеет точно такие же полюсы и нули, что и частное определителей, которое мы пытаемся вычислить: если m - собственное значение оператора номер один, то ψ^м
₁( x ) будет его собственной функцией, то есть ψ^м
₁( L ) = 0 ; и аналогично для знаменателя. По теореме Лиувилля две мероморфные функции с одинаковыми нулями и полюсами должны быть пропорциональны друг другу. В нашем случае константа пропорциональности оказывается равной единице, и мы получаем

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {1} (x) -m \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {2} (x) -m \ right)}} = {\ frac {\ psi _ {1} ^ {m} (L)} {\ psi _ {2} ^ {m} (L)}}}$

для всех значений m . При m = 0 получаем

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {1} (x) \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {2} (x) \ right)}} = {\ frac {\ psi _ {1} ^ {0} (L)} {\ psi _ {2} ^ {0} (L)}}.}$

Снова о бесконечной потенциальной яме

С помощью этого формализма проще решить проблему из предыдущего раздела. Функции ψ⁰
_я( х ) подчиняться

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right) \ psi _ {1} ^ {0} = 0, \ qquad \ psi _ {1} ^ {0} (0) = 0 \ quad, \ qquad {\ frac {d \ psi _ {1} ^ {0}} {dx}} (0) = 1, \\ & - {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi _ {2} ^ {0} = 0, \ qquad \ psi _ {2} ^ {0} (0) = 0 , \ qquad {\ frac {d \ psi _ {2} ^ {0}} {dx}} (0) = 1, \ end {align}}}$

давая следующие решения:

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ psi _ {1} ^ {0} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {A}}} \ sinh x {\ sqrt {A}}, \ \ & \ psi _ {2} ^ {0} (x) = x. \ end {align}}}$

Это дает окончательное выражение

${\ displaystyle {\ frac {\ det \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ right)} {\ det \ left (- {\ frac {d ^) {2}} {dx ^ {2}}} \ right)}} = {\ frac {\ sinh L {\ sqrt {A}}} {L {\ sqrt {A}}}}.}.}$

Смотрите также

• Определитель Фредгольма
• Метод Фудзикавы
• Призрак Фаддеева – Попова

Заметки

Рекомендации

• Берлайн, Николь; Гетцлер, Эзра; Вернь, Мишель (2004), Тепловые ядра и операторы Дирака , ISBN 978-3-540-20062-8
• Брэнсон, Томас П. (2007), "Q-кривизна, спектральные инварианты и теория представлений", Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения , 3 : Paper 090, 31, arXiv : 0709.2471 , Bibcode : 2007SIGMA ... 3 ..090B , DOI : 10,3842 / SIGMA.2007.090 , ISSN  1815-0659 , МР  2366932 , S2CID  14629173
• Брэнсон, Томас П. (1993), Функциональный детерминант , Серия конспектов лекций, 4 , Сеул: Исследовательский центр глобального анализа математического института Сеульского национального университета, MR  1325463
• Хёрмандер, Ларс (1968), "Спектральная функция эллиптического оператора", Acta Mathematica , 121 : 193-218, DOI : 10.1007 / BF02391913 , ISSN  0001-5962 , МР  0609014
• Осгуд, Б .; Phillips, R .; Сарнак, Питер (1988), "Экстремаль детерминанты лапласианов", журнал функционального анализа , 80 (1): 148-211, DOI : 10,1016 / 0022-1236 (88) 90070-5 , ISSN  0022-1236 , MR  0960228
• Ray, DB; Певец, И. М. (1971), " R -кручения и лапласиан на римановых многообразиях", Успехи в математике , 7 (2): 145-210, DOI : 10,1016 / 0001-8708 (71) 90045-4 , МР  0295381
• Сили, Р.Т. (1967), "Комплексные степени эллиптического оператора", Сингулярные интегралы (Proc. Sympos. Pure Math., Чикаго, Иллинойс, 1966) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 288–307, MR.  0237943
• Шубин М.А. (1987), Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория , Ряды Спрингера в советской математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13621-7, Руководство по ремонту  0883081