Аналитическое продолжение - Analytic continuation

В комплексном анализе , разделе математики , аналитическое продолжение - это метод расширения области определения данной аналитической функции . Аналитическое продолжение часто позволяет определить дополнительные значения функции, например, в новой области, где представление бесконечного ряда, в терминах которого оно изначально определено, становится расходящимся .

Однако пошаговая техника продолжения может столкнуться с трудностями. Они могут иметь по существу топологический характер, приводя к несогласованности (определение более одного значения). В качестве альтернативы они могут быть связаны с наличием сингулярностей . Случай нескольких комплексных переменных совершенно иной, поскольку в этом случае особенности не обязательно должны быть изолированными точками, и его исследование явилось основной причиной развития когомологий пучков .

Первоначальное обсуждение

Аналитическое продолжение натурального логарифма (мнимая часть)

Пусть F является аналитической функцией , определенная на непустое открытое подмножество U на комплексной плоскости . Если V - большее открытое подмножество , содержащее U , и F - аналитическая функция, определенная на V такая, что

тогда F называется аналитическим продолжением f . Другими словами, ограничение на F на U является функцией е мы начали с.

Аналитические продолжения единственны в следующем смысле: если V - связная область двух аналитических функций F 1 и F 2 таких, что U содержится в V и для всех z - в U

тогда

на всех V . Это связано с тем, что F 1  -  F 2 является аналитической функцией, которая обращается в нуль в открытой связной области U функции f и, следовательно, должна исчезать во всей своей области. Это непосредственно следует из теоремы тождества для голоморфных функций .

Приложения

Обычный способ определения функций в комплексном анализе заключается в том, что сначала задают функцию только в небольшой области, а затем расширяют ее с помощью аналитического продолжения.

На практике это продолжение часто выполняется, сначала устанавливая некоторое функциональное уравнение для небольшой области, а затем используя это уравнение для расширения области. Примерами являются дзета-функция Римана и гамма-функция .

Концепция универсального покрытия была впервые разработана для определения естественной области аналитического продолжения аналитической функции . Идея поиска максимального аналитического продолжения функции, в свою очередь, привела к развитию идеи римановых поверхностей .

Пример работы

Аналитическое продолжение от U (с центром в 1) к V (с центром в a = (3 + i) / 2)

Начните с конкретной аналитической функции . В этом случае он задается степенным рядом с центром :

По теореме Коши – Адамара его радиус сходимости равен 1. То есть он определен и аналитичен на открытом множестве, имеющем границу . Действительно, серия расходится на .

Представьте, что мы этого не знаем , и сосредоточьтесь на повторном центрировании степенного ряда в другой точке :

Мы вычислим и определим, сходится ли этот новый степенной ряд в открытом наборе, который не содержится в . Если это так, мы аналитически продолжим в область, которая строго больше, чем .

Расстояние от до есть . Возьми ; пусть будет круг радиуса вокруг ; и пусть будет его границей. Тогда . Используя формулу дифференцирования Коши для вычисления новых коэффициентов,

Это,

который имеет радиус сходимости , и если мы выберем с , то не является подмножеством и на самом деле больше по площади, чем . На графике показан результат для

Мы можем продолжить процесс: выбрать , заново центрировать степенной ряд и определить, где сходится новый степенной ряд. Если в регионе есть точки, не входящие в , то аналитически мы продолжим еще дальше. Это свойство можно аналитически продолжить на проколотую комплексную плоскость

Формальное определение ростка

Определенный ниже степенной ряд обобщается идеей ростка . Общая теория аналитического продолжения и ее обобщений известна как теория пучков . Позволять

- степенной ряд, сходящийся в круге D r ( z 0 ), r > 0, определяемый равенством

.

Отметим, что без ограничения общности здесь и далее мы всегда будем предполагать, что было выбрано максимальное такое r , даже если это r равно ∞. Также обратите внимание, что было бы эквивалентно начать с аналитической функции, определенной на некотором небольшом открытом множестве. Мы говорим, что вектор

является росток из F . База г 0 из г в г 0 , то стебель из г является (α 0 , & alpha ; 1 , α 2 , ...) , а верхняя г 1 из г является α 0 . Вершина g - это значение f при z 0 .

Любой вектор g = ( z 0 , α 0 , α 1 , ...) является ростком, если он представляет собой степенной ряд аналитической функции вокруг z 0 с некоторым радиусом сходимости r > 0. Следовательно, мы можем смело говорить о набор ростков .

Топология множества ростков

Пусть г и ч быть микробами . Если где r - радиус сходимости g, и если степенной ряд, определяемый g и h, задает идентичные функции на пересечении двух областей, то мы говорим, что h порождается g (или совместим с ним) , и пишем gч . Это условие совместимости не является ни транзитивным, ни симметричным, ни антисимметричным. Если мы расширим отношение транзитивностью , мы получим симметричное отношение, которое, следовательно, также является отношением эквивалентности на ростках (но не упорядочением). Это расширение по транзитивности является одним из определений аналитического продолжения. Обозначим отношение эквивалентности .

Мы можем определить топологию на . Пусть r > 0, и пусть

Множества U r ( g ) для всех r > 0 и определяют базис открытых множеств для топологии on .

Подключенный компонент из (т.е. класс эквивалентности) называется пучком . Также отметим, что карта, определяемая как где r - радиус сходимости g , является диаграммой . Набор таких карт образует атлас для , следовательно, является римановой поверхностью . иногда называют универсальной аналитической функцией .

Примеры аналитического продолжения

является степенным рядом, соответствующим натуральному логарифму вблизи z = 1. Этот степенной ряд можно превратить в росток

Этот росток имеет радиус сходимости 1, и таким образом есть пучок S , соответствующий ему. Это пучок логарифмической функции.

Теорема единственности для аналитических функций распространяется также на пучки аналитических функций: если пучок аналитической функции содержит нулевой росток (т. Е. Пучок равномерно равен нулю в некоторой окрестности), то весь пучок равен нулю. Вооружившись этим результатом, мы можем видеть, что если мы возьмем любой росток g пучка S логарифмической функции, как описано выше, и превратим его в степенной ряд f ( z ), то эта функция будет обладать тем свойством, что exp ( f ( z )) = z . Если бы мы решили использовать версию теоремы об обратной функции для аналитических функций, мы могли бы построить широкий спектр обратных для экспоненциального отображения, но мы обнаружили , что все они представлены некоторым росток S . В этом смысле S является «истинным обратным» экспоненциальному отображению.

В более ранней литературе пучки аналитических функций назывались многозначными функциями . См. Связку для общей концепции.

Урочище

Предположим, что степенной ряд имеет радиус сходимости r и определяет аналитическую функцию f внутри этого круга. Рассмотрим точки на круге сходимости. Точка, для которой существует окрестность, в которой f имеет аналитическое расширение, регулярна , в противном случае - особой . Окружность является естественной границей, если все ее точки особые.

В более общем смысле, мы можем применить определение к любой открытой связной области, в которой f является аналитической, и классифицировать точки границы области как регулярные или особые: граница области тогда является естественной границей, если все точки особые, в которых в случае, если область является областью голоморфности .

Пример I. Функция с естественной границей в нуле (простая дзета-функция)

Поскольку мы определяем так называемую простую дзета-функцию , как

Эта функция аналогична сумматорной форме дзета-функции Римана, когда она является той же сумматорной функцией, что и , за исключением того, что индексы ограничиваются только простыми числами, вместо суммирования всех положительных натуральных чисел . Простая дзета-функция имеет аналитическое продолжение на все такие комплексные s , что этот факт следует из выражения логарифмами дзета-функции Римана как

Поскольку имеется простой несъемный столб в точке , то можно увидеть, что у него есть простой столб в точке . Поскольку набор точек

имеет точку накопления 0 (предел последовательности as ), мы видим, что ноль образует естественную границу для . Это означает, что у него нет аналитического продолжения для s слева от (или в) нуля, т. Е. Нет продолжения для when . В качестве примечания, этот факт может быть проблематичным, если мы выполняем комплексный контурный интеграл по интервалу, действительные части которого симметричны относительно нуля, скажем, для некоторых , где подынтегральное выражение - функция со знаменателем, который существенно зависит от .

Пример II: Типичный лакунарный ряд (естественная граница как подмножество единичной окружности)

Для целых чисел определим лакунарный ряд порядка c разложением в степенной ряд

Ясно, поскольку существует функциональное уравнение для любого z, удовлетворяющего заданному . Также нетрудно увидеть, что для любого целого числа у нас есть другое функциональное уравнение для заданного

Для любых положительных натуральных чисел c функция лакунарного ряда имеет простой полюс в точке . Мы рассматриваем вопрос аналитического продолжения функции на другой комплекс z, такой что, как мы увидим, для любого множества корней -й степени из единицы налагают естественную границу на функцию . Следовательно, поскольку множество объединения всех таких корней из единицы над плотно на границе единичной окружности, у нас нет возможности аналитического продолжения на комплексный z , действительные части которого превышают единицу.

Доказательство этого факта обобщается стандартными аргументами для случая, когда А именно, для целых чисел , пусть

где обозначает открытый единичный круг в комплексной плоскости и , т. е. существуют различные комплексные числа z, которые лежат на единичном круге или внутри него, такие что . Теперь ключевой частью доказательства является использование функционального уравнения относительно того, когда показать, что

Таким образом, для любой дуги на границе единичной окружности существует бесконечное количество точек z внутри этой дуги, таких что . Это условие эквивалентно утверждению, что окружность образует естественную границу для функции при любом фиксированном выборе. Следовательно, для этих функций нет аналитического продолжения за пределы внутренней части единичной окружности.

Теорема монодромии

Теорема монодромии дает достаточное условие для существования прямого аналитического продолжения (т. Е. Расширения аналитической функции до аналитической функции на большем множестве).

Предположим , что открытое множество и е аналитической функции D . Если G является односвязной домен , содержащий D , такой , что F имеет аналитическое продолжение вдоль любого пути в G , начиная с некоторой фиксированной точки а в D , то F имеет прямое аналитическое продолжение на G .

В приведенном выше языке это означает , что если G является односвязной областью, и S является пучком, множество базовых точек содержит G , то существует аналитическая функция F на G , чьи зародыши принадлежат S .

Теорема Адамара о разрыве

Для степенного ряда

с участием

круг сходимости - естественная граница. Такой степенной ряд называется лакунарным . Эта теорема была существенно обобщена Ойгеном Фабри (см . Теорему Фабри о разрыве ) и Джорджем Полиа .

Теорема Поли

Позволять

- степенной ряд, то существует ε k ∈ {−1, 1} такое, что

имеет круг сходимости f вокруг z 0 как естественную границу.

Доказательство этой теоремы использует теорему Адамара о щели.

Полезная теорема: достаточное условие для аналитического продолжения к целым неположительным числам

В большинстве случаев, если существует аналитическое продолжение комплексной функции, оно задается интегральной формулой. Следующая теорема, при условии, что ее предположения выполнены, обеспечивает достаточное условие, при котором мы можем продолжить аналитическую функцию от ее точек сходящейся вдоль положительных вещественных чисел до произвольных (за исключением конечного числа полюсов). Более того, формула дает явное представление для значений продолжения неположительных целых чисел, выраженных точно через производные более высокого порядка (целые числа) исходной функции, оцененные как ноль.

Гипотезы теоремы

Для применения сформулированной ниже теоремы о продолжении этой функции нам потребуется, чтобы функция удовлетворяла следующим условиям:

  • (Т-1). Функция должна иметь непрерывные производные всех порядков, т . Е .. Другими словами, для любых целых чисел , интеграл порядка производной должна существовать, быть непрерывным на , а сам быть дифференцируема , так что все высшие производные порядков F являются гладкими функциями х на положительных действительных чисел;
  • (Т-2). Мы требуем, чтобы функция F является быстро убывающей в том , что для всех мы получаем предельное поведение , которое , как т становится неограниченной, стремится к бесконечности;
  • (Т-3). Преобразование Меллина (с обратной гамма-шкалой) для F существует для всех комплексных s таких, что за исключением (или для всех s с положительными действительными частями, за исключением, возможно, конечного числа исключительных полюсов):

Заключение теоремы

Пусть F - любая функция, определенная на положительных числах, которая удовлетворяет всем условиям (T1) - (T3) выше. Тогда интегральное представление масштабированного преобразования Меллина для F в точке s , обозначенное как , имеет мероморфное продолжение на комплексную плоскость . Более того, мы имеем, что для любого неотрицательного продолжения F в точку явно задается формулой

Примеры

Пример I. Связь дзета-функции Римана с числами Бернулли.

Мы можем применить теорему к функции

что соответствует экспоненциальной производящей функции из чисел Бернулли , . Для , мы можем выразить , поскольку мы можем вычислить, что следующая интегральная формула для обратных степеней целых чисел верна для s в этом диапазоне:

Теперь , так как подынтегральная последнего уравнения является равномерно непрерывной функцией т для каждого натурального числа п , мы имеем интегральное представление , когда задается

Когда мы выполняем интегрирование по частям с интегралом преобразования Меллина для этого , мы также получаем соотношение, что

Более того, поскольку для любой фиксированной целочисленной полиномиальной степени t мы удовлетворяем условию теоремы, которая требует этого . Стандартное применение теоремы Тейлора к обычной производящей функции из чисел Бернулли показывает , что . В частности, с помощью наблюдения , сделанного выше сдвиг , и этих замечаний, мы можем вычислить значения так называемые тривиальных нулей в дзета - функции Римана (для ) и рациональных многозначных отрицательных констант нечетных целого числа порядка, , согласно формула

Пример II: интерпретация F как сумматорной функции для некоторой арифметической последовательности

Предположим, что F - гладкая, достаточно убывающая функция на положительных числах, удовлетворяющая дополнительному условию, что

В применении к теории чисел контекстов, мы рассмотрим такие F быть функцией Сумматорной из арифметической функции F ,

где мы берем, а штриховое обозначение предыдущей суммы соответствует стандартным соглашениям, используемым для формулировки теоремы Перрона :

Нас интересует аналитическое продолжение ФРГ функции f или, что эквивалентно, ряда Дирихле по f в точке s ,

Как правило, у нас есть конкретное значение абсцисс сходимости , определенное таким образом, что оно абсолютно сходится для всех удовлетворяющих комплексных s , и где предполагается, что имеет полюс в и так что исходный ряд Дирихле для расходится для всех s, таких что . Известно, что существует связь между преобразованием Меллина сумматорной функции любого f и продолжением его DGF в форме:

То есть, при условии, что есть продолжение на комплексную плоскость слева от начала координат, мы можем выразить сумматорную функцию любого f с помощью обратного преобразования Меллина DGF f, продолженного до s с вещественными частями меньше нуля, как:

Мы можем сформировать DGF или производящую функцию Дирихле любого заданного f с нашей гладкой целевой функцией F , выполнив суммирование по частям как

где - преобразование Лапласа-Бореля функции F , которое, если

соответствует экспоненциальной производящей функции некоторой последовательности, пронумерованной (как предписано разложением F в ряд Тейлора относительно нуля), то

- его обычная производящая функция над последовательностью, коэффициенты которой нумеруются .

Отсюда следует, что если мы напишем

попеременно интерпретируются как знаковый вариантом биномиального преобразования из F , то мы можем выразить DGF как следующее преобразование Меллина в :

Наконец, поскольку гамма-функция имеет мероморфное продолжение в , для всех у нас есть аналитическое продолжение DGF для f at -s вида

где формула для неотрицательных целых чисел n задается согласно формуле теоремы как

Более того, при условии, что арифметическая функция f удовлетворяет так, что существует ее обратная функция Дирихле, DGF продолжается до любого , то есть любого комплекса s, за исключением s в f -определенной или зависящей от приложения f- специфической, так называемой критической полосе между вертикальными линиями , а значение этой обратной функции DGF, когда задается формулой

Чтобы продолжить DGF обратной функции Дирихле до s внутри этой f- определенной критической полосы , мы должны потребовать некоторого знания функционального уравнения для DGF , которое позволяет нам связать s таким образом, что ряд Дирихле, который изначально определяет эту функцию абсолютно сходится к значениям s внутри этой полосы - по сути, формула, обеспечивающая необходимое для определения DGF в этой полосе.

Смотрите также

Рекомендации

  • Ларс Альфорс (1979). Комплексный анализ (3-е изд.). Макгроу-Хилл. С. 172, 284.
  • Людвиг Бибербах (1955). Analytische Fortsetzung . Springer-Verlag.
  • П. Динес (1957). Серия Тейлора: введение в теорию функций комплексного переменного . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc.

Внешние ссылки