Регуляризация (физика) - Regularization (physics)

В физике , особенно в квантовой теории поля , регуляризация - это метод модификации наблюдаемых, которые имеют особенности , чтобы сделать их конечными путем введения подходящего параметра, называемого регулятором . Регулятор, также известный как «отсечка», моделирует недостаток наших знаний о физике в ненаблюдаемых масштабах (например, в масштабах небольшого размера или больших энергетических уровнях). Это компенсирует (и требует) возможность того, что «новая физика» может быть открыта в тех масштабах, которые настоящая теория не способна моделировать, в то же время позволяя текущей теории давать точные предсказания в качестве «эффективной теории» в рамках предполагаемого масштаба использования. .

Он отличается от перенормировки , другого метода управления бесконечностями без принятия новой физики, путем корректировки обратной связи по самовзаимодействию.

Регуляризация в течение многих десятилетий вызывала споры даже среди ее изобретателей, поскольку она объединяет физические и эпистемологические утверждения в одни и те же уравнения. Тем не менее, теперь это хорошо изучено и доказало, что дает полезные и точные прогнозы.

Обзор

Процедуры регуляризации имеют дело с бесконечными, расходящимися и бессмысленными выражениями, вводя вспомогательное понятие регулятора (например, минимальное расстояние в пространстве, которое полезно в случае, если расхождения возникают из-за физических эффектов на малых расстояниях). Правильный физический результат получается в пределе, в котором регулятор уходит (в нашем примере ), но достоинство регулятора в том, что для его конечного значения результат конечен. ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ to 0}$

Однако результат обычно включает члены, пропорциональные выражениям, например, которые не имеют четкого определения в пределе . Регуляризация - это первый шаг к достижению окончательного и значимого результата; в квантовой теории поля обычно должен следовать связанный, но независимый метод, называемый перенормировкой . Перенормировка основана на требовании, чтобы некоторые физические величины, выражаемые с помощью кажущихся расходящимися выражениями, таких как, были равны наблюдаемым значениям. Такое ограничение позволяет вычислить конечное значение для многих других величин, которые выглядели расходящимися. ${\ displaystyle 1 / \ epsilon}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ to 0}$ ${\ displaystyle 1 / \ epsilon}$

Существование предела при стремлении ε к нулю и независимость конечного результата от регулятора - нетривиальные факты. Основная причина их заключается в универсальности, как показали Кеннет Уилсон и Лео Каданов, и в существовании фазового перехода второго рода . Иногда перейти к пределу при стремлении ε к нулю невозможно. Это тот случай, когда у нас есть полюс Ландау и для неперенормируемых взаимодействий, таких как взаимодействие Ферми . Однако даже для этих двух примеров, если регулятор дает только разумные результаты, а мы работаем со шкалами порядка , регуляторы по- прежнему дают довольно точные приближения. Физическая причина, по которой мы не можем считать предел ε равным нулю, заключается в существовании новой физики ниже Λ. ${\ Displaystyle \ epsilon \ gg 1 / \ Lambda}$ ${\ displaystyle 1 / \ Lambda '}$ ${\ displaystyle 1 / \ Lambda \ ll \ epsilon \ ll 1 / \ Lambda '}$

Не всегда можно определить регуляризацию так, чтобы предел ε, стремящийся к нулю, не зависел от регуляризации. В этом случае говорят, что теория содержит аномалию . Аномальные теории были изучены очень подробно и часто основываются на знаменитой теореме об индексе Атьи – Зингера или ее вариациях (см., Например, киральную аномалию ).

Пример классической физики

Проблема бесконечностей первой возникла в классической электродинамике в точечных частицах в 19 - м и начале 20 - го века.

Масса заряженной частицы должна включать массу-энергию в ее электростатическом поле ( электромагнитную массу ). Предположим, что частица представляет собой заряженную сферическую оболочку радиуса $r e$ . Масса – энергия в поле равна

{\ displaystyle m _ {\ mathrm {em}} = \ int {1 \ over 2} E ^ {2} \, dV = \ int _ {r_ {e}} ^ {\ infty} {\ frac {1} { 2}} \ left ({q \ over 4 \ pi r ^ {2}} \ right) ^ {2} 4 \ pi r ^ {2} \, dr = {q ^ {2} \ over 8 \ pi r_ {e}},}

которое становится бесконечным при $r e \to 0$ . Это означает, что точечная частица будет иметь бесконечную инерцию , что делает ее неспособной ускоряться. Между прочим, значение $r e$ , равное массе электрона, называется классическим радиусом электрона , который (при установке и восстановлении коэффициентов $c$ и ) оказывается равным ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {em}}}$ ${\ displaystyle q = e}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

{\ displaystyle r_ {e} = {e ^ {2} \ over 4 \ pi \ varepsilon _ {0} m _ {\ mathrm {e}} c ^ {2}} = \ alpha {\ hbar \ over m _ {\ mathrm {e}} c} \ приблизительно 2,8 \ times 10 ^ {- 15} \ \ mathrm {m}.}

где - постоянная тонкой структуры , - комптоновская длина волны электрона. ${\ displaystyle \ alpha \ приблизительно 1/137}$ ${\ displaystyle \ hbar / m _ {\ mathrm {e}} c}$

Регуляризация: этот процесс показывает, что первоначально используемая физическая теория терпит неудачу в малых масштабах. Это показывает, что электрон на самом деле не может быть точечной частицей, и что необходима какая-то дополнительная новая физика (в данном случае конечный радиус) для объяснения систем ниже определенного масштаба. Этот же аргумент появится в других задачах перенормировки: теория верна в какой-то области, но, как можно видеть, рушится и требует новой физики в других масштабах, чтобы избежать бесконечностей. (Другой способ избежать бесконечности, сохранив при этом точечную природу частицы, - это постулировать небольшое дополнительное измерение, по которому частица могла бы «распространяться», а не в трехмерном пространстве; это мотивация теории струн .)

(См. Также перенормировку, чтобы узнать об альтернативном способе удаления бесконечностей из этой классической проблемы, предполагая самовзаимодействие, а не существование неизвестной новой физики.)

Конкретные типы

Конкретные типы процедур регуляризации включают:

Реалистичная регуляризация

Концептуальная проблема

Пертурбативные предсказания квантовой теории поля о квантовом рассеянии элементарных частиц , подразумеваемые соответствующей плотностью лагранжиана , вычисляются с использованием правил Фейнмана , метода регуляризации для обхода ультрафиолетовых расходимостей с целью получения конечных результатов для диаграмм Фейнмана, содержащих петли, и схемы перенормировки . Метод регуляризации приводит к регуляризованным n-точечным функциям Грина ( пропагаторам ), а подходящая процедура ограничения (схема перенормировки) затем приводит к пертурбативным S-матричным элементам. Они не зависят от конкретного используемого метода регуляризации и позволяют пертурбативно моделировать измеримые физические процессы (сечения, амплитуды вероятности, ширину распада и время жизни возбужденных состояний). Однако до сих пор никакие известные регуляризованные n-точечные функции Грина нельзя рассматривать как основанные на физически реалистичной теории квантового рассеяния, поскольку при выводе каждой из них игнорируются некоторые из основных принципов традиционной физики (например, из-за того, что они не являются лоренц-инвариантными). путем введения либо нефизических частиц с отрицательной метрикой или неправильной статистикой, либо дискретного пространства-времени, либо снижения размерности пространства-времени, либо некоторой их комбинации). Таким образом, доступные методы регуляризации понимаются как формалистические технические приемы, лишенные какого-либо прямого физического смысла. Кроме того, есть сомнения по поводу перенормировки. Историю и комментарии по этой открытой концептуальной проблеме, возникшей более полувека назад, см., Например,

Гипотеза Паули

Поскольку кажется, что вершины нерегуляризованных рядов Фейнмана адекватно описывают взаимодействия в квантовом рассеянии, считается, что их ультрафиолетовые расходимости обусловлены асимптотическим поведением пропагаторов Фейнмана при высоких энергиях. Таким образом, это разумный, консервативный подход - сохранить вершины в ряду Фейнмана и изменить только пропагаторы Фейнмана для создания регуляризованного ряда Фейнмана. Это аргумент в пользу формальной ковариантной регуляризации Паули – Вилларса путем модификации пропагаторов Фейнмана с помощью вспомогательных нефизических частиц, ср. и представление физической реальности диаграммами Фейнмана.

В 1949 году Паули предположил, что существует реалистичная регуляризация, которая подразумевается теорией, которая уважает все установленные принципы современной физики. Таким образом, его пропагаторы (i) не нуждаются в регуляризации, и (ii) можно рассматривать как такую регуляризацию пропагаторов, используемых в квантовых теориях поля, которые могут отражать лежащую в основе физику. Дополнительные параметры такой теории не нужно удалять (т. Е. Теория не нуждается в перенормировке) и могут предоставить некоторую новую информацию о физике квантового рассеяния, хотя экспериментально они могут оказаться незначительными. Напротив, любой существующий метод регуляризации вводит формальные коэффициенты, которые в конечном итоге должны быть устранены путем перенормировки.

Мнения

Поль Дирак настойчиво и крайне критически относился к процедурам перенормировки. В 1963 году он писал: «… в теории перенормировки у нас есть теория, которая бросила вызов всем попыткам математиков сделать ее звуковой. Я склонен подозревать, что теория перенормировки - это то, что не выживет в будущем… Далее он заметил, что «можно различать две основные процедуры для физика-теоретика. Одна из них - работать на экспериментальной основе ... Другая процедура - работать на математической основе. Одна изучает и критикует существующую теорию. Каждый пытается точно указать в нем недостатки, а затем пытается их устранить. Сложность состоит в том, чтобы устранить недостатки, не разрушая очень великих успехов существующей теории ».

Абдус Салам заметил в 1972 году: «Теоретико-полевые бесконечности, впервые обнаруженные при вычислении электрона Лоренцем, сохраняются в классической электродинамике семьдесят лет, а в квантовой электродинамике - примерно тридцать пять лет. Эти долгие годы разочарования оставили в этом предмете любопытную привязанность к нему. бесконечности и страстная вера в то, что они являются неотъемлемой частью природы; настолько, что даже предположение о надежде на то, что их все-таки можно обойти - и конечные значения для вычисленных констант перенормировки - считается иррациональным ».

Однако, по мнению Джерарда т Хоофта , «история говорит нам, что если мы натолкнемся на какое-то препятствие, даже если оно выглядит чистой формальностью или просто техническим затруднением, оно должно быть тщательно изучено. Природа может нам что-то сказать, и мы должны выяснить, что это такое ".

Трудность с реалистичной регуляризацией заключается в том, что пока ее нет, хотя ее подход снизу вверх ничто не может разрушить; и для этого нет экспериментальной базы.

Минимальная реалистичная регуляризация

Рассматривая различные теоретические проблемы, Дирак в 1963 году предположил: «Я считаю, что для решения этих отдельных проблем потребуются отдельные идеи, и что они будут решаться по очереди через последовательные этапы будущей эволюции физики. несогласие с большинством физиков. Они склонны думать, что будет открыта одна основная идея, которая решит все эти проблемы вместе. Я думаю, что это слишком много, чтобы надеяться, что кто-то сможет решить все эти проблемы вместе. от другого, насколько это возможно, и постарайтесь решать их по отдельности. И я считаю, что будущее развитие физики будет заключаться в их решении по одному, и что после того, как любой из них будет решен, все еще останется большая загадка о том, как атаковать других ".

По словам Дирака, « квантовая электродинамика - это область физики, о которой мы знаем больше всего, и, по-видимому, ее нужно будет привести в порядок, прежде чем мы сможем надеяться на какой-либо фундаментальный прогресс с другими теориями поля, хотя они будут продолжать развиваться. экспериментальная база ".

Два предыдущих замечания Дирака предполагают, что мы должны начать поиск реалистичной регуляризации в случае квантовой электродинамики (КЭД) в четырехмерном пространстве-времени Минковского , начиная с исходной плотности лагранжиана КЭД .

Формулировка пути интеграла обеспечивает наиболее прямой путь от плотности лагранжиана до соответствующих фейнмановских рядов в его Лоренц-инвариантной форме. Свободнополевая часть плотности лагранжиана определяет пропагаторы Фейнмана, тогда как остальная часть определяет вершины. Поскольку считается, что вершины КЭД адекватно описывают взаимодействия в КЭД-рассеянии, имеет смысл модифицировать только свободнополевую часть плотности лагранжиана, чтобы получить такой регуляризованный ряд Фейнмана, что формула редукции Лемана – Симанчика – Циммермана дает пертурбативную S -матрица, которая: (i) является лоренц-инвариантной и унитарной; (ii) включает только частицы QED; (iii) зависит исключительно от параметров КЭД и параметров, введенных модификацией пропагаторов Фейнмана - для конкретных значений этих параметров он равен пертурбативной S-матрице КЭД; и (iv) демонстрирует ту же симметрию, что и пертурбативная S-матрица КЭД. Назовем такую регуляризацию минимальной реалистичной регуляризацией и начнем поиск соответствующих модифицированных частей плотности лагранжиана КЭД в свободном поле.

Теоретико-транспортный подход

Согласно Бьоркену и Дреллу , было бы физически целесообразно обойти ультрафиолетовые расходимости , используя более подробное описание, чем может быть предоставлено уравнениями дифференциального поля. И Фейнман отметил об использовании дифференциальных уравнений: «... для диффузии нейтронов это только приближение, которое хорошо, когда расстояние, на которое мы смотрим, велико по сравнению со средней длиной свободного пробега. Если бы мы присмотрелись более внимательно, мы бы увидеть бегающие отдельные нейтроны ". А затем он подумал: «Может ли реальный мир состоит из маленьких крестиков, которые можно увидеть только на очень крошечных расстояниях? И что в наших измерениях мы всегда наблюдаем в таком большом масштабе, что мы не можем их увидеть. маленькие иксоны, и именно поэтому мы получаем дифференциальные уравнения? ... Правильны ли они [поэтому] только как сглаженная имитация действительно гораздо более сложного микроскопического мира? "

Еще в 1938 году Гейзенберг предположил, что квантовая теория поля может обеспечить только идеализированное крупномасштабное описание квантовой динамики, действительное для расстояний, превышающих некоторую фундаментальную длину , что также ожидали Бьоркен и Дрелл в 1965 году . Предыдущее замечание Фейнмана дает возможную физическую причину его существования; либо это, либо просто другой способ сказать то же самое (есть фундаментальная единица расстояния), но без новой информации.

Намеки на новую физику

Необходимость регуляризации терминов в любой квантовой теории поля в квантовой гравитации является основной мотивацией для физики за пределами стандартной модели . Бесконечностью негравитационных сил в КТП можно управлять только с помощью перенормировки, но дополнительная регуляризация - и, следовательно, новая физика - требуется только для гравитации. Регуляризаторы моделируют и работают вокруг разрушения QFT в малых масштабах и, таким образом, ясно показывают необходимость того, чтобы какая-то другая теория вступила в игру помимо QFT в этих масштабах. А. Зи (Quantum Field Theory in a Nutshell, 2003) считает это преимуществом структуры регуляризации - теории могут хорошо работать в предполагаемых областях, но также содержат информацию о своих собственных ограничениях и ясно указывают на то, где необходима новая физика.

Languages

In other projects