Список математического жаргона - List of mathematical jargon

В языке математики имеется обширный словарь специальных и технических терминов. В нем также есть определенное количество жаргона : часто используемые фразы, которые являются частью культуры математики, а не предмета. Жаргон часто появляется в лекциях, а иногда и в печати, как неформальное сокращение строгих аргументов или точных идей. По большей части это обычный английский, но в математическом смысле он имеет неочевидное значение.

Некоторые фразы, например «в целом», встречаются ниже в нескольких разделах.

Философия математики

абстрактная чушь
Насмешливая ссылка на теорию категорий , с помощью которых можно использовать аргументы , которые устанавливают (возможно , бетон) результат без ссылки на любые особенности данной задачи. По этой причине его также называют общей абстрактной чепухой или обобщенной абстрактной чепухой .

[Статья Эйленберга и Мак Лейна  ( 1942 )] ввела очень абстрактную идею « категории » - предмет, который тогда называли «общей абстрактной чепухой»!

-  Сондерс Мак Лейн ( 1997 )

[  Гротендик  ] поднял алгебраическую геометрию на новый уровень абстракции ... если некоторые математики смогут на время утешить себя надеждой, что все эти сложные структуры являются «абстрактной чепухой» ... более поздние работы Гротендика и других показали, что классическая задачи ... которые сопротивлялись усилиям нескольких поколений талантливых математиков, могли быть решены в терминах ... сложных концепций.

-  Михаил Монастырский ( 2001 )
канонический
Ссылка на стандартное или свободное представление некоторого математического объекта (например, каноническая карта, каноническая форма или канонический порядок). Этот же термин можно также использовать более неформально для обозначения чего-то «стандартного» или «классического». Например, можно сказать, что доказательство Евклида - это «каноническое доказательство» бесконечности простых чисел .

Есть два канонических доказательства, которые всегда используются, чтобы показать нематематикам, что такое математическое доказательство:

-  Freek Wiedijk ( 2006 , стр.2)
глубокий
Результат называется «глубоким», если для его доказательства требуются концепции и методы, выходящие за рамки концепций, необходимых для формулировки результата. Например, теорема о простых числах, первоначально доказанная с использованием методов комплексного анализа, когда-то считалась глубоким результатом, пока не были найдены элементарные доказательства . С другой стороны, тот факт, что π иррационально, обычно известен как глубокий результат, потому что он требует значительного развития реального анализа, прежде чем можно будет установить доказательство - даже если само утверждение может быть сформулировано в терминах простой теории чисел. и геометрия .
элегантный
Эстетический термин, относящийся к способности идеи дать представление о математике, будь то объединение разрозненных полей, введение нового взгляда на отдельную область или обеспечение техники доказательства, которая либо особенно проста, либо улавливает интуицию или воображение относительно того, почему результат, который он доказывает, является правдой. В некоторых случаях термин «красивый» также может использоваться для того же эффекта, хотя Джан-Карло Рота различал элегантность изложения и красоту концепции , говоря, что, например, некоторые темы могут быть изложены элегантно, хотя математическое содержание не красиво, а некоторые теоремы или доказательства красивы, но о них можно написать неэлегантно.

Красота математической теории не зависит от эстетических качеств ... строгого изложения теории. Некоторым прекрасным теориям может никогда не быть представлено, которое соответствовало бы их красоте ... Можно также найти примеры посредственных теорий сомнительной красоты, которым даются блестящие, захватывающие изложения ... [Теория категорий] богата красивыми и проницательными определениями и бедны элегантными доказательствами .... [Теоремы] остаются неуклюжими и скучными .... [Изложения проективной геометрии ] соперничают друг с другом в элегантности изложения и в умении доказательства ... Оглядываясь назад, можно задаться вопросом, что вся суета была вокруг.

Математики могут сказать, что теорема прекрасна, когда они действительно хотят сказать, что она поучительна. Мы признаем красоту теоремы, когда видим, как теорема «подходит» на свое место ... Мы говорим, что доказательство красиво, когда такое доказательство наконец раскрывает секрет теоремы ...

-  Джан-Карло Рота ( 1977 , стр. 173–174, стр. 181–182)
элементарный
Доказательство или результат называется «элементарным», если оно включает только основные концепции и методы в данной области, и должно противопоставляться глубоким результатам, которые требуют дальнейшего развития в рамках или за пределами области. Понятие «элементарное доказательство» используется специально в теории чисел , где оно обычно относится к доказательству, не прибегающему к методам комплексного анализа .
фольклор
Результат называется «фольклором», если он неочевиден, не опубликован, но каким-то образом известен специалистам в данной области. Во многих сценариях неясно, кто первым получил результат, хотя, если результат значительный, он может в конечном итоге попасть в учебники, после чего перестает быть фольклором.

Многие из результатов, упомянутых в этой статье, следует рассматривать как «фольклорные», поскольку они просто формально формулируют идеи, которые хорошо известны исследователям в этой области, но могут быть не очевидны для новичков и, насколько мне известно, больше нигде не встречаются. в печати.

-  Рассел Импальяццо ( 1995 )
естественный
Подобно «каноническому», но более конкретному, и которое ссылается на описание (почти исключительно в контексте преобразований ), которое действует независимо от любого выбора. Хотя этот термин давно используется неформально, он нашел формальное определение в теории категорий.
патологический
Объект ведет себя патологически (или, в более широком смысле, вырожденным образом), если он либо не соответствует общему поведению таких объектов, не удовлетворяет определенным контекстно-зависимым свойствам регулярности, либо просто не подчиняется математической интуиции . Во многих случаях это могут быть, а часто и противоречащие друг другу требования, в то время как в других случаях этот термин более сознательно используется для обозначения искусственно созданного объекта в качестве контрпримера к этим свойствам. Простым примером является то, что из определения треугольника, имеющего углы в сумме π радиан, единственная прямая линия соответствует этому определению патологически.

За полвека мы наблюдали появление множества причудливых функций, которые, кажется, пытаются как можно меньше походить на честные функции, служащие какой-то цели ... Более того, с логической точки зрения, именно эти странные функции являются самыми общими ... сегодня они изобретены специально для того, чтобы опровергнуть рассуждения наших отцов ...

-  Анри Пуанкаре ( 1913 )

[Функция Дирихле ] приобрела огромное значение ... как стимул для создания новых типов функций, свойства которых полностью отличались от того, что интуитивно казалось допустимым. Знаменитый пример такой так называемой «патологической» функции ... приведен Вейерштрассом ... Эта функция является непрерывной, но не дифференцируемой .

-  Дж. Соуза Пинто ( 2004 )
Обратите внимание на последнюю цитату: поскольку дифференцируемые функции являются скудными в пространстве непрерывных функций, как обнаружил Банах в 1931 году, дифференцируемые функции, в разговорной речи, являются редким исключением среди непрерывных функций. Таким образом, вряд ли можно больше оправдать называть недифференцируемые непрерывные функции патологическими.
строгость (строгость)
Акт установления математического результата с использованием неоспоримой логики, а не неформальных описательных аргументов. Строгость является краеугольным камнем математики и может сыграть важную роль в предотвращении вырождения математики в заблуждения.
воспитанный
Объект ведет себя хорошо (в отличие от патологического ), если он удовлетворяет определенным преобладающим свойствам регулярности или если он соответствует математической интуиции (хотя интуиция часто может предлагать и противоположное поведение). В некоторых случаях (например, при анализе ) термин « гладкий » также может использоваться с тем же эффектом.

Описательные неформальности

Хотя в конечном итоге каждый математический аргумент должен соответствовать высокому стандарту точности, математики используют описательные, но неформальные утверждения, чтобы обсуждать повторяющиеся темы или концепции с громоздкими формальными утверждениями. Обратите внимание, что многие термины полностью строги в контексте.

почти все
Термин стенографии для «все для кроме набора из нуля меры », когда есть мера говорить. Например, «почти все действительные числа являются трансцендентными » , потому что алгебраические вещественными числа образуют счетное подмножество действительных чисел с нулевой мерой. Можно также говорить о «почти всех» целых числах, имеющих свойство означать «все, кроме конечного множества», несмотря на то, что целые числа не допускают меры, для которой это согласуется с предыдущим использованием. Например, «почти все простые числа нечетные ». У целых чисел есть и более сложное значение, о котором мы поговорим в основной статье. Наконец, этот термин иногда используется ниже как синоним « общий» .
произвольно большой
Понятия, которые возникают в основном в контексте ограничений , относящихся к повторению явления по мере приближения к пределу. Оператор такой как предикат Р удовлетворяет сколь угодно больших значений, может быть выражено в более формальной записи с помощью ∀ х  : ∃ у ≥ х  :  Р ( у ) . Смотрите также часто . Утверждение, что величина f ( x ), зависящая от x, «может быть сделана» сколь угодно большой, соответствует ∀ y  : ∃ x  :  f ( x ) ≥ y .
произвольный
Сокращение для универсального квантора . Произвольный выбор - это выбор, который делается неограниченно, или, альтернативно, утверждение выполняется для произвольного элемента набора, если оно выполняется для любого элемента этого набора. Также много общего среди математиков: «Конечно, эта задача может быть сколь угодно сложной».
в итоге
В контексте ограничений это сокращенное значение для достаточно больших аргументов ; соответствующие аргументы неявны в контексте. Например, функция log (log ( x )) в конечном итоге становится больше 100 "; в этом контексте" в конечном итоге "означает" для достаточно большого x ".
фактор через
Термин в теории категорий, относящийся к композиции морфизмов . Если мы имеем три объекты A , B и C и карта , которая записывается в виде композиции с и , затем е , как говорят фактор через любого (и все) , и .
конечный
«Не бесконечно». Например, если дисперсия случайной величины называется конечной, это означает, что это неотрицательное действительное число.
часто
В контексте ограничений это сокращение для произвольно больших аргументов и их родственников; как и в случае с в конечном итоге , предполагаемый вариант является неявным. Например, последовательность часто находится в интервале (1/2, 3/2), потому что есть сколь угодно большие n, для которых значение последовательности находится в интервале.
общий
Этот термин имеет те же значения, что и почти все, но используется, в частности, для понятий, выходящих за рамки теории меры . Свойство сохраняется «в общем» на множестве, если набор удовлетворяет некоторому (контекстно-зависимому) понятию плотности или, возможно, если его дополнение удовлетворяет некоторому (контекстно-зависимому) понятию малости. Например, свойство, которое выполняется на плотной G δ ( пересечение счетного числа открытых множеств ), называется общим. В алгебраической геометрии говорят, что свойство точек на алгебраическом многообразии, которое имеет место на плотном открытом множестве Зарисского , истинно в общем случае; однако обычно не говорят, что свойство, которое выполняется только на плотном множестве (которое не является открытым по Зарисскому), является общим в этой ситуации.
В основном
В описательном контексте эта фраза вводит простую характеристику широкого класса объектов с прицелом на определение объединяющего принципа. Этот термин вводит «элегантное» описание, которое справедливо для « произвольных » объектов. Исключения из этого описания могут быть упомянуты явно как « патологические » случаи.

Норберт А'Кампо из Базельского университета однажды спросил Гротендика о чем-то, связанном с платоновыми телами . Гротендик посоветовал соблюдать осторожность. Платоновы тела настолько прекрасны и настолько исключительны, сказал он, что нельзя предположить, что такая исключительная красота будет сохраняться в более общих ситуациях.

-  Аллин Джексон ( 2004 , стр.1197)
левая сторона, правая сторона (LHS, RHS)
Чаще всего они относятся просто к левой или правой части уравнения ; например, есть на левой и правой сторонах. Иногда они используются в смысле lvalue и rvalue: RHS является примитивным, а LHS является производным.
отлично
Математический объект в просторечии называется хорошим или достаточно хорошим, если он удовлетворяет гипотезам или свойствам, иногда неопределенным или даже неизвестным, которые особенно желательны в данном контексте. Это неофициальный антоним патологического . Например, можно предположить, что дифференциальный оператор должен удовлетворять определенному условию ограниченности «для хороших тестовых функций», или можно утверждать, что некоторый интересный топологический инвариант должен быть вычислимым «для хороших пространств X ».
на
Функция (которая в математике обычно определяется как отображение элементов одного множества A на элементы другого B ) называется « A на B » (вместо « A на B » или « A на B »), только если она сюръективна. ; можно даже сказать, что « f находится на» (т. е. сюръективно). Не переводится (без уточнений) на некоторые языки, кроме английского.
правильный
Если какое - то понятие подструктуры, объекты подструктуры сами по себе (то есть, отношения рефлексивный ), то квалификация собственно требует объектов по - другому. Например, собственное подмножество множества S - это подмножество S , которое отличается от S , а правильный делитель числа n является делителем числа n , отличного от n . Это перегруженное слово также не является жаргоном для правильного морфизма .
обычный
Функция называется регулярной, если она удовлетворяет удовлетворительным свойствам непрерывности и дифференцируемости, которые часто зависят от контекста. Эти свойства могут включать в себя наличие определенного числа производных , при этом функция и ее производные демонстрируют некоторые приятные свойства (см. Nice выше), такие как непрерывность Гёльдера . Неформально этот термин иногда используется как синоним сглаживания , ниже. Эти неточные употребления слова регулярное не следует путать с понятием регулярного топологического пространства , которое строго определено.
соотв.
(Соответственно) Соглашение о сокращении параллельных экспозиций. « (Соотв. B ) [имеет некоторое отношение к] Х (соотв. Y )» означает , что [имеет некоторое отношение к] X , а также , что B [есть (то же самое) отношение к] Y . Например, квадраты (соответственно треугольники) имеют 4 стороны (соответственно 3 стороны); или компактные (соответственно Линделёфские ) пространства - это пространства, в которых каждое открытое покрытие имеет конечное (соответственно счетное) открытое подпокрытие.
острый
Часто математическая теорема устанавливает ограничения на поведение некоторого объекта; например, будет показано, что функция имеет верхнюю или нижнюю границу . Ограничение является резким (иногда оптимальным ), если его нельзя сделать более строгим без сбоя в некоторых случаях. Например, для произвольных неотрицательных действительных чисел х , то показательная функция е х , где е  = 2.7182818 ..., дает верхнюю границу на значения квадратичной функции х 2 . Это не резко; разрыв между функциями везде не меньше 1. Среди экспоненциальных функций вида α x установка α =  e 2 / e  = 2,0870652 ... приводит к точной верхней границе; немного меньший выбор α = 2 не дает верхней границы, поскольку тогда α 3  = 8 <3 2 . В прикладных областях слово «плотный» часто используется в том же значении.
гладкий; плавный
Гладкость - это понятие, которое математика наделила многими значениями, от простой дифференцируемости до бесконечной дифференцируемости и аналитичности , а также других, более сложных. Каждое такое использование пытается вызвать физически интуитивное понятие гладкости.
сильный, сильнее
Теорема называется сильной, если она выводит ограничительные результаты из общих гипотез. Одним из знаменитых примеров является теорема Дональдсона , которая налагает жесткие ограничения на то, что в противном случае могло бы показаться большим классом многообразий. Это (неформальное) использование отражает мнение математического сообщества: такая теорема должна быть не только сильной в описательном смысле (ниже), но и окончательной в своей области. Теорема, результат или условие далее называются более сильными, чем другие, если доказательство второго может быть легко получено из первого, но не наоборот. Примером может служить последовательность теорем: теоремы Ферма мало , теорема Эйлера , теорема Лагранжа , каждый из которых сильнее , чем в прошлом; другое состоит в том, что точная верхняя граница (см. точную выше) является более сильным результатом, чем нечеткая. Наконец, прилагательное « сильный» или наречие « сильно» может быть добавлено к математическому понятию, чтобы указать на родственное более сильное понятие; например, сильная антицепь - это антицепь, удовлетворяющая некоторым дополнительным условиям, и точно так же сильно регулярный граф - это регулярный граф, удовлетворяющий более сильным условиям. При таком использовании более сильное понятие (например, «сильная антицепь») представляет собой технический термин с точно определенным значением; природа дополнительных условий не может быть выведена из определения более слабого понятия (такого как «антицепь»).
достаточно большой , достаточно маленький, достаточно близко
В контексте ограничений эти термины относятся к некоторой (неопределенной, даже неизвестной) точке, в которой явление преобладает по мере приближения к пределу. Утверждение, подобное тому, что предикат P выполняется для достаточно больших значений, может быть выражено в более формальной записи как x  : ∀ y ≥ x  :  P ( y ). См. Также в конце концов .
наверху, внизу
Описательный термин, относящийся к обозначению, в котором два объекта написаны один над другим; верхний наверху, нижний - внизу . Например, в пучке волокон все пространство часто называется наверху , а основное пространство - внизу . В фракции , то числитель иногда упоминается как наверху , а знаменатель по лестнице , как и в «чего термин наверху».
до , по модулю, по модулю
Расширение математического дискурса понятий модульной арифметики . Утверждение является истинным до определенного условия, если установление этого условия является единственным препятствием для истинности утверждения. Также используется при работе с членами классов эквивалентности , особенно в теории категорий , где отношение эквивалентности является (категориальным) изоморфизмом; например, «Тензорное произведение в слабой моноидальной категории ассоциативно и унитарно с точностью до естественного изоморфизма ».
исчезнуть
Чтобы принять значение 0. Например, «Функция sin ( x ) обращается в нуль для тех значений x, которые являются целыми кратными π». Это также может относиться к пределам: см. Исчезновение на бесконечности .
слабее, слабее
Обратное сильное .
четко определенный
Четко и точно описано или уточнено. Например, иногда определение опирается на выбор некоторого объекта; результат определения не должен зависеть от этого выбора.

Терминология доказательства

Формальный язык доказательства неоднократно извлекается из небольшого набора идей, многие из которых используются на практике с помощью различных лексических сокращений.

алитер
Устаревший термин, который используется для объявления читателю альтернативного метода или доказательства результата. Таким образом, в доказательстве он отмечает аргумент, который является лишним с логической точки зрения, но имеет другой интерес.
в порядке противоречия (BWOC), или «если нет, то ...»
Риторическая прелюдия к доказательству от противного , предшествующая отрицанию утверждения, которое нужно доказать.
тогда и только тогда ( если и только если )
Аббревиатура для обозначения логической эквивалентности утверждений.
В основном
В контексте доказательств эта фраза часто встречается в аргументах индукции при переходе от базового случая к шагу индукции, и аналогичным образом в определении последовательностей, первые несколько членов которых представлены как примеры формулы, дающей каждый член последовательности .
необходимо и достаточно
Второстепенный вариант на тему «если и только если»; « Является необходимым ( достаточным ) для B » означает « если (только если) Б ». Например, «Для того чтобы поле K было алгебраически замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно не имело конечных расширений поля » означает « K алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет конечных расширений». Часто используется в списках, например, «Следующие условия необходимы и достаточны для того, чтобы поле было алгебраически замкнутым ...».
нужно показать (NTS), требуется доказать (RTP), хочу показать, хочу показать (WTS)
Доказательства иногда начинаются с перечисления нескольких условий, выполнение которых вместе влечет желаемую теорему; таким образом, нужно показать именно эти утверждения.
один и только один
Заявление о существовании и уникальности объекта; объект существует, более того, другого такого объекта не существует.
QED
( Quod erat manifestrandum ): латинское сокращение, означающее «то, что должно было быть продемонстрировано», исторически помещалось в конце доказательств, но менее распространено в настоящее время, будучи вытесненным знаком конца доказательства Halmos , квадратным знаком ∎.
достаточно хорошо
Условие для объектов в рамках обсуждения, которое будет определено позже, которое будет гарантировать, что для них выполняется какое-то указанное свойство. При разработке теоремы использование этого выражения в формулировке теоремы указывает на то, что рассматриваемые условия могут быть еще не известны говорящему, и что цель состоит в том, чтобы собрать условия, которые окажутся необходимыми для того, чтобы доказательство теоремы предстоит пройти.
следующие эквивалентны (TFAE)
Часто несколько эквивалентных условий (особенно для определения, такого как нормальная подгруппа ) одинаково полезны на практике; вводится теорема, устанавливающая эквивалентность более чем двух утверждений с TFAE.
транспортировка конструкции
Часто бывает так, что два объекта тем или иным образом показаны как эквивалентные, и что один из них наделен дополнительной структурой. Используя эквивалентность, мы можем определить такую ​​структуру и на втором объекте посредством переноса структуры . Например, любые два векторных пространства одного и того же размерности являются изоморфными ; если одному из них задано внутреннее произведение и если мы зафиксируем конкретный изоморфизм, то мы можем определить внутреннее произведение в другом пространстве путем факторизации изоморфизма.

Пусть V - конечномерное векторное пространство над k .... Пусть ( e i ) 1 ≤  i  ≤  n - базис для V .... Существует изоморфизм алгебры многочленов k [ T ij ] 1 ≤  i ,  j  ≤  n, на алгебру Sym k ( V  ⊗  V * ) .... Она продолжается до изоморфизма k [ GL n ] на локализованную алгебру Sym k ( V  ⊗  V * ) D , где D  = det ( e i  ⊗  e j * ) .... Мы пишем k [ GL ( V )] для этой последней алгебры. Путем переноса структуры мы получаем линейную алгебраическую группу GL ( V ), изоморфную GL n .

-  Игорь Шафаревич ( 1991 , с.12)
без (любой) потери общности (WLOG, WOLOG, WALOG), мы можем предположить (WMA)
Иногда утверждение легче доказать с помощью дополнительных предположений относительно объектов, которых оно касается. Если сформулированное предложение следует из этого модифицированного предложения с простым и минимальным объяснением (например, если остальные частные случаи идентичны, но для обозначений), то модифицированные предположения вводятся с этой фразой, и измененное предложение доказывается.

Методы доказательства

У математиков есть несколько фраз для описания доказательств или методов доказательства. Они часто используются как подсказки для заполнения утомительных деталей.

Угловая погоня
Используется для описания геометрического доказательства, которое включает нахождение взаимосвязей между различными углами на диаграмме.
предварительный расчет
Неформальное вычисление, упускающее большую часть строгости без ущерба для правильности. Часто это вычисление является «доказательством концепции» и рассматривает только доступный частный случай.
грубая сила
Вместо того, чтобы искать основополагающие принципы или закономерности, это метод, при котором можно оценить столько случаев, сколько необходимо, чтобы в достаточной степени доказать или предоставить убедительные доказательства того, что рассматриваемая вещь истинна. Иногда это включает оценку каждого возможного случая (что также известно как доказательство путем исчерпания ).
на примере
Доказательство примером является аргументом в котором утверждение не доказано , но вместо того, чтобы проиллюстрировать на примере. Если все сделано правильно, конкретный пример легко обобщить до общего доказательства.
путем осмотра
Риторический ярлык, сделанный авторами, предлагающими читателю сразу проверить правильность предложенного выражения или умозаключения. Если выражение может быть оценено прямым применением простых методов и без обращения к расширенным вычислениям или общей теории, то оно может быть оценено путем проверки . Он также применяется для решения уравнений; например, найти корни квадратного уравнения путем осмотра - значит «заметить» их или мысленно проверить их. «Путем проверки» может играть своего рода гештальт : ответ или решение просто встают на место.
запугиванием
Стиль доказательства, при котором утверждения, которые, по мнению автора, легко проверить, помечаются как «очевидные» или «тривиальные», что часто приводит читателя в замешательство.
ясно, можно легко показать
Термин, сокращающий вычисления, которые математик считает утомительными или рутинными, доступными любому члену аудитории, обладающему необходимыми знаниями в данной области; Лаплас использовал очевидное ( французское : évident ).
полная интуиция
обычно используется для шуток (каламбуры на полную индукцию ).
погоня за диаграммой
Учитывая коммутативную диаграмму объектов и морфизмов между ними, если кто-то желает доказать какое-то свойство морфизмов (например, инъективность ), которое может быть выражено в терминах элементов , то доказательство можно продолжить, отслеживая путь элементов различных объектов вокруг диаграмма в виде последовательных морфизмов применяется к ней. То есть, можно перемещаться по диаграмме за элементами или по диаграмме .
размахивание руками
Нетехника доказательства, в основном используемая на лекциях, где формальная аргументация не является строго необходимой. Он исходит из упущения деталей или даже значительных ингредиентов и является просто аргументом правдоподобия.
В основном
В контексте, не требующем строгости, эта фраза часто используется как средство экономии труда, когда технические детали законченного аргумента перевешивают концептуальные преимущества. Автор приводит доказательство в достаточно простом случае, когда вычисления разумны, а затем указывает, что «в целом» доказательство аналогично.
индексная битва
для доказательств, связанных с объектами с несколькими индексами, которые могут быть решены путем перехода к основанию (если кто-то желает приложить усилия). Аналогично поиску диаграмм.
банальный
Похоже на ясно . Понятие тривиально, если оно выполняется по определению, является непосредственным следствием известного утверждения или является простым частным случаем более общего понятия.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Голдфельд, Дориан. «Элементарное доказательство теоремы о простых числах: историческая перспектива» (PDF) . Колумбийский университет .
  2. ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 17 октября 2019 .
  3. ^ Бойд, Стивен (2004). Выпуклая оптимизация . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521833783.
  4. ^ Роу, Джон (1993), Элементарная геометрия , Оксфордские научные публикации, стр. 119, ISBN 978-0-19-853456-3
  5. ^ Многочисленные примеры можно найти в (Mac Lane  1998 ), например, на стр. 100.

использованная литература