Диаграмма Венна - Venn diagram

Диаграмма Венна, показывающая символы верхнего регистра, используемые в греческом , латинском и русском алфавитах.

Диаграмма Венна широко используется схема стиль , который показывает логическое отношение между множествами , популяризировал Венн в 1880 году. Диаграммы используются для обучения элементарной теории множеств и для иллюстрации простых взаимосвязей множеств в вероятности , логике , статистике , лингвистике и информатике . Диаграмма Венна использует простые замкнутые кривые, нарисованные на плоскости для представления множеств. Очень часто эти кривые представляют собой круги или эллипсы.

Подобные идеи были предложены до Венна. Кристиан Вайсе в 1712 году ( Nucleus Logicoe Wiesianoe ) и Леонард Эйлер ( Письма к немецкой принцессе ) в 1768 году, например, пришли к аналогичным идеям. Идея была популяризирована Венном в « Символической логике» , глава V «Диаграмматическое представление», 1881 год.

Подробности

Диаграмму Венна также можно назвать первичной диаграммой , диаграммой множества или логической диаграммой . Это диаграмма, которая показывает все возможные логические отношения между конечным набором различных наборов. На этих диаграммах элементы изображены в виде точек на плоскости, а элементы - в виде областей внутри замкнутых кривых. Диаграмма Венна состоит из нескольких перекрывающихся замкнутых кривых, обычно кругов, каждая из которых представляет собой набор. Точки внутри кривой помечены S представляют элементы множества S , в то время как точка за пределами границы представляют собой элементы не в множестве S . Это поддается интуитивной визуализации; например, множество всех элементов , которые являются членами обоих множеств S и Т , обозначим S  ∩  T и читать «пересечение S и Т », представлена визуально по области перекрытия областей S и Т .

На диаграммах Венна кривые всячески перекрываются, показывая все возможные отношения между множествами. Таким образом, они являются частным случаем диаграмм Эйлера , которые не обязательно показывают все отношения. Диаграммы Венна были созданы около 1880 года Джоном Венном. Они используются для обучения элементарной теории множеств, а также для иллюстрации простых взаимосвязей множеств в вероятности, логике, статистике, лингвистике и информатике.

Диаграмма Венна, в которой площадь каждой формы пропорциональна количеству содержащихся в ней элементов, называется пропорциональной площади (или масштабированной ) диаграммой Венна .

Диаграммы Венна широко используются в логике рассуждений классов .

Пример

Наборы A (существа с двумя ногами) и B (существа, которые летают)

В этом примере используются два набора A и B, представленные здесь в виде цветных кружков. Оранжевый кружок, набор A, представляет все типы живых существ, которые являются двуногими. Синий круг, набор B, представляет живые существа, которые могут летать. Каждый отдельный тип существ можно представить как точку где-нибудь на диаграмме. Живые существа, которые могут летать и иметь две ноги, например попугаи, присутствуют в обоих наборах, поэтому они соответствуют точкам в области, где синие и оранжевые круги перекрываются. Эта перекрывающаяся область будет содержать только те элементы (в этом примере, существа), которые являются членами как набора A (двуногие существа), так и набора B (летающие существа).

Люди и пингвины двуногие, и поэтому они находятся в оранжевом круге, но, поскольку они не могут летать, они появляются в левой части оранжевого круга, где он не перекрывается с синим кругом. Комары могут летать, но у них шесть, а не две ноги, поэтому точка комаров находится в той части синего круга, которая не пересекается с оранжевым. Существа, которые не являются двуногими и не могут летать (например, киты и пауки), будут представлены точками за пределами обоих кругов.

В сочетании область множеств А и В называется объединением А и В, обозначим через A ∪ B . В этом случае в союз входят все живые существа, которые либо двуногие, либо могут летать (или и то, и другое).

Область включена в А и В, где перекрываются два множества, называется пересечение А и В, обозначим через A ∩ B . В этом примере пересечение двух наборов не пусто, потому что есть точки, которые представляют существ, которые находятся как в оранжевом, так и в синем кругах.

История

Витраж с диаграммой Венна в Gonville and Caius College, Кембридж

Диаграммы Венна были введены в 1880 году Джоном Венном в статье под названием «О схематическом и механическом представлении предложений и рассуждений» в Philosophical Magazine и Journal of Science о различных способах представления предложений с помощью диаграмм. Использование этих типов диаграмм в формальной логике , по словам Фрэнка Раски и Марка Вестона, «нелегко проследить, но несомненно, что диаграммы, которые обычно ассоциируются с Венном, на самом деле возникли намного раньше. Они по праву связаны с Венном, потому что он всесторонне исследовал и формализовал их использование и был первым, кто их обобщил ».

Сам Венн не использовал термин «диаграмма Венна» и называл свое изобретение « кругами Эйлера ». Например, в первом предложении своей статьи 1880 года Венн пишет: «Схемы схематического представления были так привычно введены в логические трактаты в течение последнего столетия или около того, что многие читатели, даже те, кто не занимался профессиональным изучением логики, могут Предполагается, что он знаком с общей природой и целью таких устройств. Из этих схем только одна, а именно та, которая обычно называется «кругами Эйлера», получила всеобщее признание ... » Льюис Кэрролл ( Чарльз Л. Доджсон ) включает «Метод диаграмм Венна», а также «Метод диаграмм Эйлера» в «Приложении, адресованном учителям» его книги « Символическая логика» (4-е издание, опубликованное в 1896 году). Термин «диаграмма Венна» позже был использован Кларенсом Ирвингом Льюисом в 1918 году в его книге «Обзор символической логики» .

Диаграммы Венна очень похожи на диаграммы Эйлера, которые были изобретены Леонардом Эйлером в 18 веке. Маргарет Барон отметила, что Лейбниц (1646–1716) создавал подобные диаграммы до Эйлера в 17 веке, но большая часть из них не была опубликована. Она также наблюдает даже более ранние диаграммы типа Эйлера, созданные Рамоном Лулллем в 13 веке.

В 20 веке диаграммы Венна получили дальнейшее развитие. Дэвид Уилсон Хендерсон показал в 1963 году, что существование n- диаграммы Венна с n- кратной вращательной симметрией подразумевает, что n было простым числом . Он также показал, что такие симметричные диаграммы Венна существуют, когда n равно пяти или семи. В 2002 году Питер Гамбургер нашел симметричные диаграммы Венна для n = 11, а в 2003 году Григгс, Киллиан и Сэвидж показали, что симметричные диаграммы Венна существуют для всех других простых чисел. Эти объединенные результаты показывают, что вращательно-симметричные диаграммы Венна существуют тогда и только тогда, когда n - простое число.

Диаграммы Венна и диаграммы Эйлера были включены как часть обучения теории множеств, как часть нового математического движения в 1960-х годах. С тех пор они также были включены в учебные программы других областей, таких как чтение.

Обзор

Диаграмма Венна состоит из набора простых замкнутых кривых, нарисованных на плоскости. Согласно Льюису, «принцип этих диаграмм состоит в том, что классы [или множества ] должны быть представлены регионами в таком отношении друг к другу, что все возможные логические отношения этих классов могут быть указаны на одной диаграмме. То есть диаграмма изначально оставляет место для любого возможного отношения классов, и фактическое или данное отношение затем может быть указано, указав, что некоторая конкретная область имеет значение NULL или не является нулевым ».

Диаграммы Венна обычно представляют собой перекрывающиеся круги . Внутренняя часть круга символически представляет элементы набора, а внешняя часть представляет элементы, которые не являются членами набора. Например, на диаграмме Венна с двумя наборами один круг может представлять группу всех деревянных предметов, а другой круг может представлять набор всех таблиц. Перекрывающаяся область или пересечение будет тогда представлять набор всех деревянных столов. Могут использоваться формы, отличные от кругов, как показано ниже на диаграммах высших наборов Венна. Диаграммы Венна обычно не содержат информации об относительных или абсолютных размерах ( мощности ) множеств. То есть это схематические изображения, обычно не выполненные в масштабе.

Диаграммы Венна похожи на диаграммы Эйлера. Однако диаграмма Венна для n наборов компонентов должна содержать все 2 n гипотетически возможных зон, которые соответствуют некоторой комбинации включения или исключения в каждом из наборов компонентов. Диаграммы Эйлера содержат только реально возможные зоны в данном контексте. На диаграммах Венна заштрихованная зона может представлять пустую зону, тогда как на диаграмме Эйлера соответствующая зона отсутствует на диаграмме. Например, если один набор представляет молочные продукты, а другой - сыры , диаграмма Венна содержит зону для сыров, которые не являются молочными продуктами. Если предположить, что в контексте « сыр» означает какой-то тип молочного продукта, на диаграмме Эйлера зона сыра полностью находится внутри зоны молочного продукта - зоны для (несуществующего) немолочного сыра нет. Это означает, что по мере увеличения числа контуров диаграммы Эйлера обычно визуально становятся менее сложными, чем эквивалентная диаграмма Венна, особенно если количество непустых пересечений невелико.

Разницу между диаграммами Эйлера и Венна можно увидеть в следующем примере. Возьмите три комплекта:

Диаграммы Эйлера и Венна этих множеств:

Расширение на большее количество наборов

Диаграммы Венна обычно представляют два или три набора, но есть формы, которые позволяют использовать более высокие числа. Ниже показано, что четыре пересекающиеся сферы образуют диаграмму Венна высшего порядка, которая имеет симметрию симплекса и может быть представлена ​​визуально. 16 пересечений соответствуют вершинам тессеракта (или ячейкам 16-ячейки соответственно).

4 сферы, ячейка 00, solid.png 4 сферы, вес 1, solid.png

4 сферы, ячейка 01, solid.png4 сферы, ячейка 02, solid.png4 сферы, ячейка 04, solid.png4 сферы, ячейка 08, solid.png

4 сферы, вес 2, solid.png

4 сферы, ячейка 03, solid.png4 сферы, ячейка 05, solid.png4 сферы, ячейка 06, solid.png4 сферы, ячейка 09, solid.png4 сферы, ячейка 10, solid.png4 сферы, ячейка 12, solid.png

4 сферы, вес 3, solid.png

4 сферы, ячейка 07, solid.png4 сферы, ячейка 11, solid.png4 сферы, ячейка 13, solid.png4 сферы, ячейка 14, solid.png

4 сферы, ячейка 15, solid.png

При большем количестве наборов некоторая потеря симметрии диаграмм неизбежна. Венн стремился найти «симметричные фигуры ... элегантные сами по себе», которые представляли бы большее количество множеств, и он разработал элегантную диаграмму из четырех множеств, используя эллипсы (см. Ниже). Он также дал конструкцию диаграмм Венна для любого числа наборов, где каждая последующая кривая, ограничивающая набор, чередуется с предыдущими кривыми, начиная с диаграммы с тремя кругами.

Диаграммы Эдвардса – Венна

Энтони Уильям Фэрбэнк Эдвардс построил серию диаграмм Венна для большего числа множеств, сегментируя поверхность сферы, которые стали известны как диаграммы Эдвардса – Венна. Например, три набора можно легко представить, взяв три полусферы сферы под прямым углом ( x  = 0, y  = 0 и z  = 0). Четвертый набор можно добавить к изображению, взяв кривую, похожую на шов на теннисном мяче, который изгибается вверх и вниз вокруг экватора, и так далее. Полученные наборы затем можно спроецировать обратно на плоскость, чтобы получить диаграммы зубчатых колес с увеличивающимся числом зубцов, как показано здесь. Эти схемы были придуманы при проектировании витража в память о Венне.

Другие диаграммы

Диаграммы Эдвардса – Венна топологически эквивалентны диаграммам, разработанным Бранко Грюнбаумом , которые основывались на пересекающихся многоугольниках с увеличивающимся числом сторон. Они также являются двумерными представлениями гиперкубов .

Генри Джон Стивен Смит разработал аналогичные диаграммы n -множеств, используя синусоидальные кривые с рядом уравнений

Чарльз Латвидж Доджсон (также известный как Льюис Кэрролл) разработал диаграмму из пяти наборов, известную как квадрат Кэрролла . Хоакин и Бойлс, с другой стороны, предложили дополнительные правила для стандартной диаграммы Венна, чтобы учесть определенные проблемные случаи. Например, что касается проблемы представления единичных утверждений, они предлагают рассматривать круг диаграммы Венна как представление множества вещей и использовать логику первого порядка и теорию множеств, чтобы рассматривать категориальные утверждения как утверждения о множествах. Кроме того, они предлагают рассматривать отдельные утверждения как утверждения о членстве в множестве . Так, например, чтобы представить утверждение «a есть F» на этой переработанной диаграмме Венна, маленькая буква «a» может быть помещена внутри круга, который представляет множество F.

Связанные понятия

Диаграмма Венна как таблица истинности

Диаграммы Венна соответствуют таблицам истинности для предложений , и т.д., в том смысле , что каждая область диаграммы Венна соответствует одной строке таблицы истинности. Этот тип также известен как диаграмма Джонстона. Другой способ представления множеств - это R-диаграммы Джона Ф. Рэндольфа .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки