Обобщенная гипотеза Римана - Generalized Riemann hypothesis

Гипотеза Римана - одна из самых важных гипотез в математике . Это утверждение о нулях дзета-функции Римана . Различные геометрические и арифметические объекты могут быть описаны с помощью так называемых глобальных L - функций , которые формально похожи на дзета-функции Римана. Тогда можно задать тот же вопрос о нулях этих L- функций, что приведет к различным обобщениям гипотезы Римана. Многие математики верят в истинность этих обобщений гипотезы Римана . Единственные случаи этих гипотез, которые были доказаны, имеют место в случае поля алгебраических функций (а не в случае числового поля).

Глобальные L- функции могут быть связаны с эллиптическими кривыми , числовыми полями (в этом случае они называются дзета-функциями Дедекинда ), формами Маасса и символами Дирихле (в этом случае они называются L-функциями Дирихле ). Когда гипотеза Римана формулируется для дзета-функций Дедекинда, она известна как расширенная гипотеза Римана (ERH), а когда она формулируется для L- функций Дирихле , она известна как обобщенная гипотеза Римана (GRH). Эти два утверждения будут рассмотрены более подробно ниже. (Многие математики используют обозначение обобщенной гипотезы Римана, чтобы охватить распространение гипотезы Римана на все глобальные L -функции, а не только на частный случай L- функций Дирихле .)

Обобщенная гипотеза Римана (GRH)

Обобщенная гипотеза Римана (для L- функций Дирихле ), вероятно, была впервые сформулирована Адольфом Пильтцем в 1884 году. Как и исходная гипотеза Римана, она имеет далеко идущие последствия для распределения простых чисел .

Формальное изложение гипотезы следует. Характер Дирихле является вполне мультипликативная арифметическая функция χ такова , что существует такое целое положительное число К с х ( п + K ) = χ ( п ) для всех п и х ( п ) = 0 , когда НОД ( п , к )> 1 . Если такой характер задан, определим соответствующую L -функцию Дирихле следующим образом:

для любого комплексного числа s такого, что Re s > 1 . При аналитическом продолжении , эта функция может быть расширена до мероморфной функции (только тогда , когда примитивно) , определенной на всей комплексной плоскости. Обобщенная гипотеза Римана утверждает , что для любого характера Дирихле х и любого комплексного числа сек с L ( х , ев ) = 0 , если s не является отрицательным действительное число, то действительная часть с 1/2.

Случай χ ( n ) = 1 для всех n дает обычную гипотезу Римана.

Последствия GRH

Теорема Дирихле утверждает , что если и d являются взаимно простые натуральные числа , то арифметическая прогрессия , + d , + 2 d , + 3 d , ... содержит бесконечное множество простых чисел. Пусть π ( x , a , d ) обозначает количество простых чисел в этой прогрессии, которые меньше или равны x . Если обобщенная гипотеза Римана верна, то для каждого взаимно простых а и г и для каждого е > 0 ,

где φ ( d ) является Функция Эйлера и выводом является обозначением Big O . Это значительное усиление теоремы о простых числах .

Если GRH истинно, то каждая собственная подгруппа мультипликативной группы пропускает число меньше 2 (ln n ) 2 , а также число, взаимно простое с n меньше 3 (ln n ) 2 . Другими словами, генерируется набором чисел меньше 2 (ln n ) 2 . Это часто используется в доказательствах и имеет множество последствий, например (при условии GRH):

  • Тест на простоту Миллера-Рабина гарантированно работать в полиномиальное время. (Тест на простоту за полиномиальное время, который не требует GRH, теста на простоту AKS , был опубликован в 2002 году.)
  • Алгоритм Черенки-Tonelli гарантированно работать в полиномиальное время.
  • Детерминированный алгоритм Иваниоса – Карпинского – Саксены для факторизации многочленов над конечными полями с простыми постоянно-гладкими степенями гарантированно работает за полиномиальное время.

Если GRH истинно, то для каждого простого p существует примитивный корень по модулю p (генератор мультипликативной группы целых чисел по модулю p ), который меньше, чем

Слабая гипотеза Гольдбаха также следует из обобщенной гипотезы Римана. Доказательство Харальда Хельфготта этой гипотезы, которое еще предстоит проверить, проверяет GRH для нескольких тысяч маленьких символов с точностью до определенной мнимой части, чтобы получить достаточные оценки, которые доказывают гипотезу для всех целых чисел выше 10 29 , целые числа ниже которых уже были проверены вычислением .

Предполагая истинность GRH, оценка суммы характеров в неравенстве Полиа – Виноградова может быть улучшена до , где q является модулем характера.

Расширенная гипотеза Римана (ERH)

Пусть К является числовым полем (конечномерное расширение поля из рациональных чисел Q ) с кольцом целых O K (это кольцо является целым замыканием из целых чисел Z в K ). Если a - идеал в O K , отличный от нулевого идеала, мы обозначим его норму через Na . Тогда дзета-функция Дедекинда для K определяется формулой

для каждого комплексного числа s с вещественной частью> 1. Сумма распространяется на все ненулевые идеалы из O K .

Дзета-функция Дедекинда удовлетворяет функциональному уравнению и может быть расширена аналитическим продолжением на всю комплексную плоскость. Полученная функция кодирует важную информацию о числовом поле K . Расширенная гипотеза Римана утверждает , что для каждого числового поля К и любому комплексному числу s с Z , K ( ов ) = 0: если действительная часть с находится между 0 и 1, то это на самом деле 1/2.

Обычная гипотеза Римана следует из расширенного одного , если принять поле номера , чтобы быть Q , с кольцом целых чисел Z .

ERH предполагает эффективную версию теоремы плотности Чеботарева : если L / K есть конечное расширение Галуа с группой Галуа G , и С объединением классов сопряженных G , числом неразветвленных простых чисел из K нормы ниже х с фробениусовой сопряженностью класс C является

где константа, подразумеваемая в обозначении большого O, является абсолютной, n - степень L над Q , а Δ - его дискриминант.

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение