Прямой продукт - Direct product

В математике часто можно определить прямое произведение уже известных объектов, дав новое. Это обобщает декартово произведение базовых множеств вместе с соответствующим образом определенной структурой на множестве продуктов. Более абстрактно о продукте говорят в теории категорий , которая формализует эти понятия.

Примерами являются произведения множеств, групп (описанных ниже), колец и других алгебраических структур . Продукт из топологических пространств еще один пример.

Существует также прямая сумма - в некоторых областях это используется как синонимы, в то время как в других это другое понятие.

Примеры

Если мы думаем о множестве действительных чисел, то прямое произведение - это просто декартово произведение . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ {(х, у) \ середина х, у \ в \ mathbb {R} \}}$
Если мы думаем , как группа действительных чисел по сложению, то прямое произведение до сих пор в качестве основного набора. Разница между этим и предыдущим примером в том, что теперь это группа, и поэтому мы также должны сказать, как добавлять их элементы. Это делается путем определения . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ {(х, у) \ середина х, у \ в \ mathbb {R} \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)}$
Если мы думаем о качестве кольца действительных чисел, то прямое произведение снова имеет в качестве своего основного набора. Кольцо кольцевой структуры состоит из сложения, определенного с помощью, и умножения, определенного с помощью . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ {(х, у) \ середина х, у \ в \ mathbb {R} \}}$ ${\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)}$ ${\ displaystyle (a, b) (c, d) = (ac, bd)}$
Однако, если мы думаем об этом как о поле действительных чисел, тогда прямого произведения не существует - наивное определение сложения и умножения покомпонентно, как в приведенном выше примере, не приведет к полю, поскольку элемент не имеет мультипликативного обратного . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle (1,0)}$

Аналогичным образом мы можем говорить о прямом произведении конечного числа алгебраических структур, например . Это основано на том факте, что прямое произведение ассоциативно с точностью до изоморфизма . То есть, для любых алгебраических структур , и того же рода. Прямое произведение также коммутативно с точностью до изоморфизма, т. Е. Для любых алгебраических структур и того же типа. Мы можем даже говорить о прямом произведении бесконечного множества алгебраических структур; например, мы можем взять прямое произведение счетного числа копий , которое мы запишем как . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle (А \ раз В) \ раз С \ конг А \ раз (В \ раз С)}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ Displaystyle А \ раз В \ конг В \ раз А}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ dotsb}$

Групповой прямой продукт

В теории групп можно определить прямое произведение двух групп ( G , ∘) и ( H , ∙), обозначим через G × H . Для абелевых групп, которые записываются аддитивно, ее также можно назвать прямой суммой двух групп , обозначенной через . ${\ Displaystyle G \ oplus H}$

Это определяется следующим образом:

множество элементов новой группы является декартово произведение множеств элементов G и H , то есть {( г , ч ): г ∈ G , H ∈ H };
над этими элементами поместите операцию, определенную поэлементно:
( g , h ) × ( g ' , h' ) = ( g ∘ g ' , h ∙ h ' )

(Обратите внимание, что ( G , ∘) может быть таким же, как ( H , ∙))

Эта конструкция дает новую группу. Он имеет нормальную подгруппу, изоморфную G (заданную элементами формы ( g , 1)), и одну, изоморфную H (содержащую элементы (1, h )).

Обратное также справедливо, существует следующая теорема распознавания: Если группа К содержит две нормальных подгрупп G и H , такие , что К = GH и пересечение G и Н содержат только идентичность, то К изоморфен G × H . Ослабление этих условий, требующее, чтобы только одна подгруппа была нормальной, дает полупрямое произведение .

В качестве примера возьмем в качестве G и H две копии единственной (с точностью до изоморфизмов) группы порядка 2, C ₂ : скажем, {1, a } и {1, b }. Тогда C ₂ × C ₂ = {(1,1), (1, b ), ( a , 1), ( a , b )} с операцией поэлементно. Например, (1, b ) * ( a , 1) = (1 * a , b * 1) = ( a , b ) и (1, b ) * (1, b ) = (1, b ² ) = (1,1).

С прямым произведением мы бесплатно получаем некоторые естественные гомоморфизмы групп : отображения проекций определяются следующим образом:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {1}: G \ times H \ to G, \ \ \ pi _ {1} (g, h) & = g \\\ pi _ {2}: G \ times H \ to H, \ \ \ pi _ {2} (g, h) & = h \ end {выровнено}}}

называется координатными функциями .

Кроме того, каждый гомоморфизм f к прямому произведению полностью определяется его составляющими функциями . ${\ displaystyle f_ {i} = \ pi _ {i} \ circ f}$

Для любой группы ( G , ∘) и любого целого числа n ≥ 0 повторное применение прямого произведения дает группу всех n - кортежей G ⁿ (при n = 0 мы получаем тривиальную группу ), например Z ⁿ и R ⁿ .

Прямое произведение модулей

Прямое произведение для модулей (не путать с тензорным произведением ) очень похоже на то, которое определено для групп выше, с использованием декартова произведения с операцией сложения, выполняемой покомпонентно, а скалярное умножение просто распределяется по всем компонентам. Начиная с R мы получаем евклидово пространство R ⁿ , прототипный пример реального n -мерного векторного пространства. Прямым произведением R ^m и R ⁿ является R ^{m + n} .

Обратите внимание, что прямое произведение для конечного индекса идентично прямой сумме . Прямая сумма и прямое произведение различаются только для бесконечных индексов, где элементы прямой суммы равны нулю для всех, кроме конечного числа элементов. Они двойственны в смысле теории категорий : прямая сумма - это совместный продукт, а прямой продукт - это продукт. ${\ Displaystyle \ prod _ {я = 1} ^ {п} X_ {я}}$ ${\ Displaystyle \ bigoplus _ {я = 1} ^ {п} X_ {я}}$

Например, рассмотрим и , бесконечное прямое произведение и прямую сумму действительных чисел. Только последовательности с конечным числом ненулевых элементов в Y . Например, (1,0,0,0, ...) находится в Y, а (1,1,1,1, ...) - нет. Обе эти последовательности находятся в прямом произведении X ; на самом деле Y - собственное подмножество X (то есть Y ⊂ X ). ${\ Displaystyle X = \ prod _ {я = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle Y = \ bigoplus _ {я = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {R}}$

Прямое произведение топологического пространства

Прямое произведение для набора топологических пространств X _i для i в I , некоторого набора индексов, снова использует декартово произведение

{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}.}

Определить топологию немного сложно. Для конечного числа факторов это очевидный и естественный поступок: просто взять за основу открытых множеств совокупность всех декартовых произведений открытых подмножеств каждого фактора:

{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {U_ {1} \ times \ cdots \ times U_ {n} \ | \ U_ {i} \ \ mathrm {open \ in} \ X_ {i} \}. }

Эта топология называется топологией продукта . Например, непосредственно определение топологии продукта на R ² открытых множествами R (пересекающиеся союзы открытых интервалов), основа для этой топологии будет состоять из всех непересекающихся объединений открытых прямоугольников на плоскости (как выясняется, она совпадает с обычной метрической топологией).

Топология продукта для бесконечных продуктов имеет изюминку, и это связано с возможностью сделать все проекционные карты непрерывными и сделать все функции в продукте непрерывными тогда и только тогда, когда все его составляющие функции являются непрерывными (т. определение продукта: морфизмы здесь являются непрерывными функциями): мы берем за основу открытых множеств набор всех декартовых произведений открытых подмножеств из каждого фактора, как и раньше, при условии, что все, кроме конечного числа открытых подмножеств весь фактор:

{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} = \ left \ {\ prod _ {я \ in I} U_ {i} \ {\ Big |} \ (\ существует j_ {1}, \ ldots, j_ {n} ) (U_ {j_ {i}} \ \ mathrm {open \ in} \ X_ {j_ {i}}) \ \ mathrm {и} \ (\ forall i \ neq j_ {1}, \ ldots, j_ {n }) (U_ {i} = X_ {i}) \ right \}.}

В этом случае более естественной топологией было бы взятие произведений бесконечно большого числа открытых подмножеств, как и раньше, и это действительно дает несколько интересную топологию - блочную топологию . Однако нетрудно найти пример группы непрерывных компонентных функций, функция продукта которых не является непрерывной (см. Топологию отдельного окна ввода для примера и многое другое). Проблема, которая делает такой поворот необходимым, в конечном итоге коренится в том факте, что пересечение открытых множеств гарантированно будет открытым только для конечного числа множеств в определении топологии.

Продукты (с товарной топологией) хороши тем, что сохраняют свойства своих факторов; например, произведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово; произведение связных пространств связно, а произведение компактных пространств компактно. Последняя, называемая теоремой Тихонова , является еще одной эквивалентностью избранной аксиоме .

Дополнительные свойства и эквивалентные составы см. В отдельной топологии продукта .

Прямое произведение бинарных отношений

На декартовом произведении двух множеств с бинарными отношениями R и S определите ( a , b ) T ( c , d ) как a R c и b S d . Если R и S оба рефлексивны , иррефлексивны , транзитивны , симметричны или антисимметричны , то T также будет. Точно так же, серийность из T унаследован от R и S . Комбинируя свойства, следует, что это также применимо к тому, чтобы быть предварительным порядком и быть отношением эквивалентности . Однако, если R и S являются связными отношениями , T не обязательно должен быть связан; например, прямое произведение ≤ on на себя не связывает (1,2) и (2,1). ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Прямое произведение в универсальной алгебре

Если Σ - фиксированная сигнатура , I - произвольное (возможно, бесконечное) множество индексов и ( A _i ) _{i ∈ I} - индексированное семейство Σ-алгебр, прямое произведение A = Π _{i ∈ I} A _i - Σ-алгебра, определенная следующее:

Множество юниверсов A из A является декартовым произведением множеств юниверсов A _i из A _i , формально: A = Π _{i ∈ I} A _i ;
Для каждого п и каждого п -ичного символа операции ф Х Е , его интерпретация F ^A в A определена покомпонентна, формально: для всех ₁ , ..., в _п ∈ A и каждый I ∈ I , то я го компоненты f ^A ( a ₁ , ..., a _n ) определяется как f ^A^_i ( a ₁ ( i ), ..., a _n ( i )) .

Для каждого I ∈ I , тем я й проекции π _я : A → A _я определяется π _я ( ) = ( я ) . Это сюръективный гомоморфизм Σ-алгебр A и A _i .

В частном случае, если набор индексов I = {1, 2}, получается прямое произведение двух Σ-алгебр A ₁ и A ₂ , записываемое как A = A ₁ × A ₂ . Если Σ содержит только одну бинарную операцию f , приведенное выше определение прямого произведения групп получается с использованием обозначений A ₁ = G , A ₂ = H , f ^{A ₁} = ∘ , f ^{A ₂} = ∙ и f ^A = × . Точно так же сюда включается определение прямого произведения модулей.

Категориальный продукт

Непосредственный продукт можно отнести к произвольной категории . В общей категории, учитывая набор объектов A _i и набор морфизмов p _i от A до A _i, где i находится в некотором индексном наборе I , объект A называется категориальным продуктом в категории, если для любого объект B и любой набор морфизмов f _i из B в A _i , существует единственный морфизм f из B в A такой, что f _i = p _i f и этот объект A уникален. Это работает не только для двух факторов, но и для произвольного (даже бесконечно) множества.

Для групп мы аналогичным образом определяем прямое произведение более общего, произвольного набора групп G _i для i в I , I - индексном множестве. Обозначая декартово произведение групп через G, мы определяем умножение на G с помощью операции покомпонентного умножения; и соответствуют p _i в приведенном выше определении карты проекций

{\ displaystyle \ pi _ {i} \ двоеточие G \ to G_ {i} \ quad \ mathrm {by} \ quad \ pi _ {i} (g) = g_ {i}}

,

функции, которые принимают его i- й компонент g _i . ${\ displaystyle (g_ {j}) _ {j \ in I}}$

Внутренний и внешний прямой продукт

Некоторые авторы проводят различие между внутренним прямым продуктом и внешним прямым продуктом. Если и , то мы говорим, что X является внутренним прямым продуктом A и B , а если A и B не являются подобъектами, мы говорим, что это внешний прямой продукт. ${\ Displaystyle А, В \ подмножество X}$ ${\ displaystyle A \ times B \ cong X}$

Смотрите также

Примечания

^ W., Weisstein, Эрик. «Прямой продукт» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 февраля 2018 .
^ W., Weisstein, Эрик. «Групповой прямой продукт» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 февраля 2018 .
^ Эквивалентность и порядок
^ Стэнли Н. Беррис и HP Sankappanavar, 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 . Здесь: Def.7.8, стр. 53 (= стр. 67 в файле pdf)

использованная литература

Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

[1] W., Weisstein, Эрик. «Прямой продукт» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 февраля 2018 .

[2] W., Weisstein, Эрик. «Групповой прямой продукт» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 февраля 2018 .

[3] Эквивалентность и порядок

[4] Стэнли Н. Беррис и HP Sankappanavar, 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 . Здесь: Def.7.8, стр. 53 (= стр. 67 в файле pdf)

Languages

In other projects