Последовательная связь - Serial relation

В теории множеств , разделе математики, последовательное отношение , также называемое общим или, более конкретно, левым-полным отношением , является бинарным отношением R, для которого каждый элемент области имеет соответствующий элемент диапазона (∀ x ∃ y   x R y ).

Вступление

В ℕ = натуральных числах отношение «меньше чем» (<) является последовательным. В своей области , функция является последовательной.

Рефлексивное отношение является последовательным отношение , но обратное неверно. Однако можно показать , что последовательное отношение, которое является симметричным и транзитивным, является рефлексивным. В этом случае отношение является отношением эквивалентности .

Если строгий порядок является последовательным, то он не имеет максимального элемента .

Для отношения R пусть { y : xRy } обозначает «соседнюю окрестность» x . Серийное отношение может быть эквивалентно охарактеризовано как каждый элемент, имеющий непустую соседнюю окрестность. Точно так же обратное последовательное отношение - это отношение, в котором каждый элемент имеет непустую «окрестность-предшественницу». Чаще обратное последовательное отношение называется сюръективным и определяется последовательным обратным отношением .

В нормальной модальной логике , расширение фундаментальной аксиомы установить K по результатам серийных недвижимости в аксиоме множестве D .

Алгебраическая характеристика

Серийные отношения могут быть охарактеризованы алгебраически с помощью равенств и неравенств о композициях отношений . Если и - два бинарных отношения, то их композиция R  ; S определяется как отношение${\ Displaystyle R \ substeq X \ раз Y}$${\ Displaystyle S \ substeq Y \ times Z}$${\ Displaystyle R \ {;} \ S = \ {(x, z) \ in X \ times Z \ mid \ существует y \ in Y: (x, y) \ in R \ land (y, z) \ in S \}.}$

• Если R - последовательное отношение, то S  ; R = ∅ влечет S = ∅ для всех множеств W и отношений S ⊆ W × X , где ∅ обозначает пустое отношение .
• Пусть Ь универсальное соотношение : . Характеристика последовательного отношения R является .${\ displaystyle \ forall y \ forall z.yLz}$${\ Displaystyle R; L = L}$
• Другая алгебраическая характеристика последовательного отношения включает дополнения отношений: для любого отношения S , если R серийно, то где обозначает дополнение к . Эта характеристика следует из распределения состава по объединению.${\ Displaystyle {\ overline {R; S}} \ substeq R; {\ bar {S}}}$${\ displaystyle {\ bar {S}}}$${\ displaystyle S}$
• Серийное отношение R контрастирует с пустым отношением ∅ в том смысле, что пока${\ Displaystyle {\ overline {\ emptyset; L}} = L}$${\ displaystyle {\ overline {R; L}} = \ emptyset.}$

Другие характеризации использовать отношение идентичности и обратное соотношение с : ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle R ^ {T}}$${\ displaystyle R}$

• ${\ Displaystyle I \ substeq R; R ^ {T}}$
• ${\ displaystyle {\ bar {R}} \ substeq R; {\ bar {I}}.}$

Серия Рассела

Отношения используются для создания серии в The Principles of Mathematics . Прототипом является функция-преемница Пеано как отношение один-один для натуральных чисел . Ряд Рассела может быть конечным или порожденным отношением, задающим циклический порядок . В этом случае для описания используется отношение разделения пар точек . Чтобы определить прогрессию , он требует, чтобы порождающее отношение было связным . Тогда порядковые числа выводятся из прогрессий, конечные - конечные порядковые. (Глава 28: Прогрессии и порядковые числа) Различение открытых и закрытых серий (стр. 234) приводит к четырем общим порядкам: конечный, с одним концом, без конца и с открытым, и без конца и закрытый. (стр.202)

В отличие от других авторов, Рассел допускает отрицательные порядковые числа. Для мотивации рассмотрите шкалу измерения, используя научную нотацию, где степень десяти представляет собой декаду меры. Неформально этот параметр соответствует порядкам величины, используемым для количественной оценки физических единиц. Параметр принимает как отрицательные, так и положительные значения.

Растяжки

Рассел заимствовал термин « растяжка» от Алексиуса Мейнонга , внесшего свой вклад в теорию расстояния. Он относится к промежуточным элементам между двумя точками в серии, а «количество терминов измеряет расстояние и делимость целого». (стр. 181) Чтобы объяснить Мейнонг, Рассел обращается к метрике Кэли-Клейна, которая использует координаты растяжения в ангармонических соотношениях, которые определяют расстояние с помощью логарифма. (стр. 255)

использованная литература

• Цзин Тао Яо, Давиде Чуччи и Ян Чжан (2015). «Обобщенные грубые множества» . В Януше Кацпшике и Витольде Педриче (ред.). Справочник по вычислительному интеллекту . Springer. С. 413–424. ISBN 9783662435052. Здесь: страница 416.
• Яо, ГГ; Вонг, СКМ (1995). «Обобщение приблизительных наборов с использованием отношений между значениями атрибутов» (PDF) . Труды 2-й Ежегодной совместной конференции по информационным наукам : 30–33..