Когомологическая размерность - Cohomological dimension

В абстрактной алгебре , когомологическая размерность является инвариантом группы , которая измеряет гомологическую сложность его представлений. Он имеет важные приложения в геометрической теории групп , топологии и теории алгебраических чисел .

Когомологическая размерность группы

Как и большинство когомологических инвариантов, когомологическая размерность включает выбор «кольца коэффициентов» R , с выдающимся частным случаем, задаваемым R  =  Z , кольцом целых чисел . Пусть G - дискретная группа , R - ненулевое кольцо с единицей, а RG - групповое кольцо . Группа G имеет когомологическую размерность, меньшую или равную n , обозначаемую cd _R ( G ) ≤  n , если тривиальный RG -модуль R имеет проективную резольвенту длины n , т. Е. Существуют проективные RG -модули P ₀ , ... , P _n и гомоморфизмы RG -модулей d _k : P _k P _{k  - 1} ( k = 1, ..., n ) и d ₀ : P ₀ R , такие что образ d _k совпадает с ядром d _{k  - 1} для k = 1, ..., n и ядро d _n тривиально. ${\ displaystyle \ to}$${\ displaystyle \ to}$

Эквивалентно, когомологическая размерность меньше или равна п , если для произвольного РГ - модуль М , то когомологий из G с коэффициентами в М равна нулю в градусах к > п , т, Н ^к ( G , М ) = 0 , когда K > п . Р -cohomological размер для простого р аналогично определяется в терминах р -кручения группы Н ^к ( G , М ) { р }.

Наименьшее п такое , что когомологическая размерность G меньше или равно п представляет собой когомологическую размерность в G (с коэффициентами R ), который обозначается . ${\ Displaystyle п = \ OperatorName {cd} _ {R} (G)}$

Свободное разрешение может быть получено из свободного действия группы G на стягиваемом топологическом пространстве X . В частности, если X - стягиваемый CW-комплекс размерности n со свободным действием дискретной группы G , переставляющей клетки, то . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cd} _ {\ mathbb {Z}} (G) \ leq n}$

Примеры

Пусть в первой группе примеров кольцо коэффициентов R равно . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

• Свободная группа имеет размерность один когомологическую. Как показали Джон Столлингс (для конечно порожденной группы) и Ричард Свон (в полной общности), это свойство характеризует свободные группы. Этот результат известен как теорема Столлингса – Свона. Теорема Столлингса-Свона для группы G говорит, что G свободна тогда и только тогда, когда каждое расширение с помощью G с абелевым ядром расщеплено.
• Фундаментальная группа из компактной , связанной , ориентируемой римановой поверхности , отличной от области имеет размерность два когомологическую.
• В более общем смысле , фундаментальная группа замкнутого связной ориентируемого асферического многообразия в размерности п имеет размерность когомологическую п . В частности, фундаментальная группа замкнутого ориентируемого гиперболического n -многообразия имеет когомологическую размерность n .
• Нетривиальные конечные группы имеют бесконечную когомологическую размерность над . В более общем смысле то же самое верно и для групп с нетривиальным кручением .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Рассмотрим теперь случай общего кольца R .

• Группа G имеет размерность 0 когомологическую тогда и только тогда , когда ее групповое кольцо RG является полупрост . Таким образом , конечная группа имеет размерность когомологическую 0 тогда и только тогда , когда ее порядок (или, что то же самое, порядки ее элементов) обратим в R .
• Обобщая теорему Сталлингса-Лебедь для , Мартин Данвуди доказал , что группа имеет когомологическую размерность не более одного над произвольным кольцом R тогда и только тогда , когда она является фундаментальной группой связного графа конечных групп , порядки которых обратимы в R .${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z}}$

Когомологическая размерность поля

Р -cohomological размерность поля К является р -cohomological размерности группы Галуа о наличии сепарабельному закрытия из K . Когомологическая размерность K - это верхняя грань p- когомологической размерности по всем простым числам p .

Примеры

• Каждое поле ненулевой характеристики p имеет p -когомологическую размерность не более 1.
• Каждое конечное поле имеет абсолютную группу Галуа, изоморфную ей, и поэтому имеет когомологическую размерность 1.${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {Z}}}$
• Поле формальных рядов Лорана над алгебраически замкнутым полем k ненулевой характеристики также имеет абсолютную группу Галуа, изоморфную и, следовательно, когомологической размерности 1.${\ Displaystyle к ((т))}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {Z}}}$

Смотрите также

• Гипотеза Эйленберга-Ганеа
• Групповые когомологии
• Глобальное измерение

Рекомендации

• Браун, Кеннет С. (1994). Когомологии групп . Тексты для выпускников по математике . 87 (Исправленная перепечатка оригинального издания 1982 г.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90688-6. Руководство по ремонту  1324339 . Zbl  0584.20036 .
• Дикс, Уоррен (1980). Группы, деревья и проективные модули . Конспект лекций по математике. 790 . Берлин: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / BFb0088140 . ISBN 3-540-09974-3. Руководство по ремонту  0584790 . Zbl  0427.20016 .
• Дыдак, Ежи (2002). «Когомологическая теория размерности». В Давермане, Р.Дж. (ред.). Справочник по геометрической топологии . Амстердам: Северная Голландия . С. 423–470. ISBN 0-444-82432-4. Руководство по ремонту  1886675 . Zbl  0992.55001 .
• Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования в области высшей математики. 101 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-86103-9. Zbl  1137.12001 .
• Серр, Жан-Пьер (1997). Когомологии Галуа . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61990-9. Zbl  0902.12004 .
• Шац, Стивен С. (1972). Проконечные группы, арифметика и геометрия . Анналы математических исследований. 67 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-08017-8. Руководство по ремонту  0347778 . Zbl  0236.12002 .
• Столлингс, Джон Р. (1968). «О группах без кручения с бесконечным числом концов». Анналы математики . Вторая серия. 88 : 312–334. DOI : 10.2307 / 1970577 . ISSN  0003-486X . Руководство по ремонту  0228573 . Zbl  0238.20036 .
• Свон, Ричард Г. (1969). «Группы когомологической размерности один» . Журнал алгебры . 12 : 585–610. DOI : 10.1016 / 0021-8693 (69) 90030-1 . ISSN  0021-8693 . Руководство по ремонту  0240177 . Zbl  0188.07001 .