Глобальное измерение - Global dimension

В теории колец и гомологической алгебры , то глобальное измерение (или глобальной гомологической размерности , иногда просто называют гомологической размерности ) из кольца обозначаемое GL тусклый , является неотрицательным целым числом или бесконечности , который является гомологическим инвариантом кольца. Она определяется как верхняя грань множества проекционных размеров всех А - модули . Глобальная размерность - важное техническое понятие в теории размерности нётеровых колец. По теореме Жан-Пьера Серра глобальная размерность может быть использована для характеристики внутри класса коммутативных нётеровых локальных колец тех колец, которые являются регулярными . Их глобальная размерность совпадает с размерностью Крулля , определение которой теоретико-модульное.

Когда кольцо A некоммутативно, сначала нужно рассмотреть две версии этого понятия: правую глобальную размерность, которая возникает из рассмотрения правых A -модулей, и левую глобальную размерность, которая возникает из рассмотрения левых A- модулей. Для произвольного кольца A правая и левая глобальные размеры могут различаться. Однако, если A - нетерово кольцо , обе эти размерности оказываются равными слабой глобальной размерности , определение которой симметрично слева и справа. Следовательно, для некоммутативных нётеровых колец эти две версии совпадают, и одна из них имеет право говорить о глобальной размерности.

Примеры

Пусть  =  К [ х ₁ , ..., х _п ] быть кольцо многочленов в п переменных над полем K . Тогда глобальная размерность A равна n . Это утверждение восходит к основополагающей работе Дэвида Гильберта по гомологическим свойствам колец многочленов, см . Теорему Гильберта о сизигиях . В более общем смысле, если R - нётерово кольцо конечной глобальной размерности k и A  =  R [x] - кольцо многочленов от одной переменной над R, то глобальная размерность A равна k  + 1.

Первая алгебра Вейля A ₁ является некоммутативной нётеровой областью глобальной размерности один.

Кольцо имеет нулевую глобальную размерность тогда и только тогда, когда оно полупростое . Глобальная размерность кольца А меньше или равна единице , если и только если является наследственным . В частности, коммутативная область главных идеалов, которая не является полем, имеет глобальную размерность один.

• Если кольцо является правым нётеровым, то правое глобальное измерение совпадает со слабым глобальным измерением и является не более чем левым глобальным измерением. В частности, если кольцо является правым и левым нётеровым, тогда левое и правое глобальные измерения и слабое глобальное измерение одинаковы.
• Треугольная матрица кольцо имеет правое глобальное измерение 1, слабое глобальное измерение 1, но оставил глобальное измерение 2. Это право нетеровы но не оставили нётеровость.${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbb {Z} & \ mathbb {Q} \\ 0 & \ mathbb {Q} \ end {bmatrix}}}$

Альтернативные характеристики

Правое глобальное измерение кольца A можно также определить как:

• супремум множества проективных размерностей всех циклических правых A -модулей;
• супремум множества проективных размерностей всех конечных правых A -модулей;
• супремум инъективных размерностей всех правых A -модулей;
• когда A - коммутативное нетерово локальное кольцо с максимальным идеалом m , проективная размерность поля вычетов A / m .

Левое глобальное измерение A имеет аналогичные характеристики, полученные заменой «правого» на «левое» в приведенном выше списке.

Серр доказал , что коммутативное нётерово локального кольца является регулярным тогда и только тогда , когда оно имеет конечное глобальное измерение, в этом случае глобальной размерности совпадает с размерностью Крулля из A . Эта теорема открыла дверь к применению гомологических методов к коммутативной алгебре.

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид (1999), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике, 150 (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8.
• Каплански, Ирвинг (1972), Поля и кольца , Чикагские лекции по математике (2-е изд.), University Of Chicago Press, ISBN 0-226-42451-0, Zbl  1001,16500
• Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Кембриджские исследования в области высшей математики, 8 , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36764-6.
• МакКоннелл, JC; Робсон, JC; Смолл, Лэнс У. (2001), исправленное (ред.), Некоммутативные нётеровские кольца , Исследования в области математики , 30 , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2169-5.