Вырожденная билинейная форма - Degenerate bilinear form

В математике , в частности в линейной алгебре , вырожденная билинейная форма f ( x , y ) на векторном пространстве V - это билинейная форма, такая что отображение из V в V ( двойственное пространство к V ), заданное формулой v ↦ ( xf ( x , v )) не является изоморфизмом . Эквивалентное определение, когда V конечномерно, состоит в том, что оно имеет нетривиальное ядро : существует ненулевое x в V такое, что

для всех

Невырожденные формы

Невырожденная или неособо форма является билинейной формой , которая не является вырожденным, а это означает , что есть изоморфизм , или , что эквивалентно в конечных размерах, если и только если

для всех подразумевает, что .

Наиболее важными примерами невырожденных форм являются скалярные произведения и симплектические формы . Симметричные невырожденные формы являются важными обобщениями скалярных произведений, поскольку часто все, что требуется, - это чтобы отображение было изоморфизмом, а не положительностью. Например, многообразие со структурой внутреннего произведения на его касательных пространствах является римановым многообразием , а его ослабление до симметричной невырожденной формы дает псевдориманово многообразие .

Используя определитель

Если V является конечномерен то, относительно некоторой основы для V , билинейная форма является вырожденной тогда и только тогда , когда определитель из соответствующей матрицы равен нуль - тогда и только тогда , когда матрица в единственном числе, и , соответственно , вырожденные формы также называются сингулярными формы . Точно так же невырожденная форма - это форма, для которой ассоциированная матрица неособая , и, соответственно, невырожденные формы также называются невырожденными формами . Эти утверждения не зависят от выбранной основы.

Связанные понятия

Если для квадратичной формы Q существует вектор vV такой, что Q ( v ) = 0, то Q - изотропная квадратичная форма . Если Q имеет один и тот же знак для всех векторов, это определенная квадратичная форма или анизотропная квадратичная форма .

Существует тесно связанное понятие унимодулярной формы и идеального сочетания ; они согласуются по полям, но не по общим кольцам.

Примеры

Наиболее важными примерами невырожденных форм являются скалярные произведения и симплектические формы . Симметричные невырожденные формы являются важными обобщениями скалярных произведений, поскольку часто все, что требуется, - это чтобы отображение было изоморфизмом, а не положительностью. Например, многообразие со структурой внутреннего произведения на его касательных пространствах является римановым многообразием , а его ослабление до симметричной невырожденной формы дает псевдориманово многообразие .

Бесконечные измерения

Обратите внимание , что в бесконечном пространстве, мы можем иметь билинейную форму ƒ , для которых является инъективно но не сюръективно . Например, в пространстве непрерывных функций на замкнутом ограниченном интервале форма

не сюръективен: например, дельта-функционал Дирака находится в двойственном пространстве, но не имеет требуемого вида. С другой стороны, эта билинейная форма удовлетворяет

для всех означает, что

В таком случае, когда удовлетворяет инъективности (но не обязательно сюръективности), называется слабо невырожденной .

Терминология

Если тождественно обращается в нуль на всех векторах, то он называется вполне вырожденным . Для любой билинейной формы на V множество векторов

образует вполне вырожденное подпространство в V . Отображение ƒ невырождено тогда и только тогда, когда это подпространство тривиально.

Геометрически изотропная линия квадратичной формы соответствует точке соответствующей квадратичной гиперповерхности в проективном пространстве . Такая линия дополнительно изотропна для билинейной формы тогда и только тогда, когда соответствующая точка является особенностью . Следовательно, над алгебраически замкнутым полем , нули Гильберт гарантирует , что квадратичная форма всегда имеет изотропные линии, в то время как билинейная форма имеет их тогда и только тогда , когда поверхность является особой.

Смотрите также

Цитаты