Комплексное многообразие - Complex manifold

Голоморфные карты

В дифференциальной геометрии и сложной геометрии , А комплексное многообразие является многообразием с атласом из графиков на открытый единичный круг в , таким образом, что карты переходов являются голоморфны . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

Термин комплексное многообразие по-разному используется для обозначения комплексного многообразия в указанном выше смысле (которое может быть определено как интегрируемое комплексное многообразие) и почти комплексного многообразия .

Последствия сложной структуры

Поскольку голоморфные функции намного более жесткие, чем гладкие , теории гладких и комплексных многообразий имеют очень разные вкусы: компактные комплексные многообразия гораздо ближе к алгебраическим, чем к дифференцируемым многообразиям.

Например, теорема вложения Уитни говорит нам, что любое гладкое n -мерное многообразие может быть вложено как гладкое подмногообразие в R ^{2 n} , в то время как комплексное многообразие «редко» имеет голоморфное вложение в C ⁿ . Рассмотрим, например, любое компактное связное комплексное многообразие M : любая голоморфная функция на нем постоянна по теореме Лиувилля . Теперь, если бы у нас было голоморфное вложение M в C ⁿ , то координатные функции C ⁿ ограничились бы непостоянными голоморфными функциями на M , что противоречит компактности, за исключением случая, когда M является просто точкой. Комплексные многообразия, которые могут быть вложены в C ⁿ , называются многообразиями Штейна и образуют очень специальный класс многообразий, включая, например, гладкие комплексные аффинные алгебраические многообразия.

Классификация комплексных многообразий гораздо более тонкая, чем классификация дифференцируемых многообразий. Например, в то время как в измерениях, отличных от четырех, данное топологическое многообразие имеет не более конечного числа гладких структур , топологическое многообразие, поддерживающее сложную структуру, может поддерживать и часто поддерживает несчетное количество сложных структур. Римановы поверхности , двумерные многообразия со сложной структурой, топологически классифицируемые по родам , являются важным примером этого явления. Множество сложных структур на данной ориентируемой поверхности по модулю биголоморфной эквивалентности само образует сложное алгебраическое многообразие, называемое пространством модулей , структура которого остается областью активных исследований.

Поскольку карты перехода между картами биголоморфны, комплексные многообразия, в частности, гладкие и канонически ориентированные (не только ориентируемые : биголоморфное отображение в (подмножество) C ⁿ дает ориентацию, поскольку биголоморфные отображения сохраняют ориентацию).

Примеры комплексных многообразий

Римановы поверхности .
Многообразия Калаби – Яу .
Декартово произведение двух комплексных многообразий.
Прообраз любого некритического значения голоморфного отображения.

Гладкие комплексные алгебраические многообразия

Гладкие комплексные алгебраические многообразия - это комплексные многообразия, в том числе:

Комплексные векторные пространства.
Комплексные проективные пространства , P ⁿ ( C ).
Комплексные грассманианы .
Комплексные группы Ли, такие как GL ( n , C ) или Sp ( n , C ).

Точно так же их кватернионные аналоги также являются комплексными многообразиями.

Просто подключено

В односвязных 1-мерных комплексных многообразиях изоморфны либо:

Δ, единичный диск в C
C , комплексная плоскость
Ĉ , сфера Римана

Следует отметить , что существуют включения между этими как Δ ⊆ C ⊆ Ĉ , но нет непостоянные карты в другом направлении, по теореме Лиувилля .

Диск против пространства против полидиска

Следующие пространства отличаются как комплексные многообразия, демонстрируя более жесткий геометрический характер комплексных многообразий (по сравнению с гладкими многообразиями):

сложное пространство . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$
единичный диск или открытый шар

{\ displaystyle \ left \ {z \ in \ mathbb {C} ^ {n}: \ | z \ | <1 \ right \}.}

поликруг

{\ displaystyle \ left \ {z = (z_ {1}, \ dots, z_ {n}) \ in \ mathbb {C} ^ {n}: \ vert z_ {j} \ vert <1 \ \ forall j = 1, \ точки, n \ вправо \}.}

Почти сложные конструкции

Почти комплексная структура на реальный 2n-многообразии является GL ( п , С ) -структурами (в смысле G-структур ) - то есть, касательное расслоение оснащен линейной сложной структурой .

В частности, это Эндоморфизм из касательного расслоения , квадрат которого - I ; этот эндоморфизм аналогичен умножению на мнимое число i и обозначается J (во избежание путаницы с единичной матрицей I ). Почти комплексное многообразие обязательно четномерно.

Почти сложная структура слабее, чем сложная структура: любое сложное многообразие имеет почти сложную структуру, но не каждая почти сложная структура возникает из сложной структуры. Обратите внимание, что каждое четномерное вещественное многообразие имеет почти сложную структуру, определенную локально из локальной координатной карты. Вопрос в том, можно ли определить эту сложную структуру глобально. Почти сложная структура, которая возникает из сложной структуры, называется интегрируемой , и когда кто-то желает определить сложную структуру в противоположность почти сложной структуре, говорят об интегрируемой сложной структуре. Для интегрируемых комплексных структур так называемый тензор Нейенхейса обращается в нуль. Этот тензор определяется на парах векторных полей X , Y формулой

{\ Displaystyle N_ {J} (X, Y) = [X, Y] + J [JX, Y] + J [X, JY] - [JX, JY] \.}

Например, 6-мерная сфера S ⁶ имеет естественную почти сложную структуру, возникающую из того факта, что она является ортогональным дополнением к i в единичной сфере октонионов , но это не сложная структура. (Вопрос о том, имеет ли оно сложную структуру, известен как проблема Хопфа после Хайнца Хопфа .) Используя почти комплексную структуру, мы можем понять смысл голоморфных отображений и спросить о существовании голоморфных координат на многообразии. Существование голоморфных координат равносильно утверждению, что многообразие является комплексным (что и говорится в определении карты).

Тензорируя касательное расслоение комплексными числами, мы получаем комплексифицированное касательное расслоение, в котором умножение на комплексные числа имеет смысл (даже если мы начали с вещественного многообразия). Собственные почти комплексной структуры составляют ± я и собственные подпространства образуют суб-пакеты , обозначаемых T ^0,1M и T ^1,0M . Теорема Ньюлендера – Ниренберга показывает, что почти комплексная структура на самом деле является сложной структурой именно тогда, когда эти подрасслоения инволютивны , т. Е. Замкнуты относительно скобки Ли векторных полей, и такая почти комплексная структура называется интегрируемой .

Кэлеровы многообразия и многообразия Калаби – Яу.

Можно определить аналог римановой метрики для комплексных многообразий, называемый эрмитовой метрикой . Подобно римановой метрике, эрмитова метрика состоит из гладко меняющегося положительно определенного внутреннего произведения на касательном расслоении, которое является эрмитовым по отношению к комплексной структуре касательного пространства в каждой точке. Как и в римановом случае, таких метрик всегда в изобилии на любом комплексном многообразии. Если кососимметрическая часть такой метрики симплектическая , т. Е. Замкнутая и невырожденная, то метрика называется кэлерова . Структуры Kähler намного труднее достать и они намного более жесткие.

Примеры кэлеровых многообразий включают гладкие проективные многообразия и вообще любое комплексное подмногообразие кэлерова многообразия. В многообразии Хопфа являются примерами комплексных многообразий, которые не кэлерову. Чтобы построить одно, возьмите комплексное векторное пространство без начала координат и рассмотрите действие группы целых чисел на этом пространстве путем умножения на exp ( n ). Фактор - это комплексное многообразие, первое число Бетти которого равно единице, поэтому по теории Ходжа оно не может быть кэлеровым.

Калаби-Яу может быть определен как компактный Риччи-плоские келерова многообразия или , что эквивалентно, чей первый класс Черна равен нулю.

Смотрите также

Сноски

^ Следует использовать открытый единичный диск вкачестве модельного пространства, а непотому, что они не изоморфны, в отличие от реальных многообразий. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$
^ Это означает, что все комплексные проективные пространства ориентируемы , в отличие от реального случая.
^ Агрикола, Илька ; Баццони, Джованни; Гёрчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «К истории проблемы Хопфа». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . DOI : 10.1016 / j.difgeo.2017.10.014 . S2CID 119297359 .

использованная литература

Кодаира, Кунихико (17 ноября 2004 г.). Сложные многообразия и деформации сложных структур . Классика по математике. Springer. ISBN 3-540-22614-1.

[1] Следует использовать открытый единичный диск вкачестве модельного пространства, а непотому, что они не изоморфны, в отличие от реальных многообразий. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

[2] Это означает, что все комплексные проективные пространства ориентируемы , в отличие от реального случая.

[3] Агрикола, Илька ; Баццони, Джованни; Гёрчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «К истории проблемы Хопфа». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . DOI : 10.1016 / j.difgeo.2017.10.014 . S2CID 119297359 .

Languages

In other projects