Алгебраическое пространство - Algebraic space

В математике , алгебраические пространства образуют обобщение схем в алгебраической геометрии , введенные Артин для использования в теории деформации . Интуитивно схемы задаются путем склеивания аффинных схем с использованием топологии Зарисского , в то время как алгебраические пространства задаются путем склеивания аффинных схем с использованием более тонкой этальной топологии . В качестве альтернативы можно рассматривать схемы как локально изоморфные аффинным схемам в топологии Зарисского, в то время как алгебраические пространства локально изоморфны аффинным схемам в этальной топологии.

Результирующая категория алгебраических пространств расширяет категорию схем и позволяет выполнять несколько естественных конструкций, которые используются при построении пространств модулей, но не всегда возможны в меньшей категории схем, например, взятие фактора свободного действия с помощью конечной группы (сравните с теоремой киля-Mori ).

Определение

Есть два распространенных способа определения алгебраических пространств: они могут быть определены либо как частные схем по отношениям этальной эквивалентности, либо как пучки на большом этальном сайте, локально изоморфные схемам. Эти два определения по сути эквивалентны.

Алгебраические пространства как факторы схем

Алгебраическое пространство Х содержит схему U и замкнутая подсхема R ⊂ U × U , удовлетворяющих следующим двум условиям:

1. R - отношение эквивалентности как подмножество U × U

2. Проекции p _i : R → U на каждый фактор являются этальными отображениями .

Некоторые авторы, такие как Кнутсон, добавляют дополнительное условие, согласно которому алгебраическое пространство должно быть квази-разделенным , что означает, что диагональное отображение является квазикомпактным.

Всегда можно считать, что R и U - аффинные схемы . Это означает, что теория алгебраических пространств не зависит от полной теории схем и действительно может использоваться в качестве (более общей) замены этой теории.

Если R является тривиальным отношением эквивалентности по каждой компоненте связности U (т.е. для всех x , y, принадлежащих одной и той же компоненте связности U , мы имеем xRy тогда и только тогда, когда x = y ), то алгебраическое пространство будет схемой в обычный смысл. Так как общее алгебраическое пространство Й не удовлетворяет это требование, он позволяет одному компонента связности U к покровным X со многими «листами». Множество точек, лежащих в основе алгебраического пространства X , тогда задается формулой | U | / | R | как набор классов эквивалентности .

Пусть Y алгебраическое пространство , определенное отношение эквивалентности S ⊂ V × V . Тогда множество Hom ( Y , X ) морфизмов алгебраических пространств определяется условием, что оно делает последовательность спуска

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (Y, X) \ rightarrow \ mathrm {Hom} (V, X) {{{} \ atop \ longrightarrow} \ atop {\ longrightarrow \ atop {}}} \ mathrm {Hom} (S, X)}$

точное (это определение мотивировано теоремой Гротендика о спуске для сюръективных этальных отображений аффинных схем). С этими определениями алгебраические пространства образуют категорию .

Пусть U - аффинная схема над полем k, заданная системой многочленов g ( x ), x = ( x ₁ , ..., x _n ), пусть

${\ Displaystyle к \ {х_ {1}, \ ldots, х_ {п} \} \}$

Обозначим кольцо из алгебраических функций в х над к , и пусть X = { R ⊂ U × U } алгебраическое пространство.

Соответствующие слои Õ _{X , x} на X затем определяются как локальные кольца алгебраических функций, определенных как Õ _{U , u} , где u ∈ U - точка, лежащая над x, а Õ _{U , u} - локальное кольцо, соответствующее u из кольцо

k { x ₁ , ...,  x _n } / ( ж )

алгебраических функций на U .

Точка на алгебраическом пространстве называется гладкой, если Õ _{X , x} ≅ k { z ₁ , ..., z _d } для некоторых неопределенных z ₁ , ..., z _d . Тогда размерность X в точке x просто определяется как d .

Морфизм f : Y → X алгебраических пространств называется этальным в точке y ∈ Y (где x = f ( y )), если индуцированное отображение на слоях

Õ _{X , x} → Õ _{Y , y}

является изоморфизмом.

Структурный пучок О _Й на алгебраическом пространство Х определяются ассоциирование кольца функций O ( V ) на V (определяемся этальными отображениями из V в аффинной линии A ¹ в том смысле , просто определенно) для любого алгебраического пространства V , который является этальные над X .

Алгебраические пространства как пучки

Алгебраическое пространство может быть определен как пучок множеств ${\ Displaystyle {\ mathfrak {X}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {X}}: ({\ text {Sch}} / S) _ {\ text {et}} ^ {op} \ to {\ text {Sets}}}$

такой, что

1. Есть сюръективный этальный морфизм ${\ displaystyle h_ {X} \ to {\ mathfrak {X}}}$
2. диагональный морфизм представим.${\ displaystyle \ Delta _ {{\ mathfrak {X}} / S}: {\ mathfrak {X}} \ to {\ mathfrak {X}} \ times {\ mathfrak {X}}}$

Второе условие эквивалентно тому свойству, что для любых схем и морфизмов их расслоенное произведение пучков ${\ displaystyle Y, Z}$${\ displaystyle h_ {Y}, h_ {Z} \ to {\ mathfrak {X}}}$

${\ displaystyle h_ {Y} \ times _ {\ mathfrak {X}} h_ {Z}}$

представима схемой над . Обратите внимание, что некоторые авторы, такие как Кнутсон, добавляют дополнительное условие, согласно которому алгебраическое пространство должно быть квази-разделенным , что означает, что диагональное отображение является квазикомпактным. ${\ displaystyle S}$

Алгебраические пространства и схемы

Алгебраические пространства похожи на схемы, и большая часть теории схем распространяется на алгебраические пространства. Например, большинство свойств морфизмов схем также применимы к алгебраическим пространствам, можно определить когомологии квазикогерентных пучков, это имеет обычные свойства конечности для собственных морфизмов и так далее.

• Собственные алгебраические пространства над полем размерности один (кривые) являются схемами.
• Неособые собственные алгебраические пространства размерности два над полем (гладкие поверхности) являются схемами.
• Квази-разделенные групповые объекты в категории алгебраических пространств над полем являются схемами, хотя есть неквази-разделенные групповые объекты, которые не являются схемами.
• Объекты коммутативной группы в категории алгебраических пространств над произвольной схемой, которые являются собственными, локально конечным представлением, плоскими и когомологически плоскими в размерности 0, являются схемами.
• Не всякая особая алгебраическая поверхность является схемой.
• Пример Хиронаки можно использовать для получения неособого 3-мерного собственного алгебраического пространства, которое не является схемой, заданным фактором схемы по группе порядка 2, действующей свободно. Это иллюстрирует одно различие между схемами и алгебраическими пространствами: фактор алгебраического пространства по свободно действующей дискретной группе является алгебраическим пространством, но фактор схемы по свободно действующей дискретной группе не обязательно должен быть схемой (даже если группа конечный).
• Каждое квазиотделенное алгебраическое пространство содержит плотную открытую аффинную подсхему, и дополнение такой подсхемы всегда имеет коразмерность ≥ 1. Таким образом, алгебраические пространства в некотором смысле «близки» к аффинным схемам.
• Фактор комплексных чисел по решетке является алгебраическим пространством, но не эллиптической кривой, даже если соответствующее аналитическое пространство является эллиптической кривой (или, точнее, является образом эллиптической кривой под функтором из комплексных алгебраических пространств в аналитические пространства). Фактически, этот фактор алгебраического пространства не является схемой, не является полным и даже не является квази-разделенным. Это показывает, что хотя факторное пространство алгебраического пространства по бесконечной дискретной группе является алгебраическим пространством, оно может обладать странными свойствами и может не быть алгебраическим пространством, которое «ожидалось». Подобные примеры даются частным комплексной аффинной прямой по целым числам или частным комплексной аффинной прямой за вычетом начала координат по степеням некоторого числа: снова соответствующее аналитическое пространство является многообразием, а алгебраическое пространство - нет.

Алгебраические пространства и аналитические пространства

Алгебраические пространства над комплексными числами тесно связаны с аналитическими пространствами и многообразиями Мойшезона .

Грубо говоря, разница между комплексными алгебраическими пространствами и аналитическими пространствами состоит в том, что комплексные алгебраические пространства формируются путем склеивания аффинных частей вместе с использованием этальной топологии, а аналитические пространства формируются путем склеивания с классической топологией. В частности, существует функтор комплексных алгебраических пространств конечного типа в аналитические пространства. Многообразия Хопфа дают примеры аналитических поверхностей, которые не происходят из собственного алгебраического пространства (хотя можно построить несобственные и неотделимые алгебраические пространства, аналитическое пространство которых является поверхностью Хопфа). Также возможно, что разные алгебраические пространства соответствуют одному и тому же аналитическому пространству: например, эллиптическая кривая и фактор C по соответствующей решетке не изоморфны как алгебраические пространства, но соответствующие аналитические пространства изоморфны.

Артин показал, что собственные алгебраические пространства над комплексными числами более или менее идентичны пространствам Мойшезон.

Обобщение

Алгебраические стеки дают далеко идущее обобщение алгебраических пространств . В категории стеков мы можем сформировать даже больше факторов по групповым действиям, чем в категории алгебраических пространств (получившееся частное называется фактор-стеком ).

Цитаты

использованная литература

• Артин, Майкл (1969), «Теорема о неявной функции в алгебраической геометрии», в Абхьянкаре, Шрирам Шанкар (редактор), Алгебраическая геометрия: доклады, представленные на Бомбейском коллоквиуме, 1968 , Института фундаментальных исследований Тата, исследования по математике, 4 , Oxford University Press , стр. 13–34, MR  0262237
• Артин, Майкл (1971), Алгебраические пространства , Математические монографии Йельского университета , 3 , Издательство Йельского университета, ISBN 978-0-300-01396-2, Руководство по ремонту  0407012
• Knutson, Дональд (1971), алгебраические пространства , Лекции по математике, 203 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / BFb0059750 , ISBN 978-3-540-05496-2, Руководство по ремонту  0302647

внешние ссылки

• Данилов В.И. (2001) [1994], "Алгебраическое пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Алгебраическое пространство в проекте стеков