Исключительный функтор обратного изображения - Exceptional inverse image functor

В математике , а точнее в теории пучков , ветви топологии и алгебраической геометрии , исключительный функтор обратного образа является четвертым и наиболее сложным в серии функторов изображений для пучков . Это необходимо, чтобы выразить двойственность Вердье в самом общем виде.

Определение

Функторы изображений для пучков
прямое изображение f ∗
прообраз f ∗
прямое изображение с компактной опорой f !
исключительный прообраз Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Теоремы о замене базы
v т е

Пусть F : X → Y является непрерывным отображением из топологических пространств или морфизм из схем . Тогда исключительный прообраз - это функтор

R f ^! : D ( Y ) → D ( X )

где D (-) обозначает производную категорию из пучков абелевых групп или модулей над фиксированным кольцом.

Он определяется как правый сопряженный к полному производному функтору R f _! от прямого изображения с компактным носителем . Его существование следует из некоторых свойств R f _! и общие теоремы о существовании сопряженных функторов, как и о единственности.

Обозначение R f ^! является злоупотреблением обозначениями, поскольку вообще отсутствует функтор f ^! производным функтором которого будет R f ^! .

Примеры и свойства

• Если F : X → Y представляет собой погружение из локально замкнутого подпространства, то можно определить

е ^! ( F ): = f ^∗ G ,

где G представляет собой подпучок F из которых сечение на некоторый открытом подмножестве U из Y является секции ева ∈ F ( U ) , чья поддержка содержатся в X . Функтор f ^! является точным слева и выше R е ^! , существование которой гарантируется общими структурными аргументами, действительно является производным функтором этого f ^! . Более того, f ^! сопряжена справа с f _! , тоже.

• В более общем плане аналогичное утверждение справедливо для любого квазиконечного морфизма, такого как этальный морфизм .
• Если f - открытое погружение , исключительный прообраз равен обычному прообразу .

использованная литература

• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-16389-3 , MR   0842190 рассматривает топологическую установку
• Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 . Конспект лекций по математике (на французском языке). 305 . Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. vi + 640. DOI : 10.1007 / BFb0070714 . ISBN   978-3-540-06118-2 . рассматривает случай этальных пучков на схемах. См. Exposé XVIII, раздел 3.