Полупростое представление - Semisimple representation

В математике, в частности , в теории представлений , полупрост представление (также называется вполне приводимое представление ) является линейным представлением о группе или алгебры , которая является прямой суммой простых представлений (также называемые неприводимые представления ). Это пример общего математического понятия полупростоты .

Многие представления, которые появляются в приложениях теории представлений, являются полупростыми или могут быть аппроксимированы полупростыми представлениями. Полупростой модуль над алгеброй над полем является примером полупростого представления. Наоборот, полупростое представление группы G над полем k является полупростым модулем над групповым кольцом k [ G ].

Эквивалентные характеристики

Пусть V - представление группы G ; или, в более общем смысле, пусть V - векторное пространство с набором линейных эндоморфизмов, действующих на нем. В общем, векторное пространство, на которое действует набор линейных эндоморфизмов , называется простым (или неприводимым), если единственные инвариантные подпространства для этих операторов равны нулю и само векторное пространство; тогда полупростое представление является прямой суммой простых представлений в этом смысле.

Следующие варианты эквивалентны:

V полупросто как представление.
V - сумма простых подпредставлений .
Каждое подпредставление W группы V допускает дополнительное представление : такое подпредставление W ' , что . ${\ Displaystyle V = W \ oplus W '}$

Эквивалентность приведенных выше условий можно показать на основе следующей леммы, представляющей самостоятельный интерес:

Лемма - Пусть р : V → W сюръективный эквивариантное отображение между представлениями. Если V полупросто, то p расщепляется ; т.е. допускает секцию .

Доказательство леммы -

Напишите где лежат простые представления. Не умаляя общности, мы можем предположить, что это подпредставления; т.е. мы можем предположить, что прямая сумма является внутренней. По простоте либо, либо . Таким образом, где такая , что для каждого , . Затем идет раздел п . ${\ displaystyle V = \ bigoplus _ {i} V_ {i}}$ ${\ displaystyle V_ {i}}$ ${\ displaystyle V_ {i}}$ ${\ Displaystyle V_ {я} \ подмножество \ OperatorName {ker} (p)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ker} (p) \ cap V_ {i} = 0}$ ${\ Displaystyle V = \ OperatorName {ker} (p) \ bigoplus \ left (\ bigoplus _ {я \ in I '} V_ {i} \ right)}$ ${\ displaystyle I '}$ ${\ displaystyle i \ in I '}$ ${\ displaystyle V_ {i} \ cap \ operatorname {ker} (p) = 0}$ ${\ Displaystyle W \ simeq \ bigoplus _ {я \ in I '} V_ {i} \ to V}$ ${\ Displaystyle \ квадрат}$

Доказательство эквивалентности -

${\ displaystyle 1. \ Rightarrow 3.}$ : Возьмите p, чтобы быть естественным сюрпризом . Так как V полупрост, р расщепляется и так, через секцию, изоморфно subrepretation , который является дополнением к W . ${\ Displaystyle V \ в V / W}$ ${\ Displaystyle V / W}$

${\ displaystyle 3. \ Rightarrow 2.}$ : Сначала заметим, что каждое ненулевое подпредставление W имеет простое подпредставление. Сокращая W до (ненулевого) циклического подпредставления, мы можем считать, что оно конечно порождено. Тогда она имеет максимальное подпредставление U . По условию 3. для некоторых . По модульному закону это подразумевает . Тогда - простое подпредставление W («простое» из-за максимальности). Это подтверждает наблюдение. Теперь возьмем сумму всех простых подпредставлений, которая согласно 3. допускает дополнительное представление . Если тогда, по предварительным наблюдениям, содержит простое подпредставление, а значит , вздор. Следовательно, . ${\ Displaystyle V = U \ oplus U '}$ ${\ displaystyle U '}$ ${\ Displaystyle W = U \ oplus (W \ cap U ')}$ ${\ Displaystyle (W \ cap U ') \ simeq W / U}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle W '}$ ${\ Displaystyle W '\ neq 0}$ ${\ displaystyle W '}$ ${\ Displaystyle W \ cap W '\ neq 0}$ ${\ displaystyle W '= 0}$

${\ displaystyle 2. \ Rightarrow 1.}$ : Импликация является прямым обобщением основного факта линейной алгебры, что базис может быть извлечен из остовного множества векторного пространства. Это утверждение, которое мы можем показать: когда является суммой простых подпредставлений, из суммы может быть извлечено полупростое разложение , некоторое подмножество . Рассмотрим семейство всевозможных прямых сумм с различными подмножествами . Упорядочим его частично, сказав, что прямая сумма по K меньше, чем прямая сумма по J, если . Лемма Цорна явно относится к нему и дает нам максимальную прямую сумму W . Теперь для каждого i в I , для простоты, либо или . Во втором случае, прямая сумма является противоречие максимальности W . Следовательно, . ${\ Displaystyle V = \ сумма _ {я \ in I} V_ {я}}$ ${\ Displaystyle V = \ bigoplus _ {я \ in I '} V_ {я}}$ ${\ displaystyle I '\ subset I}$ ${\ Displaystyle \ bigoplus _ {я \ in J} V_ {я} \ подмножество V}$ ${\ displaystyle J \ subset I}$ ${\ Displaystyle K \ подмножество J}$ ${\ displaystyle V_ {i} \ subset W}$ ${\ displaystyle V_ {i} \ cap W = 0}$ ${\ displaystyle W \ oplus V_ {i}}$ ${\ displaystyle V_ {i} \ subset W}$ ${\ Displaystyle \ квадрат}$

Примеры и не примеры

Унитарные представления

Конечномерное унитарное представление (т. Е. Представление, факторизуемое через унитарную группу ) является основным примером полупростого представления. Такое представление является полупростым, поскольку если W является подпредставлением, то ортогональное дополнение к W является дополнительным представлением, потому что если и , то для любого w в W, поскольку W является G -инвариантным, и т . Д. ${\ displaystyle v \ in W ^ {\ bot}}$ ${\ displaystyle g \ in G}$ ${\ displaystyle \ langle \ pi (g) v, w \ rangle = \ langle v, \ pi (g ^ {- 1}) w \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle \ pi (g) v \ in W ^ {\ bot}}$

Например, задано непрерывное конечномерный комплексное представление конечной группы или компактной группы G , с помощью усреднения аргумента, можно определить скалярное произведение на V , которое G -инвариантные: т.е. , который должен сказать , является унитарным оператор и поэтому является унитарным представлением. Следовательно, всякое конечномерное непрерывное комплексное представление группы G полупросто. Для конечной группы это частный случай теоремы Машке , которая утверждает, что конечномерное представление конечной группы G над полем k с характеристикой, не делящей порядок группы G, является полупростым. ${\ Displaystyle \ pi: G \ в GL (V)}$ ${\ Displaystyle \ langle, \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle \ pi (g) v, \ pi (g) w \ rangle = \ langle v, w \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ пи (г)}$ ${\ displaystyle \ pi}$

Представления полупростых алгебр Ли

По теореме Вейля о полной сводимости всякое конечномерное представление полупростой алгебры Ли над полем нулевой характеристики полупросто.

Сепарабельные минимальные многочлены

Учитывая линейный эндоморфизм T векторного пространства V , V полупрост как представление T (т. Е. T - полупростой оператор ) тогда и только тогда, когда минимальный многочлен T отделим; т. е. произведение различных неприводимых многочленов.

Ассоциированное полупростое представление

Учитывая конечномерное представление V , то Жордан-Гёльдер теорема говорит , что есть фильтрация подпредставлений: таким образом, что каждый последующий фактор является простым представлением. Тогда ассоциированное векторное пространство -полупростой представление называется связанным полупрост представление , которое, с точностью до изоморфизма, однозначно определяются V . ${\ Displaystyle V = V_ {0} \ supset V_ {1} \ supset \ cdots \ supset V_ {n} = 0}$ ${\ Displaystyle V_ {я} / V_ {я + 1}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {gr} V: = \ bigoplus _ {i = 0} ^ {n-1} V_ {i} / V_ {i + 1}}$

Унипотентная группа, не являющаяся примером

Представление унипотентной группы , вообще говоря, не является полупростым. Возьмем группу, состоящую из вещественных матриц ; он действует на естественным образом и делает V представление G . Если W является подпредставлением V , имеющим размерность 1, то простое вычисление показывает, что оно должно быть охвачено вектором . То есть существует ровно три G -представления V ; в частности, V не является полупростым (поскольку единственное одномерное подпредставление не допускает дополнительного представления). ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & a \\ & 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ Displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$

Полупростая декомпозиция и кратность

Разложение полупростого представления на простые, называемое полупростым разложением, не обязательно должно быть уникальным; например, для тривиального представления простые представления являются одномерными векторными пространствами, и, таким образом, полупростая декомпозиция сводится к выбору базиса векторного пространства представления. С другой стороны, изотипическое разложение является примером уникального разложения.

Однако для конечномерного полупростого представления V над алгебраически замкнутым полем количество простых представлений с точностью до изоморфизмов, появляющихся в разложении V (1), единственно и (2) полностью определяет представление с точностью до изоморфизмов; это следует из леммы Шура следующим образом. Предположим, что задано конечномерное полупростое представление V над алгебраически замкнутым полем: по определению это прямая сумма простых представлений. Группируя вместе простые представления в разложении, которые изоморфны друг другу, с точностью до изоморфизма, можно найти разложение (не обязательно уникальное):

{\ displaystyle V \ simeq \ bigoplus _ {i} V_ {i} ^ {\ oplus m_ {i}}}

где - простые представления, взаимно неизоморфные друг другу, и положительные целые числа. По лемме Шура ${\ displaystyle V_ {i}}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$

{\ displaystyle m_ {i} = \ dim \ operatorname {Hom} _ {\ text {Equiv}} (V_ {i}, V) = \ dim \ operatorname {Hom} _ {\ text {Equiv}} (V, V_ {i})}

,

где относится к эквивариантным линейным отображениям . Кроме того, каждое из них не изменяется, если заменяется другим простым представлением, изоморфным . Таким образом, целые числа не зависят от выбранных разложений; они являются кратностями простых представлений , с точностью до изоморфизма, в V . ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ text {Equiv}}}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$ ${\ displaystyle V_ {i}}$ ${\ displaystyle V_ {i}}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$ ${\ displaystyle V_ {i}}$

В общем случае, если дано конечномерное представление группы G над полем k , композиция называется характером группы . Когда является полупростым с разложением, как указано выше, след представляет собой сумму следов с кратностями и, таким образом, как функции на G , ${\ Displaystyle \ pi: G \ в GL (V)}$ ${\ displaystyle \ chi _ {V}: G {\ overset {\ pi} {\ to}} GL (V) {\ overset {\ text {tr}} {\ to}} k}$ ${\ Displaystyle (\ пи, В)}$ ${\ Displaystyle (\ пи, В)}$ ${\ displaystyle V \ simeq \ bigoplus _ {i} V_ {i} ^ {\ oplus m_ {i}}}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {tr} (\ pi (g))}$ ${\ displaystyle \ pi (g): от V_ {i} \ до V_ {i}}$

{\ displaystyle \ chi _ {V} = \ sum _ {i} m_ {i} \ chi _ {V_ {i}}}

где персонажи . Когда G является конечной группой или, в более общем смысле, компактной группой и является унитарным представлением со скалярным произведением, заданным аргументом усреднения, отношения ортогональности Шура говорят: неприводимые характеры (характеры простых представлений) группы G являются ортонормированным подмножеством пространство комплекснозначных функций на G и, таким образом . ${\ displaystyle \ chi _ {V_ {i}}}$ ${\ displaystyle V_ {i}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle m_ {i} = \ langle \ chi _ {V}, \ chi _ {V_ {i}} \ rangle}$

Изотипическое разложение

Существует разложение полупростого представления , которое является уникальным, называется изотипично разложением представления. По определению, учитывая простое представление S , то изотипная компонента типа S из представления V представляет собой сумму всех подпредставлений V , изоморфные S ; обратите внимание, что компонент также изоморфен прямой сумме некоторого выбора подпредставлений, изоморфных S (так что компонент уникален, а слагаемые не нужны).

Тогда изотипическое разложение полупростого представления V - это (единственное) разложение в прямую сумму:

{\ Displaystyle V = \ bigoplus _ {\ lambda \ in {\ widehat {G}}} V ^ {\ lambda}}

где - множество классов изоморфизма простых представлений V и - изотипическая компонента V типа S для некоторых . ${\ displaystyle {\ widehat {G}}}$ ${\ displaystyle V ^ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle S \ in \ lambda}$

Пример

Пусть - пространство однородных многочленов степени три над комплексными числами от переменных . Затем действует путем перестановки трех переменных. Это конечномерное комплексное представление конечной группы, а значит, и полупростое. Следовательно, это 10-мерное представление может быть разбито на три изотипических компонента, каждый из которых соответствует одному из трех неприводимых представлений . В частности, содержит три экземпляра тривиального представления, одну копию представления знака, а три экземпляра двухмерного неприводимого представления о . Например, промежуток и изоморфен . В этом легче убедиться, записав это двумерное подпространство как ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} x_ {2} -x_ {2} ^ {2} x_ {1} + x_ {1} ^ {2} x_ {3} -x_ {2} ^ {2} x_ {3}}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {2} x_ {3} -x_ {3} ^ {2} x_ {2} + x_ {2} ^ {2} x_ {1} -x_ {3} ^ {2} x_ {1}}$ ${\ displaystyle W}$

{\ displaystyle W_ {1} = \ {a (x_ {1} ^ {2} x_ {2} + x_ {1} ^ {2} x_ {3}) + b (x_ {2} ^ {2} x_ {1} + x_ {2} ^ {2} x_ {3}) + c (x_ {3} ^ {2} x_ {1} + x_ {3} ^ {2} x_ {2}) \ mid a + б + с = 0 \}}

.

Другой экземпляр может быть записан в аналогичной форме: ${\ displaystyle W}$

{\ displaystyle W_ {2} = \ {a (x_ {2} ^ {2} x_ {1} + x_ {3} ^ {2} x_ {1}) + b (x_ {1} ^ {2} x_ {2} + x_ {3} ^ {2} x_ {2}) + c (x_ {1} ^ {2} x_ {3} + x_ {2} ^ {2} x_ {3}) \ mid a + б + с = 0 \}}

.

Так может и третий:

{\ displaystyle W_ {3} = \ {ax_ {1} ^ {3} + bx_ {2} ^ {3} + cx_ {3} ^ {3} \ mid a + b + c = 0 \}}

.

Затем идет изотипическая составляющая типа in . ${\ Displaystyle W_ {1} \ oplus W_ {2} \ oplus W_ {3}}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle V}$

Завершение

В анализе Фурье одна (хорошая) функция разлагается как предел ряда Фурье функции. Во многом таким же образом само представление может не быть полупростым, но оно может быть завершением (в подходящем смысле) полупростого представления. Самым основным случаем этого является теорема Питера – Вейля , которая разлагает левое (или правое) регулярное представление компактной группы на пополнение в гильбертовом пространстве прямой суммы всех простых унитарных представлений. Как следствие, существует естественное разложение для гильбертова пространства (классов) квадратично интегрируемых функций на компактной группе G : ${\ Displaystyle W = L ^ {2} (G)}$

{\ Displaystyle W \ simeq {\ widehat {\ bigoplus _ {[(\ pi, V)]}}} V ^ {\ oplus \ dim V}}

где означают завершение прямой суммы и прямые бежит сумму по всем классам изоморфных простых конечномерных унитарных представлений о G . Обратите внимание, что каждое простое унитарное представление (с точностью до изоморфизма) появляется в сумме с кратностью размерности представления. ${\ displaystyle {\ widehat {\ bigoplus}}}$ ${\ Displaystyle (\ пи, В)}$

Когда группа G является конечной группой, векторное пространство - это просто групповая алгебра группы G, а также пополнение пусто. Таким образом, теорема просто говорит, что ${\ Displaystyle W = \ mathbb {C} [G]}$

{\ displaystyle \ mathbb {C} [G] = \ bigoplus _ {[(\ pi, V)]} V ^ {\ oplus \ dim V}.}

То есть каждое простое представление G появляется в регулярном представлении с кратностью размерности представления. Это один из стандартных фактов теории представлений конечной группы (и его намного легче доказать).

Когда группа G является круговой группой , теорема в точности соответствует классическому анализу Фурье. ${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Приложения к физике

В квантовой механике и физике элементарных частиц , то момент импульса объекта может быть описано с помощью комплексных представлений группы вращений | SO (3) , все из которых являются полупросто. Благодаря связь между SO (3) и SU (2) , нерелятивистский спином из элементарной частицы описываются комплексными представлениями SU (2) и релятивистской спина описывается комплексными представлениями SL ₂ ( C ) , все из которых полупростые. В угловой муфте импульса , коэффициенты Клебша-Гордана возникают из кратностей неприводимых представлений , возникающих в полупростом разложении тензорного произведения неприводимых представлений.

Примечания

использованная литература

Цитаты

Источники

Андерсон, Фрэнк У .; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , 13 (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1- 4612-4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, Руководство по ремонту 1245487; NB: эта ссылка номинально рассматривает полупростой модуль над кольцом, а не над группой, но это не существенное различие (абстрактная часть обсуждения проходит также и для групп).
Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) .
Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту 1153249 . OCLC 246650103 .
Холл, Брайан К. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для выпускников по математике. 222 (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3319134666.
Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
Прочези, Клаудио (2007). Группы Ли: подход через инварианты и представления . Springer. ISBN 9780387260402..
Серр, Жан-Пьер (1977-09-01). Линейные представления конечных групп . Тексты для выпускников по математике , 42 . Нью-Йорк – Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90190-9. Руководство по ремонту 0450380 . Zbl 0355.20006 .

Languages

In other projects