Циклический модуль - Cyclic module

В математике , точнее в теории колец , циклический модуль или моногенный модуль - это модуль над кольцом, который порождается одним элементом. Концепция аналогична циклической группе , то есть группе, которая порождается одним элементом.

Определение

Левый R -модуль M называется циклическим, если M может быть порожден одним элементом, т.е. M = ( x ) = Rx = { rx | гR } для некоторого х в М . Аналогично, правый R - модуль N является циклическим , если N = YR для некоторого уN .

Примеры

  • 2 Z как Z -модуль является циклическим модулем.
  • Фактически каждая циклическая группа является циклическим Z -модулем.
  • Каждый простой R - модуль М является циклическим модулем , так как подмодуль , порожденный любого ненулевого элемента х из М обязательно весь модуль М . В общем, модуль прост тогда и только тогда, когда он ненулевой и порождается каждым из своих ненулевых элементов.
  • Если кольцо R рассматривается как левый модуль над собой, то его циклические подмодули являются в точности его левыми главными идеалами как кольца. То же верно и для R как правого R -модуля, mutatis mutandis .
  • Если Р является Р [ х ], то кольцо многочленов над полем F , и V представляет собой R - модуль , который также является конечномерным векторным пространством над F , то жордановы из х , действующих на V представляют собой циклические подмодули. (Блоки Jordan все изоморфны , чтобы F [ х ] / ( х - λ ) п , может быть и другими циклическими подмодулями с различными аннигиляторами ., См ниже)

Свойства

  • Учитывая циклический R - модуля М , который порождается й , существует канонический изоморфизм между М и R / Ann R X , где Ann R х обозначает аннулятор х в R .
  • Каждый модуль представляет собой сумму циклических подмодулей.

Смотрите также

Ссылки