Циклический модуль - Cyclic module
В математике , точнее в теории колец , циклический модуль или моногенный модуль - это модуль над кольцом, который порождается одним элементом. Концепция аналогична циклической группе , то есть группе, которая порождается одним элементом.
Определение
Левый R -модуль M называется циклическим, если M может быть порожден одним элементом, т.е. M = ( x ) = Rx = { rx | г ∈ R } для некоторого х в М . Аналогично, правый R - модуль N является циклическим , если N = YR для некоторого у ∈ N .
Примеры
- 2 Z как Z -модуль является циклическим модулем.
- Фактически каждая циклическая группа является циклическим Z -модулем.
- Каждый простой R - модуль М является циклическим модулем , так как подмодуль , порожденный любого ненулевого элемента х из М обязательно весь модуль М . В общем, модуль прост тогда и только тогда, когда он ненулевой и порождается каждым из своих ненулевых элементов.
- Если кольцо R рассматривается как левый модуль над собой, то его циклические подмодули являются в точности его левыми главными идеалами как кольца. То же верно и для R как правого R -модуля, mutatis mutandis .
- Если Р является Р [ х ], то кольцо многочленов над полем F , и V представляет собой R - модуль , который также является конечномерным векторным пространством над F , то жордановы из х , действующих на V представляют собой циклические подмодули. (Блоки Jordan все изоморфны , чтобы F [ х ] / ( х - λ ) п , может быть и другими циклическими подмодулями с различными аннигиляторами ., См ниже)
Свойства
- Учитывая циклический R - модуля М , который порождается й , существует канонический изоморфизм между М и R / Ann R X , где Ann R х обозначает аннулятор х в R .
- Каждый модуль представляет собой сумму циклических подмодулей.
Смотрите также
Ссылки
- Андерсон, Фрэнк У .; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, Руководство по ремонту 1245487
- Б. Хартли ; Т. Хоуксу (1970). Кольца, модули и линейная алгебра . Чепмен и Холл. С. 77 , 152. ISBN 0-412-09810-5.
- Лэнг, Серж (1993), Алгебра (третье издание), чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, стр. 147–149, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848,13001