Лемма Шура - Schur's lemma

В математике , лемма Шура является элементарным , но чрезвычайно полезно утверждение в теории представлений о группах и алгебр . В групповом случае он говорит , что если М и N являются два конечномерными неприводимыми представлениями некоторой группы G и φ является линейным преобразованием из М в N , что коммутирует с действием группы, то либо φ является обратимым , или φ = 0. Важный частный случай возникает, когда M = Nа φ - отображение себя; в частности, любой элемент центра группы должен действовать в качестве скалярного оператора (скалярное кратное идентичности) на М . Лемма названа в честь Иссая Шура, который использовал ее для доказательства соотношений ортогональности Шура и развития основ теории представлений конечных групп . Лемма Шура допускает обобщения на группы Ли и алгебры Ли , наиболее распространенное из которых принадлежит Жаку Диксмье .

Теория представлений групп

Теория представлений - это изучение гомоморфизмов группы G в общую линейную группу GL (V) векторного пространства V ; т.е. в группу автоморфизмов V . (Давайте здесь ограничится случай , когда основная область V является , полем комплексных чисел.) Такой гомоморфизм называется представлением G на V . Представление на V является частным случаем действия группы на V , но вместо того, чтобы допускать любые произвольные перестановки основного множества V , мы ограничиваемся обратимыми линейными преобразованиями. ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Пусть ρ является представлением G на V . Это может быть случай , что V имеет подпространство , Вт , таким образом, что для любого элемента г из G , обратимый линейное отображение ρ ( г ) сохраняет или исправления W , так что ( ρ ( г )) ( ж ) находится в W для каждый ш в W , и ( ρ ( г )) ( v ) не находится в W для любого V не в Вт . Другими словами, каждое линейное отображение ρ ( г ): V → V также автоморфизм W , ρ ( г ): W → W , когда его область ограничена W . Мы говорим , W стабильна при G , или стабильной под действием G . Понятно , что если мы будем рассматривать W по себе как векторное пространство, то есть очевидное представление G на W -The представления мы получаем, ограничивая каждую карту р ( г ) в Вт . Когда W обладает этим свойством, мы будем называть W с данным представления а подпредставления из V . Представление группы G без подпредставлений (кроме себя и нуля) является неприводимым представлением. Неприводимые представления, такие как простые числа или простые группы в теории групп, являются строительными блоками теории представлений. Многие из исходных вопросов и теорем теории представлений касаются свойств неприводимых представлений.

Поскольку мы заинтересованы в гомоморфизмах между группами, или непрерывными отображениями между топологическими пространствами , мы заинтересованы в некоторых функциях между представлениями G . Пусть V и W - векторные пространства, и пусть и - представления G на V и W соответственно. Затем мы определяем G- линейное отображение f из V в W как линейное отображение из V в W , эквивариантное относительно действия G ; то есть, для каждого г в G , . Другими словами, мы требуем , чтобы F коммутирует с действием G . G -линейного карты морфизмов в категории представлений G . ${\ displaystyle \ rho _ {V}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {W}}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {W} (g) \ circ f = f \ circ \ rho _ {V} (g)}$

Лемма Шуры теорема , которая описывает то , что G могут существовать -линейные карты между двумя неприводимыми представлениями группы G .

Утверждение и доказательство леммы.

Теорема (лемма Шура) : пусть V и W - векторные пространства; и пусть и - неприводимые представления G на V и W соответственно. ${\ displaystyle \ rho _ {V}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {W}}$

Если и не изоморфны, то между ними нет нетривиальных G -линейных отображений. ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle W}$
Если конечномерно над алгебраически замкнутым полем (например ); и если , то единственными нетривиальными G -линейными отображениями являются тождество и скалярные кратные тождества. (Скалярное кратное тождества иногда называют гомотетией. ) ${\ Displaystyle V = W}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {V} = \ rho _ {W}}$

Доказательство. Предположим, что это ненулевое G- линейное отображение из в . Мы докажем, что и изоморфны. Позвольте быть ядром, или пустым пространством, в , подпространство все в для которого . (Легко проверить, что это подпространство.) По предположению, что это G -линейно, для каждого in и выбора in . Но сказать, что это то же самое, что сказать, что находится в нулевом пространстве . Так устойчив под действием G ; это субпредставительство. Поскольку по предположению неприводимо, должно быть равно нулю; так инъективно. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle V '}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle fx = 0}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle V ', е ((\ rho _ {V} (g)) (x)) = (\ rho _ {W} (g)) (f (x)) = (\ rho _ {W} ( g)) (0) = 0}$ ${\ Displaystyle е (\ ро _ {V} (г) (х)) = 0}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {V} (г) (х)}$ ${\ displaystyle f: V \ rightarrow W}$ ${\ displaystyle V '}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V '}$ ${\ displaystyle f}$

Точно так же аргумент, который мы покажем , также сюръективен; так как мы можем сделать вывод, что при произвольном выборе из диапазона , отправляет в другое место в диапазоне ; в частности он отправляет это изображение . Поэтому диапазон является подпространством в конюшне под действием , поэтому подпредставлением и должен быть равен нулю или сюръективны. По предположению он не равен нулю, поэтому он сюръективен, и в этом случае это изоморфизм. ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle е ((\ rho _ {V} (g)) (x)) = (\ rho _ {W} (g)) (f (x))}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {W} (г)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {V} (г) х}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle W '}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle f}$

В том случае, если они конечномерны над алгебраически замкнутым полем и имеют одно и то же представление, пусть будет собственным значением . (Собственное значение существует для каждого линейного преобразования в конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем.) Пусть . Тогда если - собственный вектор, соответствующий . Ясно, что это G -линейное отображение, потому что сумма или разность G -линейных отображений также G -линейна. Затем мы возвращаемся к приведенному выше аргументу, где мы использовали тот факт, что отображение было G- линейным, чтобы сделать вывод, что ядро является подпредставлением и, таким образом, либо равно нулю, либо равно всем из ; поскольку он не равен нулю (он содержит ), он должен быть полностью из V и поэтому тривиален, поэтому . ${\ Displaystyle V = W}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f '= f- \ lambda I}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ lambda, f '(x) = 0}$ ${\ displaystyle f '}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle f '}$ ${\ displaystyle f = \ lambda I}$

Формулировка на языке модулей

Если М и N являются две простые модули над кольцом R , то любой гомоморфизм F : M → N из R -модулями является либо обратимым или равен нулю. В частности, кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом .

Условие, что f - гомоморфизм модулей, означает, что

{\ displaystyle f (rm) = rf (m) {\ text {для всех}} m \ in M ​​{\ text {и}} r \ in R.}

Версия группы представляет собой частный случай версии модуля, так как любое представление группы G эквивалентно , можно рассматривать как модуль над кольцом группы из G .

Лемма Шура часто применяется в следующем частном случае. Предположим , что R является алгебра над полем к и векторного пространства M = N представляет собой простой модуль R . Тогда лемма Шура говорит, что кольцо эндоморфизмов модуля M является алгеброй с делением над полем k . Если M конечномерно, эта алгебра с делением конечномерна. Если k - поле комплексных чисел, единственный вариант - это алгебра с делением на комплексные числа. Таким образом, кольцо эндоморфизмов модуля M «как можно меньше». Другими словами, единственные линейные преобразования M, которые коммутируют со всеми преобразованиями, происходящими из R, являются скалярными кратными единице.

В более общем случае это справедливо для любой алгебры над несчетным алгебраически замкнутым полем и для любого простого модуля, который является не более чем счетномерным: единственные линейные преобразования, которые коммутируют со всеми преобразованиями, происходящими из, являются скалярными, кратными единице. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle R}$

Когда поле не является алгебраически замкнутым, случай, когда кольцо эндоморфизмов настолько мало, насколько возможно, по-прежнему представляет особый интерес. Простой модуль над -алгеброй называется абсолютно простым, если его кольцо эндоморфизмов изоморфно . Это в общем случае сильнее, чем неприводимость над полем , и означает, что модуль неприводим даже над алгебраическим замыканием . ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$

Представления групп Ли и алгебр Ли

Опишем лемму Шура, как она обычно формулируется в контексте представлений групп Ли и алгебр Ли. Результат состоит из трех частей.

Во-первых, предположим, что и являются неприводимыми представлениями группы Ли или алгебры Ли над любым полем, и это сплетающее отображение . Тогда либо ноль, либо изоморфизм. ${\ displaystyle V_ {1}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ displaystyle \ phi: V_ {1} \ rightarrow V_ {2}}$ ${\ displaystyle \ phi}$

Во-вторых, если является неприводимым представлением группы Ли или алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем и является переплетающимся отображением, то является скалярным кратным тождественного отображения. ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ phi: V \ rightarrow V}$ ${\ displaystyle \ phi}$

В-третьих, предположим, что и являются неприводимыми представлениями группы Ли или алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем и являются ненулевыми сплетающими отображениями . Затем для некоторого скаляра . ${\ displaystyle V_ {1}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1}, \ phi _ {2}: V_ {1} \ rightarrow V_ {2}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1} = \ lambda \ phi _ {2}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

Как простое следствие второго утверждения, любое комплексное неприводимое представление абелевой группы одномерно.

Приложение к элементу Казимира

Пусть алгебра Ли и является универсальным обертывающим из . Позвольте быть неприводимым представлением над алгебраически замкнутым полем. Универсальное свойство универсальной обертывающей алгебры гарантирует, что она распространяется на представление действия в том же векторном пространстве. Из второй части леммы Шура следует, что если принадлежит центру , то должно быть кратно тождественному оператору. В случае, когда - комплексная полупростая алгебра Ли, важным примером предыдущей конструкции является тот, в котором (квадратичный) элемент Казимира . В этом случае, где - константа, которую можно явно вычислить в терминах наивысшего веса . Действие элемента Казимира играет важную роль в доказательстве полной приводимости конечномерных представлений полупростых алгебр Ли. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ pi: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow \ mathrm {End} (V)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$ ${\ Displaystyle \ пи (х)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ pi (C) = \ lambda _ {\ pi} I}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ pi}}$ ${\ displaystyle \ pi}$

См. Также дополнение Шура .

Обобщение на непростые модули

Одномодульная версия леммы Шура допускает обобщения с участием модулей M , которые не обязательно являются простыми. Они выражают отношения между модулем теоретико-свойствами М и свойствами кольца эндоморфизмов из М .

Модуль называется сильно неразложимым, если его кольцо эндоморфизмов является локальным кольцом . Для важного класса модулей конечной длины следующие свойства эквивалентны ( Лам 2001 , §19):

Модуль М является неразложимы ;
M сильно неразложим;
Каждый эндоморфизм M либо нильпотентен, либо обратим.

Вообще говоря, лемму Шура нельзя отменить: существуют непростые модули, но их алгебра эндоморфизмов является телом . Такие модули обязательно неразложимы и поэтому не могут существовать над полупростыми кольцами, такими как комплексное групповое кольцо конечной группы. Однако даже над кольцом целых чисел модуль рациональных чисел имеет кольцо эндоморфизмов, которое является телом, а именно полем рациональных чисел. Даже для групповых колец, существуют примеры , когда характеристика поля делит порядок в группе: радикал Джекобсона из проективное покрытие из одномерного представления знакопеременной группы по пять точек над полем с тремя элементами имеет поле с тремя элементами в качестве кольца эндоморфизмов.

Смотрите также

Лемма Квиллена

Languages

In other projects