Теорема Машке - Maschke's theorem

В математике теорема Машке , названная в честь Генриха Машке , является теоремой теории представлений групп, которая касается разложения представлений конечной группы на неприводимые части. Теорема Машке позволяет делать общие выводы о представлениях конечной группы G, фактически не вычисляя их. Это сводит задачу классификации всех представлений к более управляемой задаче классификации неприводимых представлений , поскольку, когда применяется теорема, любое представление представляет собой прямую сумму неприводимых частей (составляющих). Более того, из теоремы Жордана – Гёльдера следует, что, хотя разложение в прямую сумму неприводимых подпредставлений может быть не единственным, неприводимые части имеют точно определенные кратности . В частности, представление конечной группы над полем нулевой характеристики определяется с точностью до изоморфизма своим характером .

Составы

Теорема Машке обращается к вопросу: когда общее (конечномерное) представление строится из неприводимых подпредставлений с помощью операции прямой суммы ? Этот вопрос (и ответ на него) формулируются по-разному для разных точек зрения на теорию представлений групп.

Теоретико-групповой

Теорема Машке обычно формулируется как следствие следующего результата:

Теорема. Если V представляет собой комплексное представление конечной группы G с подпредставлению W , то есть другое подпредставление U из V таким образом, что V = W ⊕ U .

Тогда следствие

Следствие (теорема Машке). Каждое представление конечной группы G над полем F с характеристикой, не делящей порядок группы G, является прямой суммой неприводимых представлений.

Векторное пространство , из комплекснозначных функций класса из группы G имеет естественную G -инвариантной внутреннюю структуру продукта, описанную в статье соотношений ортогональности Шуры . Теорема Машке была первоначально доказана для случая представлений над путем построения U как ортогонального дополнения к W относительно этого скалярного произведения. ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Модульно-теоретический

Один из подходов к представлениям конечных групп - теория модулей . Представления группы G заменяются модулями над ее групповой алгеброй  K [ G ] (точнее, существует изоморфизм категорий между K [ G ] -Mod и Rep _G , категорией представлений группы G ). Неприводимые представления соответствуют простым модулям . На теоретико-модульном языке теорема Машке спрашивает: является ли произвольный модуль полупростым ? В этом контексте теорему можно переформулировать следующим образом:

Теорема Машке. Пусть G конечная группа и K поле, характеристика которого не делит порядок G . Тогда K [ G ], групповая алгебра группы G , полупроста .

Важность этого результата проистекает из хорошо разработанной теории полупростых колец, в частности, теоремы Артина – Веддерберна (иногда называемой теоремой Веддерберна о структуре). Когда K - поле комплексных чисел, это показывает, что алгебра K [ G ] является произведением нескольких копий комплексных матричных алгебр , по одной для каждого неприводимого представления. Если поле K имеет нулевую характеристику, но не является алгебраически замкнутым , например, K является полем действительных или рациональных чисел, то имеет место несколько более сложное утверждение: групповая алгебра K [ G ] является произведением матричных алгебр над делением кольца над K . Слагаемые соответствуют неприводимым представлениям G над K .

Теоретико-категориальный

Теорема Машке, переформулированная на языке полупростых категорий , гласит:

Теорема Машке. Если G представляет собой группу , а Р представляет собой поле с характеристикой , не делящие порядок G , то категория представлений о G над F является полу-простой.

Доказательства

Теоретико-групповой

Пусть U подпространство V дополнения W . Позвольте быть функцией проекции, т. Е. Для любого . ${\ displaystyle p_ {0}: от V \ до W}$${\ displaystyle p_ {0} (вес + и) = вес}$${\ Displaystyle и \ в U, ш \ в W}$

Определить , где это аббревиатура , с является представлением G на W и V . Тогда G сохраняется при представлении : для любого , ${\ textstyle p (x) = {\ frac {1} {\ # G}} \ sum _ {g \ in G} g \ cdot p_ {0} \ cdot g ^ {- 1} (x)}$${\ displaystyle g \ cdot p_ {0} \ cdot g ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ rho _ {W} {g} \ cdot p_ {0} \ cdot \ rho _ {V} {g ^ {- 1}}}$${\ displaystyle \ rho _ {W} {g}, \ rho _ {V} {g ^ {- 1}}}$ ${\ displaystyle \ ker p}$${\ displaystyle \ rho _ {V}}$${\ displaystyle w '\ in \ ker p, h \ in G}$

${\ displaystyle {\ begin {align} p (hw ') & = h \ cdot h ^ {- 1} {\ frac {1} {\ # G}} \ sum _ {g \ in G} g \ cdot p_ {0} \ cdot g ^ {- 1} (hw ') \\ & = h \ cdot {\ frac {1} {\ # G}} \ sum _ {g \ in G} (h ^ {- 1} \ cdot g) \ cdot p_ {0} \ cdot (g ^ {- 1} h) w '\\ & = h \ cdot {\ frac {1} {\ # G}} \ sum _ {g \ in G } g \ cdot p_ {0} \ cdot g ^ {- 1} w '\\ & = h \ cdot p (w') \\ & = 0 \ end {выровнено}}}$

так следует , что . Таким образом, ограничение on также является представлением. ${\ displaystyle w '\ in \ ker p}$${\ displaystyle hw '\ in \ ker p}$${\ displaystyle \ rho _ {V}}$${\ displaystyle \ ker p}$

По определению , для любого , так и для любого , . Таким образом , и . Поэтому . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle w \ in W}$${\ Displaystyle р (ш) = ш}$${\ Displaystyle W \ cap ker \ p = \ {0 \}}$${\ displaystyle v \ in V}$${\ Displaystyle p (p (v)) = p (v)}$${\ displaystyle p (vp (v)) = 0}$${\ displaystyle vp (v) \ in \ ker p}$${\ Displaystyle V = W \ oplus \ ker p}$

Модульно-теоретический

Пусть V - K [ G ] -подмодуль. Докажем, что V - прямое слагаемое. Пусть π быть любым К -линейному проекция K [ G ] на V . Рассмотрим карту

${\ displaystyle {\ begin {case} \ phi: K [G] \ to V \\\ phi: x \ mapsto {\ frac {1} {\ # G}} \ sum _ {s \ in G} s \ cdot \ pi (s ^ {- 1} \ cdot x) \ end {case}}}$

Тогда φ снова является проекцией: она явно K- линейна, отображает K [ G ] в V и индуцирует тождество на V (следовательно, отображает K [ G ] на V ). Кроме того, у нас есть

${\ displaystyle {\ begin {align} \ phi (t \ cdot x) & = {\ frac {1} {\ # G}} \ sum _ {s \ in G} s \ cdot \ pi (s ^ {- 1} \ cdot t \ cdot x) \\ & = {\ frac {1} {\ # G}} \ sum _ {u \ in G} t \ cdot u \ cdot \ pi (u ^ {- 1} \ cdot x) \\ & = t \ cdot \ phi (x), \ end {выровнено}}}$

так что φ на самом деле K [ G ] -линеен. По колки леммы , . Это доказывает, что каждый подмодуль является прямым слагаемым, т. Е. K [ G ] полупрост. ${\ Displaystyle К [G] = В \ oplus \ ker \ phi}$

Заявление Converse

Приведенное доказательство зависит от того , что # G обратим в K . Это может привести к вопросу, верна ли обратная теорема Машке: если характеристика K делит порядок G , следует ли, что K [ G ] не является полупростым? Ответ да .

Доказательство. Для определения . Пусть . Тогда I - K [ G ] -подмодуль. Покажем , что для любого нетривиального подмодуль V в K [ G ] . Пусть V будет дано, и пусть будет любой ненулевой элемент V . Если , претензия немедленно. В противном случае пусть . Тогда так и ${\ textstyle x = \ sum \ lambda _ {g} g \ in K [G]}$${\ textstyle \ epsilon (x) = \ sum \ lambda _ {g}}$${\ Displaystyle I = \ ker \ epsilon}$${\ displaystyle I \ cap V \ neq 0}$${\ textstyle v = \ сумма \ mu _ {g} g}$${\ displaystyle \ epsilon (v) = 0}$${\ textstyle s = \ сумма 1g}$${\ Displaystyle \ epsilon (s) = \ # G \ cdot 1 = 0}$${\ displaystyle s \ in I}$

${\ displaystyle sv = \ left (\ sum 1g \ right) \ left (\ sum \ mu _ {g} g \ right) = \ sum \ epsilon (v) g = \ epsilon (v) s}$

таким образом , что является ненулевым элементом как I и V . Это доказывает, что V не является прямым дополнением I для всех V , поэтому K [ G ] не является полупростым. ${\ displaystyle sv}$

Не примеры

Теорема неприменима к случаю, когда G бесконечна или когда поле K имеет характеристики, делящие | G |. Например,

• Рассмотрим бесконечную группу и представление, определенное . Пусть , 1-мерное подпространство натянутое на . Тогда ограничение на W является тривиальным подпредставлением . Однако не существует U такого, что оба W, U являются подпредставлениями и : любое такое U должно быть одномерным, но любое одномерное подпространство, сохраняемое с помощью , должно быть охвачено собственным вектором для , и единственным собственным вектором для этого является .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ rho: \ mathbb {Z} \ to GL_ {2} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ rho (n) = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} ^ {n} = {\ begin {bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$${\ Displaystyle W = \ mathbb {C} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$${\ Displaystyle GL_ {2} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} = W \ oplus U}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$
• Рассмотрим простое число p , группу , поле и представление, определенные как . Простые вычисления показывают, что здесь есть только один собственный вектор , поэтому по тем же аргументам 1-мерное подпредставление уникально и не может быть разложено в прямую сумму двух одномерных подпредставлений.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle К = \ mathbb {F} _ {p}}$${\ displaystyle \ rho: \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ to GL_ {2} (\ mathbb {F} _ {p})}$${\ Displaystyle \ rho (п) = {\ begin {bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}}$

Примечания

использованная литература

• Ланг, Серж (2002-01-08). Алгебра . Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95385-4. Руководство по ремонту  1878556 . Zbl  0984.00001 .
• Серр, Жан-Пьер (1977-09-01). Линейные представления конечных групп . Тексты для выпускников по математике , 42 . Нью-Йорк – Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90190-9. Руководство по ремонту  0450380 . Zbl  0355.20006 .
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту  1153249 . OCLC  246650103 .