Представление группы Ли - Representation of a Lie group

Группы Ли
Классические группы
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли
Полупростая алгебра Ли
Теория представлений
Группы Ли в физике
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математике и теоретической физике , представление группы Ли является линейным действием группы Ли на векторном пространстве . Эквивалентно представление - это гладкий гомоморфизм группы в группу обратимых операторов в векторном пространстве. Представления играют важную роль в изучении непрерывной симметрии . О таких представлениях известно очень много, и основным инструментом их изучения является использование соответствующих «бесконечно малых» представлений алгебр Ли .

Конечномерные представления

Представления

Комплексное представление группы - это действие группы на конечномерном векторном пространстве над полем . Тогда представление группы Ли G , действующее на n -мерном векторном пространстве V над, является гладким групповым гомоморфизмом${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle \ Pi: G \ rightarrow \ OperatorName {GL} (V)}$ ,

где - общая линейная группа всех обратимых линейных преобразований по их композиции. Поскольку все n -мерные пространства изоморфны, группу можно отождествить с группой обратимых комплексных матриц, обычно называемых гладкостью отображения, можно рассматривать как техническую особенность, поскольку любой непрерывный гомоморфизм будет автоматически гладким. ${\ displaystyle \ operatorname {GL} (V)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} (V)}$${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} (n; \ mathbb {C}).}$${\ displaystyle \ Pi}$

Альтернативно можно описать представление группы Ли в качестве линейного действия в на векторном пространстве . В условных обозначениях мы могли бы написать вместо того, как элемент группы действует на вектор . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle g \ cdot v}$${\ Displaystyle \ Pi (g) v}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle v \ in V}$

Типичным примером, в котором представления возникают в физике, может быть изучение линейного уравнения в частных производных, имеющего группу симметрии . Хотя отдельные решения уравнения могут не быть инвариантными под действием , пространство всех решений инвариантно под действием . Таким образом, представляет собой представление . См. Пример SO (3), обсуждаемый ниже. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle G}$

Основные определения

Если гомоморфизм инъективен (т. Е. Мономорфизм ), то представление называется точным . ${\ displaystyle \ Pi}$

Если выбран базис для комплексного векторного пространства V , представление может быть выражено как гомоморфизм в общую линейную группу . Это известно как матричное представление . Два представления G на векторных пространства V , W является эквивалентны , если они имеют те же матричные представления в отношении некоторых вариантов оснований для V и W . ${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (п; \ mathbb {C})}$

Для данного представления мы говорим, что подпространство W в V является инвариантным подпространством, если для всех и . Представление называется неприводимым, если единственными инвариантными подпространствами V являются нулевое пространство и само V. Для некоторых типов групп Ли, а именно компактных и полупростых групп, каждое конечномерное представление разлагается как прямая сумма неприводимых представлений, свойство, известное как полная сводимость. Для таких групп типичной целью теории представлений является классификация всех конечномерных неприводимых представлений данной группы с точностью до изоморфизма. (См. Раздел «Классификация» ниже.) ${\ Displaystyle \ Pi: G \ rightarrow \ OperatorName {GL} (V)}$${\ Displaystyle \ Pi (g) ш \ в W}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle w \ in W}$

Унитарное представление на конечномерном внутреннее пространство продукта определяется таким же образом, за исключением того, что требуется для отображения в группу унитарных операторов . Если G - компактная группа Ли , любое конечномерное представление эквивалентно унитарному. ${\ displaystyle \ Pi}$

Представления алгебры Ли

Каждое представление группы Ли G порождает представление ее алгебры Ли; это соответствие подробно обсуждается в следующих разделах. См. Представление алгебр Ли по теории алгебр Ли.

Пример: группа вращения SO (3)

В квантовой механике, не зависящие от времени уравнения Шредингера , играет важную роль. В трехмерном случае, если имеет вращательную симметрию, то пространство решений будет инвариантным относительно действия SO (3). Таким образом, будет - для каждого фиксированного значения - составить представление SO (3), которое обычно является конечномерным. Пытаясь решить , полезно знать, как выглядят все возможные конечномерные представления SO (3). Теория представлений SO (3) играет ключевую роль, например, в математическом анализе атома водорода . ${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}$${\ displaystyle {\ hat {H}}}$${\ displaystyle V_ {E}}$${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}$${\ displaystyle V_ {E}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}$

Каждый стандартный учебник по квантовой механике содержит анализ, который по существу классифицирует конечномерные неприводимые представления SO (3) с помощью его алгебры Ли. (Коммутационные соотношения между операторами углового момента - это просто соотношения для алгебры Ли группы SO (3).) Одна тонкость этого анализа состоит в том, что представления группы и алгебры Ли не находятся во взаимно однозначном соответствии, момент, который имеет решающее значение для понимания различия между целочисленным спином и полуцелым спином . ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$

Обыкновенные представления

Группа вращений SO (3) является компактной группой Ли, и поэтому любое конечномерное представление SO (3) распадается как прямая сумма неприводимых представлений. Группа SO (3) имеет по одному неприводимому представлению в каждой нечетной размерности. Для каждого неотрицательного целого числа неприводимое представление размерности может быть реализовано как пространство однородных гармонических многочленов на степени . Здесь SO (3) действует так же, как вращения действуют на функции на : ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 2k + 1}$${\ displaystyle V_ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle V_ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle (\ Pi (R) f) (x) = f (R ^ {- 1} x) \ quad R \ in \ operatorname {SO} (3).}$

Ограничение на единичную сферу элементов - сферические гармоники степени . ${\ Displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle V_ {k}}$${\ displaystyle k}$

Если, скажем, , то все полиномы, однородные степени одной гармоничны, и мы получаем трехмерное пространство , натянутое на линейных полиномы , и . Если пространство порождается многочленами , , , , и . ${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle V_ {1}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle k = 2}$${\ displaystyle V_ {2}}$${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle xz}$${\ displaystyle yz}$${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2} -z ^ {2}}$

Как отмечалось выше, конечномерные представления SO (3) естественным образом возникают при изучении не зависящего от времени уравнения Шредингера для радиального потенциала, такого как атом водорода , как отражения вращательной симметрии задачи. (См. Роль сферических гармоник в математическом анализе водорода .)

Проективные представления

Если мы посмотрим на алгебру Ли SO (3), эта алгебра Ли изоморфна алгебре Ли SU (2). Согласно теории представлений , тогда существует одно неприводимое представление в каждом измерении. Однако четномерные представления не соответствуют представлениям группы SO (3). Однако эти так называемые «дробные спиновые» представления соответствуют проективным представлениям SO (3). Эти представления возникают в квантовой механике частиц с дробным спином, таких как электрон. ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {су}} (2)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {су}} (2)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$

Операции с представительствами

В этом разделе мы описываем три основные операции с представлениями. См. Также соответствующие конструкции для представлений алгебры Ли.

Прямые суммы

Если у нас есть два представления группы , и , тогда прямая сумма будет иметь в качестве основного векторного пространства с действием группы, заданным ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Pi _ {1}: G \ rightarrow GL (V_ {1})}$${\ displaystyle \ Pi _ {2}: G \ rightarrow GL (V_ {2})}$${\ Displaystyle V_ {1} \ oplus V_ {2}}$

${\ Displaystyle \ Pi (g) (v_ {1}, v_ {2}) = (\ Pi _ {1} (g) v_ {1}, \ Pi _ {2} (g) v_ {2}), }$

для всех , и . ${\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1},}$ ${\ displaystyle v_ {2} \ in V_ {2}}$${\ displaystyle g \ in G}$

Некоторые типы групп Ли, в частности компактные группы Ли, обладают тем свойством, что любое конечномерное представление изоморфно прямой сумме неприводимых представлений. В таких случаях классификация представлений сводится к классификации неприводимых представлений. См . Теорему Вейля о полной сводимости .

Тензорные произведения представлений

Если у нас есть два представления группы , и , тогда тензорное произведение представлений будет иметь векторное пространство тензорного произведения в качестве основного векторного пространства с действием однозначно определяемым предположением, что ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Pi _ {1}: G \ rightarrow GL (V_ {1})}$${\ displaystyle \ Pi _ {2}: G \ rightarrow GL (V_ {2})}$${\ displaystyle V_ {1} \ otimes V_ {2}}$${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ Pi (g) (v_ {1} \ otimes v_ {2}) = (\ Pi _ {1} (g) v_ {1}) \ otimes (\ Pi _ {2} (g) v_ { 2})}$

для всех и . То есть . ${\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1}}$${\ displaystyle v_ {2} \ in V_ {2}}$${\ Displaystyle \ Pi (g) = \ Pi _ {1} (g) \ otimes \ Pi _ {2} (g)}$

Представление алгебры Ли, связанное с представлением тензорного произведения, задается формулой: ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ Pi}$

${\ displaystyle \ pi (X) = \ pi _ {1} (X) \ otimes I + I \ otimes \ pi _ {2} (X).}$

Тензорное произведение двух неприводимых представлений обычно неприводимо; основная проблема теории представлений состоит в том, чтобы разложить тензорные произведения неприводимых представлений как прямую сумму неприводимых подпространств. В физической литературе эта проблема называется «сложением углового момента» или « теорией Клебша – Гордана ».

Двойные представления

Позвольте быть группой Ли и быть представлением группы G. Позвольте быть двойственным пространством, то есть пространством линейных функционалов на . Тогда мы можем определить представление по формуле ${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Pi: G \ rightarrow GL (V)}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ Pi ^ {*}: G \ rightarrow GL (V ^ {*})}$

${\ displaystyle \ Pi ^ {*} (g) = (\ Pi (g ^ {- 1})) ^ {\ operatorname {tr}},}$

где для любого оператора оператор транспонирования определяется как оператор "композиция с ": ${\ displaystyle A: V \ rightarrow V}$${\ displaystyle A ^ {\ operatorname {tr}}: V ^ {*} \ rightarrow V ^ {*}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle (A ^ {\ operatorname {tr}} \ phi) (v) = \ phi (Av).}$

(Если мы работаем в базисе, то это просто обычная матрица, транспонированная к .) Обратное в определении необходимо, чтобы гарантировать, что это действительно представление в свете тождества . ${\ displaystyle A ^ {\ operatorname {tr}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Pi ^ {*}}$${\ displaystyle \ Pi ^ {*}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (AB) ^ {\ operatorname {tr}} = B ^ {\ operatorname {tr}} A ^ {\ operatorname {tr}}}$

Двойственное к неприводимому представлению всегда неприводимо, но может быть или не быть изоморфным исходному представлению. В случае группы SU (3), например, неприводимые представления помечаются парой неотрицательных целых чисел. Дуальное представление, связанное с, является представлением, связанным с . ${\ Displaystyle (м_ {1}, м_ {2})}$${\ Displaystyle (м_ {1}, м_ {2})}$${\ Displaystyle (м_ {2}, м_ {1})}$

Группа Ли против представлений алгебры Ли

Обзор

Во многих случаях удобно изучать представления группы Ли, изучая представления ассоциированной алгебры Ли. В общем, однако, не всякое представление алгебры Ли происходит из представления группы. Этот факт, например, лежит в основе различия между целочисленным спином и полуцелым спином в квантовой механике. С другой стороны, если G - односвязная группа, то теорема утверждает, что мы действительно получаем взаимно однозначное соответствие между представлениями группы и алгебры Ли.

Пусть G группа Ли с алгеброй Ли , и предположим , что представление о под рукой. Переписка Ли может быть использована для получения групповых представлений связной компоненты G . Грубо говоря, это достигается взятием матричной экспоненты от матриц представления алгебры Ли. Тонкость возникает, если G не является односвязным . Это может привести к проективным представлениям или, в физике терминологии, многозначных представления G . Это на самом деле представление универсальной накрывающей группы из G . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Эти результаты будут объяснены более подробно ниже.

Соответствие Ли дает результаты только для связного компонента групп, и, таким образом, другие компоненты полной группы рассматриваются отдельно, давая представителей для матриц, представляющих эти компоненты, по одному для каждого компонента. Эти формы (представители) Нулевая гомотопическая группа из G . Например, в случае четырехкомпонентной группы Лоренца представители инверсии пространства и обращения времени должны вводиться вручную . Дальнейшие иллюстрации будут взяты из теории представлений группы Лоренца ниже.

Экспоненциальное отображение

Если - группа Ли с алгеброй Ли , то у нас есть экспоненциальное отображение из в , записанное как ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle X \ mapsto e ^ {X}, \ quad X \ in {\ mathfrak {g}}.}$

Если - матричная группа Ли, выражение может быть вычислено с помощью обычного степенного ряда для экспоненты. В любой группе Ли существуют окрестности тождества в и начала координат в со свойством, что каждое в может быть записано однозначно как с . То есть экспоненциальная карта имеет локальный инверс. В большинстве групп это только местные; то есть экспоненциальное отображение обычно не является ни взаимно однозначным, ни прямым. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle e ^ {X}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle g = e ^ {X}}$${\ Displaystyle X \ in V}$

Представления алгебры Ли из представлений групп

Всегда можно перейти от представления группы Ли G к представлению ее алгебры Ли Если Π: G → GL ( V ) представляет собой группу представление для некоторого векторного пространства V , то его прямой образ (дифференциальный) в тождество, или отображение Ли , является представлением алгебры Ли. Он явно вычисляется с использованием ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}.}$${\ displaystyle \ pi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ text {End}} V}$

${\ displaystyle \ pi (X) = \ left. {\ frac {d} {dt}} \ Pi (e ^ {tX}) \ right | _ {t = 0}, \ quad X \ in {\ mathfrak { грамм}}.}$

( G6 )

Основное свойство в отношении и предполагает экспоненциальное отображение: ${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ Pi (e ^ {X}) = e ^ {\ pi (X)}.}$

Вопрос, который мы хотим исследовать, состоит в том, возникает ли каждое представление группы таким образом из представлений группы . Как мы увидим, это тот случай, когда он односвязен. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Представления групп из представлений алгебры Ли

Основным результатом этого раздела является следующее:

Теорема : Если просто связно, то всякое представление алгебры Ли из исходит из представления о себе. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle G}$

Отсюда легко выводим следующее:

Следствие : Если подключен , но не односвязна, всякое представление о исходит из представления о , универсальной накрывающей . Если неприводимо, то опускается до проективного представления о . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle G}$

Проективное представление - это такое представление, в котором каждое из них определяется только с точностью до умножения на константу. В квантовой физике естественно допускать проективные представления в дополнение к обычным, потому что состояния действительно определены только с точностью до константы. (То есть, если есть вектор в квантовом гильбертовом пространстве, то представляет собой такое же физическое состояние для любой константы .) Каждое конечномерны проективное представление связной группы Ли приходит от обычного представления универсальной крышки из . И наоборот, как мы обсудим ниже, каждое неприводимое обычное представление группы опускается до проективного представления . В физической литературе проективные репрезентации часто описываются как многозначные репрезентации (т. Е. Каждое из них имеет не одно значение, а целое семейство ценностей). Это явление важно для изучения дробного спина в квантовой механике. ${\ Displaystyle \ Pi (г), \, г \ в G,}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle c \ psi}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Pi (g)}$

Приведем схему доказательства основных результатов, приведенных выше. Предположим , что это представление на векторном пространстве V . Если будет ассоциированное представление группы Ли , оно должно удовлетворять экспоненциальному соотношению из предыдущего пункта. Теперь, в свете локальной обратимости экспоненты, мы можем определить отображение из окрестности тождества в с помощью этого соотношения: ${\ displaystyle \ pi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ Pi (е ^ {X}) = e ^ {\ pi (X)}, \ quad g = e ^ {X} \ in U.}$

Ключевой вопрос тогда заключается в следующем: является ли это локально определенное отображение «локальным гомоморфизмом»? (Этот вопрос будет применяться даже в частном случае, когда экспоненциальное отображение глобально взаимно-однозначно и на; в этом случае это будет глобально определенная карта, но не очевидно, почему это будет гомоморфизм.) Ответ на ответ на этот вопрос положительный: это локальный гомоморфизм, и это можно установить с помощью формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа . ${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$

Если связано, то каждый элемент является по крайней мере произведением экспонент элементов . Таким образом, мы можем предварительно определить глобально следующим образом. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ Pi}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ Pi (g = e ^ {X}) & \ Equiv e ^ {\ pi (X)}, && X \ in {\ mathfrak {g}}, \ quad g = e ^ {X} \ in \ operatorname {im} (\ exp), \\\ Pi (g = g_ {1} g_ {2} \ cdots g_ {n}) & \ Equiv \ Pi (g_ {1}) \ Pi (g_ {2}) \ cdots \ Pi (g_ {n}), && g \ notin \ operatorname {im} (\ exp), \ quad g_ {1}, g_ {2}, \ ldots, g_ {n} \ в \ operatorname {im} (\ exp). \ end {align}}}$

( G2 )

Обратите внимание, однако, что представление данного элемента группы как произведения экспонент очень далеко от уникального, поэтому очень далеко не ясно, что на самом деле хорошо определено. ${\ displaystyle \ Pi}$

Чтобы ответить на вопрос, правильно ли определено, мы соединяем каждый элемент группы с идентификатором, используя непрерывный путь. Затем можно определить вдоль пути и показать, что значение не изменяется при непрерывной деформации пути с фиксированными конечными точками. Если он односвязен, любой путь, начинающийся с идентичности и заканчивающийся на, может быть непрерывно деформирован в любой другой такой путь, показывая, что он полностью не зависит от выбора пути. Учитывая, что первоначальное определение отображения, близкого к единице, было локальным гомоморфизмом, нетрудно показать, что глобально определенное отображение также является гомоморфизмом, удовлетворяющим (G2) . ${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle \ Pi (g)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle \ Pi (g)}$${\ displaystyle \ Pi}$

Если не просто подключен, можно применить описанную выше процедуру универсального накрытия из . Позвольте быть покрывающей картой. Если случится так, что ядро содержит ядро , то перейдет к представлению исходной группы . Даже если это не так, обратите внимание, что ядро является дискретной нормальной подгруппой группы , которая, следовательно, находится в центре . Таким образом, если является неприводимым, из леммы Шура следует, что ядро будет действовать скалярными кратными единице. Таким образом, опускается к проективному представлению , то есть к тому, которое определено только по модулю скалярных кратных единицы. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p: {\ tilde {G}} \ rightarrow G}$${\ Displaystyle \ Pi: {\ тильда {G}} \ rightarrow \ OperatorName {GL} (V)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle G}$

Наглядное представление о том, как универсальная накрывающая группа содержит все такие гомотопические классы, и ее техническое определение (как множество и как группа) дается с геометрической точки зрения .

Например, когда специализируется на двусвязна SO (3, 1) ⁺ , универсальное накрытие группа , и является ли его соответствующее представление верным решает Π является проективным . ${\ displaystyle {\ text {SL}} (2, \ mathbb {C})}$

Классификация в компактном корпусе

Если G является связной компактной группой Ли, ее конечномерные представления можно разложить прямые суммы из неприводимых представлений . Неприводимые классифицируются по « теореме старшего веса ». Мы даем здесь краткое описание этой теории; подробнее см. статьи по теории представлений связной компактной группы Ли и параллельной теории, классифицирующей представления полупростых алгебр Ли .

Пусть T является максимальным тором в G . По лемме Шура неприводимые представления T одномерны. Эти представления могут быть легко классифицированы и помечены определенными «аналитически интегральными элементами» или «весами». Если является неприводимым представлением группы G , ограничение на T обычно не будет неприводимым, но оно будет разлагаться как прямая сумма неприводимых представлений группы T , помеченных соответствующими весами. (Один и тот же вес может встречаться более одного раза.) Для фиксированного можно определить один из весов как «самый высокий», и представления затем классифицируются по этому старшему весу. ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma}$

Важным аспектом теории репрезентации является связанная с ней теория персонажей . При этом для представления в G , символ является функцией ${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ displaystyle \ chi _ {G}: G \ rightarrow \ mathbb {C}}$

дано

${\ displaystyle \ chi _ {G} (g) = \ operatorname {trace} (\ Sigma (g)).}$

Два представления с одним и тем же характером оказываются изоморфными. Кроме того, формула характера Вейля дает замечательную формулу для определения характера представления с точки зрения его старшего веса. Эта формула не только дает много полезной информации о представлении, но и играет решающую роль в доказательстве теоремы о старшем весе.

Унитарные представления в гильбертовых пространствах

Пусть V комплексное гильбертово пространство, которое может быть бесконечномерным, и пусть обозначим группу унитарных операторов на V . Унитарное представление о группе Ли G на V представляет собой гомоморфизм групп со свойством , что при каждом фиксированном , карта ${\ Displaystyle U (V)}$ ${\ Displaystyle \ Pi: G \ rightarrow U (V)}$${\ displaystyle v \ in V}$

${\ displaystyle g \ mapsto \ Pi (g) v}$

является непрерывное отображение G в V .

Конечномерные унитарные представления

Если пространство Гильберт V конечномерно, существует связанное с ним представление алгебры Ли в . Если подключено, то представление о унитарном тогда и только тогда , когда кососим- самосопряженный для каждого . ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ pi (X)}$${\ displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}}$

Если это компактное , то каждое представление о на конечномерный векторном пространстве V является «унитаризуемым» , что означает , что можно выбрать скалярное произведение на V так , что каждое унитарен. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Pi (г), \, г \ в G}$

Бесконечномерные унитарные представления

Если позволить гильбертову пространству V быть бесконечномерным, изучение унитарных представлений включает ряд интересных особенностей, которые отсутствуют в конечномерном случае. Например, создание подходящего представления алгебры Ли становится технически сложной задачей. Одна ситуация, в которой представление алгебры Ли хорошо изучено, - это ситуация полупростых (или редуктивных) групп Ли, где ассоциированное представление алгебры Ли образует (g, K) -модуль . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Примеры унитарных представлений возникают в квантовой механике и квантовой теории поля, а также в анализе Фурье, как показано в следующем примере. Пусть , и пусть комплексное гильбертово пространство V быть . Определим представление как ${\ Displaystyle G = \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ psi: \ mathbb {R} \ rightarrow U (L ^ {2} (\ mathbb {R}))}$

${\ displaystyle [\ psi (a) (f)] (x) = f (xa).}$

Вот несколько важных примеров, в которых были проанализированы унитарные представления группы Ли.

• Теорема Стоуна – фон Неймана может быть понята как дающая классификацию неприводимых унитарных представлений группы Гейзенберга .
• Классификация Вигнера для представлений группы Пуанкаре играет важную концептуальную роль в квантовой теории поля, показывая, как массу и спин частиц можно понять в теоретико-групповых терминах.
• Теория представлений SL (2, R) была разработана В. Баргманном и служит прототипом для изучения унитарных представлений некомпактных полупростых групп Ли.

Проективные представления

В квантовой физике часто интересуют проективные унитарные представления группы Ли . Причина этого интереса в том, что состояния квантовой системы представлены векторами в гильбертовом пространстве, но с пониманием того, что два состояния, различающиеся константой, на самом деле являются одним и тем же физическим состоянием. Симметрии гильбертова пространства затем описываются унитарными операторами, но унитарный оператор, кратный единице, не меняет физического состояния системы. Таким образом, нас интересуют не обычные унитарные представления, то есть гомоморфизмы в унитарную группу, а скорее проективные унитарные представления, то есть гомоморфизмы в проективную унитарную группу ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbf {H}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle U (\ mathbf {H})}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle PU (\ mathbf {H}): = U (\ mathbf {H}) / \ {e ^ {i \ theta} I \}.}$

Другими словами, для проективного представления мы строим семейство унитарных операторов , в которых подразумевается, что изменение на константу с абсолютным значением 1 считается «тем же» оператором. Затем требуется, чтобы операторы удовлетворяли свойству гомоморфизма с точностью до константы : ${\ Displaystyle \ rho (g), \, \, g \ in G}$${\ displaystyle \ rho (g)}$${\ displaystyle \ rho (g)}$

${\ Displaystyle \ rho (g) \ rho (h) = e ^ {i \ theta _ {g, h}} \ rho (gh).}$

Мы уже обсуждали неприводимые проективные унитарные представления группы вращений SO (3) выше; рассмотрение проективных представлений допускает дробное вращение в дополнение к целочисленному спину.

Теорема Баргмана утверждает, что для некоторых типов групп Ли неприводимые проективные унитарные представления находятся во взаимно однозначном соответствии с обычными унитарными представлениями универсального покрытия . Важными примерами, где применима теорема Баргмана, являются SO (3) (как только что упомянуто) и группа Пуанкаре . Последний случай важен для классификации Вигнера проективных представлений группы Пуанкаре с приложениями к квантовой теории поля. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Одним из примеров , где теорема Баргманна в это не применяется является группой . Множество перемещений в позиции и импульсе на образуют проективное унитарное представление, но они не происходят из обычного представления универсального покрытия, которое есть просто само. В этом случае, чтобы получить обычное представление, нужно перейти к группе Гейзенберга , которая является одномерным центральным расширением группы . (См. Обсуждение здесь .) ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$

Коммутативный случай

Если - коммутативная группа Ли , то каждое неприводимое унитарное представление группы на комплексных векторных пространствах одномерно. (Это утверждение следует из леммы Шура и выполняется, даже если заранее не предполагается, что представления конечномерны.) Таким образом, неприводимые унитарные представления являются просто непрерывными гомоморфизмами группы единичного круга U (1). Например, если неприводимые унитарные представления имеют вид ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle G = \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ Pi (х) = [е ^ {iax}]}$ ,

за какое-то реальное число . ${\ displaystyle a}$

См. Также двойственность Понтрягина для этого случая.

Смотрите также

• Теория представлений связных компактных групп
• Представление алгебры Ли
• Проективное представление
• Теория представлений SU (2)
• Теория представлений группы Лоренца.
• Теория представлений алгебр Хопфа
• Присоединенное представление группы Ли
• Список тем группы Ли
• Симметрия в квантовой механике
• D-матрица Вигнера

Примечания

Рекомендации

• Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN   978-0-387-97495-8 . Руководство по ремонту   1153249 .
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN   978-1461471158 .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN   978-3319134666 .
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли после введения , Прогресс в математике, 140 (2-е изд.), Бостон: Биркхойзер. .
• Россманн, Вульф (2001), Группы Ли: Введение в линейные группы , Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford University Press, ISBN   978-0-19-859683-7 . Переиздание 2003 года исправляет несколько типографских ошибок.
• Вайнберг, С. (2002) [1995], Основы , Квантовая теория полей, 1 , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN   0-521-55001-7