Нестандартное исчисление - Nonstandard calculus

В математике , нестандартное исчисление является современным применением инфинитезималей , в смысле нестандартного анализа , для бесконечно малого исчисления . Это обеспечивает строгое обоснование некоторых аргументов в исчислении, которые ранее считались просто эвристическими .

Нестрогие вычисления с бесконечно малыми широко использовались до того, как Карл Вейерштрасс попытался заменить их (ε, δ) -определением предела, начиная с 1870-х годов. (См. Историю исчисления .) В течение почти ста лет после этого математики, такие как Ричард Курант, считали бесконечно малые величины наивными, расплывчатыми или бессмысленными.

Вопреки этим взглядам, Абрахам Робинсон показал в 1960 году, что бесконечно малые числа точны, ясны и значимы, основываясь на работе Эдвина Хьюитта и Ежи Лоса . По словам Говарда Кейслера , «Робинсон решил проблему трехсотлетней давности, дав точную трактовку бесконечно малых величин. Достижение Робинсона, вероятно, будет считаться одним из главных математических достижений двадцатого века».

История

История нестандартного исчисления началась с использования бесконечно малых величин, которые в исчислении называются бесконечно малыми . Использование бесконечно малых чисел можно найти в основах исчисления, независимо разработанных Готфридом Лейбницем и Исааком Ньютоном, начиная с 1660-х годов. Джон Уоллис усовершенствовал более ранние методы неделимых частей Кавальери и других, используя бесконечно малую величину, которую он обозначил в вычислениях площади, подготовив почву для интегрального исчисления . Они опирались на работы таких математиков, как Пьер де Ферма , Исаак Барроу и Рене Декарт . ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ infty}}}$

В раннем исчислении использование бесконечно малых величин подвергалось критике со стороны ряда авторов, в первую очередь Мишеля Ролля и епископа Беркли в его книге «Аналитик» .

Несколько математиков, в том числе Маклорен и Даламбер , выступали за использование пределов. Огюстен Луи Коши разработал широкий спектр основополагающих подходов, включая определение непрерывности в терминах бесконечно малых и (несколько неточный) прототип аргумента ε, δ при работе с дифференцированием. Карл Вейерштрасс формализовал понятие предела в контексте (действительной) системы счисления без бесконечно малых. После работ Вейерштрасса в конечном итоге стало обычным делом основывать исчисления на аргументах ε, δ вместо бесконечно малых.

Этот подход, формализованный Вейерштрассом, стал известен как стандартное исчисление. После того, как в течение многих лет бесконечно малый подход к исчислению вышел из употребления, кроме вводного педагогического инструмента, Абрахам Робинсон в 1960-х годах наконец дал строгое обоснование использованию бесконечно малых величин . Подход Робинсона называется нестандартным анализом, чтобы отличить его от стандартного использования пределов. В этом подходе использовались технические средства математической логики для создания теории гиперреалистических чисел, которая интерпретирует бесконечно малые числа таким образом, чтобы допускать развитие обычных правил исчисления в стиле Лейбница. Альтернативный подход, разработанный Эдвардом Нельсоном , находит бесконечно малые величины на самой обычной действительной линии и включает в себя модификацию базового параметра путем расширения ZFC посредством введения нового унарного предиката «стандарт».

Мотивация

Чтобы вычислить производную функции в точке x , оба подхода согласуются с алгебраическими манипуляциями: ${\ displaystyle f '}$${\ Displaystyle у = е (х) = х ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = {\ frac {(x + \ Delta x) ^ {2} -x ^ {2}} {\ Delta x}} = {\ frac { 2x \ Delta x + (\ Delta x) ^ {2}} {\ Delta x}} = 2x + \ Delta x \ приблизительно 2x}$

Это становится вычислением производных с использованием гиперреалов, если интерпретируется как бесконечно малое, а символ « » является отношением «бесконечно близко к». ${\ displaystyle \ Delta x}$${\ Displaystyle \ приблизительно}$

Чтобы сделать f ' функцией с действительным знаком, последний член не используется. В стандартном подходе, использующем только действительные числа, это делается путем принятия предела, стремящегося к нулю. В гиперреальном подходе величина считается бесконечно малой, ненулевым числом, которое ближе к 0, чем к любому ненулевому действительному значению. Манипуляции, показанные выше, затем показывают, что это бесконечно близко к 2 x , поэтому производная f в x равна 2 x . ${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta y / \ Delta x}$

Отказ от "ошибки" достигается применением стандартной функции детали . Отказ от бесконечно малых ошибок исторически считался парадоксальным некоторыми писателями, в первую очередь Джорджем Беркли .

Когда существует гиперреальная система счисления (бесконечно обогащенный континуум), можно успешно интегрировать большую часть технических трудностей на фундаментальном уровне. Таким образом, эпсилон-дельта-методы, которые, по мнению некоторых, являются сутью анализа, могут быть реализованы раз и навсегда на базовом уровне, и учащимся не нужно «одеваться для выполнения многокванторных логических трюков под предлогом того, что их учат бесконечно малым. исчисление ", если процитировать недавнее исследование. Более конкретно, основные концепции исчисления, такие как непрерывность, производная и интеграл, могут быть определены с использованием бесконечно малых без ссылки на эпсилон, дельта (см. Следующий раздел).

Учебник Кейслера

Элементарное исчисление Кейслера : бесконечно малый подход определяет непрерывность на странице 125 в терминах бесконечно малых, исключая эпсилон, дельта-методы. Производная определена на странице 45 с использованием бесконечно малых, а не эпсилон-дельта-подхода. Интеграл определен на стр. 183 в терминах бесконечно малых. Эпсилон, определения дельты представлены на странице 282.

Определение производной

В hyperreals могут быть построены в рамках теории множеств Цермело-Френкеля , стандартный аксиоматизация теории множеств используется в другом месте в математике. Чтобы дать интуитивное представление о гиперреальном подходе, обратите внимание, что, наивно говоря, нестандартный анализ постулирует существование положительных чисел ε, которые бесконечно малы , что означает, что ε меньше любого стандартного положительного действительного числа, но больше нуля. Каждое действительное число x окружено бесконечно малым «облаком» гиперреальных чисел, бесконечно близких к нему. Чтобы определить производную f при стандартном действительном числе x в этом подходе, больше не нужен бесконечный ограничивающий процесс, как в стандартном исчислении. Вместо этого устанавливается

${\ displaystyle f '(x) = \ mathrm {st} \ left ({\ frac {f ^ {*} (x + \ varepsilon) -f ^ {*} (x)} {\ varepsilon}} \ right), }$

где st - стандартная функция части , дающая действительное число, бесконечно близкое к гиперреальному аргументу st , и является естественным расширением на гиперреальные числа. ${\ displaystyle f ^ {*}}$${\ displaystyle f}$

Непрерывность

Вещественная функция f непрерывна при стандартном действительном числе x, если для каждого гиперреалистического x ', бесконечно близкого к x , значение f ( x' ) также бесконечно близко к f ( x ). Это отражает определение непрерывности, данное Коши в его учебнике 1821 года Cours d'Analyse , стр. 34.

Здесь, чтобы быть точным, f пришлось бы заменить его естественным гиперреальным расширением, обычно обозначаемым f ^* (см. Обсуждение принципа переноса в основной статье при нестандартном анализе ).

Используя обозначения для отношения бесконечной близости, как указано выше, определение может быть расширено на произвольные (стандартные или нестандартные) точки следующим образом: ${\ Displaystyle \ приблизительно}$

Функция F является микронепрерывна по х , если всякий раз , когда один имеет${\ Displaystyle х '\ приблизительно х}$${\ displaystyle f ^ {*} (x ') \ приблизительно f ^ {*} (x)}$

Здесь предполагается, что точка x 'находится в области определения (естественного продолжения) f .

Вышеупомянутое требует меньшего количества кванторов, чем ( ε ,  δ ) -определение, известное из стандартного элементарного исчисления:

f непрерывна в точке x, если для любого ε  > 0 существует такое δ  > 0, что для любого x ' , если | х  -  х '  | <  δ , | f ( x ) -  f ( x '  ) | <  ε .

Единая преемственность

Функция F на интервале I является равномерно непрерывным , если его естественное продолжение F * в I * обладает следующим свойством (см Кейслера, Основы исчисления бесконечно малых ('07), стр . 45):

для каждой пары гиперреалов x и y в I *, если тогда . ${\ Displaystyle х \ приблизительно у}$${\ Displaystyle е ^ {*} (х) \ приблизительно е ^ {*} (у)}$

В терминах микропрерывности, определенной в предыдущем разделе, это можно сформулировать следующим образом: действительная функция равномерно непрерывна, если ее естественное продолжение f * микропрерывно в каждой точке области определения f *.

Это определение имеет уменьшенную кванторную сложность по сравнению со стандартным (ε, δ) -определением . А именно, эпсилон-дельта-определение равномерной непрерывности требует четырех кванторов, в то время как бесконечно малое определение требует только двух кванторов. Оно имеет ту же кванторную сложность, что и определение равномерной непрерывности в терминах последовательностей в стандартном исчислении, которое, однако, не выражается на языке первого порядка действительных чисел.

Гиперреальное определение можно проиллюстрировать следующими тремя примерами.

Пример 1: функция f равномерно непрерывна на полуоткрытом интервале (0,1], если и только если ее естественное продолжение f * микропрерывно (в смысле формулы выше) на каждом положительном бесконечно малом, в дополнение к непрерывности в стандартных точках отрезка.

Пример 2: функция f равномерно непрерывна на полуоткрытом интервале [0, ∞) тогда и только тогда, когда она непрерывна в стандартных точках интервала, и, кроме того, естественное продолжение f * является микропрерывным в каждой положительной бесконечной гиперреальная точка.

Пример 3: аналогично, нарушение равномерной непрерывности для функции возведения в квадрат

${\ displaystyle x ^ {2}}$

происходит из-за отсутствия микропрерывности в одной бесконечной гиперреальной точке, см. ниже.

В отношении сложности кванторов Кевин Хьюстон сделал следующие замечания :

Количество кванторов в математическом утверждении дает приблизительную меру сложности утверждения. Утверждения, включающие три или более квантификаторов, могут быть трудными для понимания. Это основная причина, по которой трудно понять строгие определения предела, сходимости, непрерывности и дифференцируемости в анализе, поскольку они имеют много кванторов. Фактически, именно чередование и является причиной сложности.${\ displaystyle \ forall}$${\ Displaystyle \ существует}$

Андреас Бласс писал следующее:

Часто ... нестандартное определение понятия проще, чем стандартное определение (интуитивно проще и проще в техническом смысле, например, кванторы над более низкими типами или меньшее количество чередований кванторов).

Компактность

Множество A компактно тогда и только тогда, когда его естественное расширение A * обладает следующим свойством: каждая точка в A * бесконечно близка к точке A. Таким образом, открытый интервал (0,1) не компактен, поскольку его естественное расширение содержит положительные бесконечно малые числа, которые не бесконечно близки к любому положительному действительному числу.

Теорема Гейне – Кантора

Тот факт, что непрерывная функция на компактном интервале I обязательно равномерно непрерывна ( теорема Гейне – Кантора ), допускает краткое гиперреалистическое доказательство. Пусть х , у будут hyperreals в естественном продолжении I * от I . Так как я компактно, как й ( х ) и й ( у ) принадлежат к I . Если бы x и y были бесконечно близки, то по неравенству треугольника у них была бы одна и та же стандартная часть

${\ displaystyle c = \ operatorname {st} (x) = \ operatorname {st} (y).}$

Поскольку функция считается непрерывной в точке c,

${\ Displaystyle е (х) \ приблизительно е (с) \ приблизительно е (у),}$

и поэтому f ( x ) и f ( y ) бесконечно близки, что доказывает равномерную непрерывность f .

Почему функция возведения в квадрат не является равномерно непрерывной?

Пусть f ( x ) = x ² определено на . Позвольте быть бесконечным гиперреальным. Гиперреальное число бесконечно близко к N . Между тем разница ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle N \ in \ mathbb {R} ^ {*}}$${\ Displaystyle N + {\ tfrac {1} {N}}}$

${\ displaystyle f (N + {\ tfrac {1} {N}}) - f (N) = N ^ {2} +2 + {\ tfrac {1} {N ^ {2}}} - N ^ {2 } = 2 + {\ tfrac {1} {N ^ {2}}}}$

не бесконечно мал. Таким образом, е * не может быть микронепрерывной в гипердействительной точке N . Таким образом, функция возведения в квадрат не является равномерно непрерывной в соответствии с определением равномерной непрерывности выше.

Аналогичное доказательство может быть дано в стандартных условиях ( Фитцпатрик, 2006 , пример 3.15).

Пример: функция Дирихле

Рассмотрим функцию Дирихле

${\ displaystyle I_ {Q} (x): = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x {\ text {isrational}}, \\ 0 & {\ text {if}} x {\ text {иррационально}}. \ end {cases}}}$

Хорошо известно, что согласно стандартному определению непрерывности функция разрывна в каждой точке. Давайте проверим это в терминах гиперреального определения непрерывности, приведенного выше, например, покажем, что функция Дирихле не является непрерывной в π. Рассмотрим приближение цепной дроби a _n числа π. Пусть теперь индекс n - бесконечное сверхъестественное число. По принципу переноса естественное продолжение функции Дирихле принимает значение 1 при a _n . Отметим, что гиперрациональная точка a _n бесконечно близка к π. Таким образом, естественное продолжение функции Дирихле принимает разные значения (0 и 1) в этих двух бесконечно близких точках, и поэтому функция Дирихле не является непрерывной в  π .

Предел

Хотя суть подхода Робинсона заключается в том, что можно обойтись без подхода, использующего несколько кванторов, понятие предела может быть легко восстановлено в терминах стандартной функции части st , а именно

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к а} е (х) = L}$

тогда и только тогда, когда разность x  -  a бесконечно мала, разность f ( x ) -  L также бесконечно мала или в формулах:

если st ( x ) = a,   то st ( f ( x )) = L,

ср. (ε, δ) -определение предела .

Предел последовательности

Дана последовательность действительных чисел , если L - предел последовательности и ${\ displaystyle \ {x_ {n} \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}$${\ Displaystyle L \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle L = \ lim _ {п \ к \ infty} x_ {n}}$

если для каждого бесконечного сверхъестественного n , st ( x _n ) = L (здесь принцип расширения используется для определения x _n для каждого гиперинтегрального числа n ).

В этом определении нет чередований кванторов . С другой стороны, в определении стандартного (ε, δ) -стиля есть чередования кванторов:

${\ displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ Longleftrightarrow \ forall \ varepsilon> 0 \;, \ существует N \ in \ mathbb {N} \;, \ forall n \ in \ mathbb {N}: n> N \ rightarrow | x_ {n} -L | <\ varepsilon.}$

Теорема об экстремальном значении

Чтобы показать, что вещественная непрерывная функция f на [0,1] имеет максимум, пусть N бесконечное гиперинтегральное число . Интервал [0, 1] имеет естественное гиперреальное расширение. Функция f также естественным образом распространяется на гиперреальные числа между 0 и 1. Рассмотрим разбиение гиперреального интервала [0,1] на N подинтервалов равной бесконечно малой длины 1 / N с точками разбиения x _i  = i  / N при i "пробегах. "от 0 до N . В стандартной настройке (когда N конечно) точка с максимальным значением f всегда может быть выбрана из N +1 точек x _i по индукции. Следовательно, по принципу переноса существует гиперинтегральное число i ₀ такое, что 0 ≤ i ₀  ≤ N и для всех i  = 0,…,  N (альтернативное объяснение состоит в том, что каждое гиперконечное множество допускает максимум). Рассмотрим реальную точку ${\ displaystyle f (x_ {i_ {0}}) \ geq f (x_ {i})}$

${\ displaystyle c = {\ rm {st}} (x_ {i_ {0}})}$

где st - стандартная функция детали . Произвольная действительная точка x лежит в подходящем подынтервале разбиения, а именно так, что st ( x _i ) = x . Применяя ст к неравенству , . В силу непрерывности F , ${\ Displaystyle х \ в [х_ {я}, х_ {я + 1}]}$${\ displaystyle f (x_ {i_ {0}}) \ geq f (x_ {i})}$${\ Displaystyle {\ rm {st}} (е (x_ {i_ {0}})) \ geq {\ rm {st}} (f (x_ {i}))}$

${\ Displaystyle {\ rm {st}} (е (x_ {i_ {0}})) = f ({\ rm {st}} (x_ {i_ {0}})) = f (c)}$.

Следовательно, f ( c ) ≥ f ( x ) для всех x , что доказывает, что c является максимумом действительной функции f . См. Кейслер (1986 , стр. 164) . Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFKeisler1986 ( справка )

Теорема о промежуточном значении

В качестве еще одной иллюстрации силы подхода Робинсона краткое доказательство теоремы о промежуточном значении ( теорема Больцано) с использованием бесконечно малых значений выполняется следующим образом.

Пусть f - непрерывная функция на [ a , b ] такая, что f ( a ) <0, а f ( b )> 0. Тогда существует точка c в [ a , b ] такая, что f ( c ) = 0.

Доказательство проводится следующим образом. Пусть N - бесконечное гиперинтегральное число . Рассмотрим разбиение [ а , Ь ] на N интервалов равной длины, с точки разбиения х _I , как я работает от 0 до N . Рассмотрим набор индексов I такой, что f ( x _i )> 0. Пусть i ₀ - наименьший элемент в I (такой элемент существует по принципу переноса , поскольку I - гиперконечное множество ). Тогда действительное число

- искомый нуль функции f . Такое доказательство снижает кванторную сложность стандартного доказательства IVT.

Основные теоремы

Если f - функция с действительными значениями, определенная на интервале [ a , b ], то оператор переноса, примененный к f , обозначенный * f , является внутренней гиперреалистической функцией, определенной на гиперреальном интервале [* a , * b ] .

Теорема : Пусть f - вещественная функция, определенная на интервале [ a , b ]. Тогда f дифференцируема при a <x <b тогда и только тогда, когда для любого ненулевого бесконечно малого h значение

${\ displaystyle \ Delta _ {h} f: = \ operatorname {st} {\ frac {[{} ^ {*} \! f] (x + h) - [{} ^ {*} \! f] ( x)} {h}}}$

не зависит от h . В этом случае обычное значение - это производная f в точке x .

Этот факт следует из принципа переноса нестандартного анализа и перелива .

Обратите внимание, что аналогичный результат справедлив для дифференцируемости в конечных точках a , b при условии, что знак бесконечно малого h соответствующим образом ограничен.

Для второй теоремы интеграл Римана определяется как предел, если он существует, направленного семейства сумм Римана ; это суммы вида

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f (\ xi _ {k}) (x_ {k + 1} -x_ {k})}$

где

${\ displaystyle a = x_ {0} \ leq \ xi _ {0} \ leq x_ {1} \ leq \ ldots x_ {n-1} \ leq \ xi _ {n-1} \ leq x_ {n} = б.}$

Такая последовательность значений называется разбиением или сеткой и

${\ displaystyle \ sup _ {k} (x_ {k + 1} -x_ {k})}$

ширина сетки. В определении интеграла Римана предел сумм Римана берется при стремлении ширины сетки к 0.

Теорема : Пусть f - вещественная функция, определенная на интервале [ a , b ]. Тогда f интегрируема по Риману на [ a , b ] тогда и только тогда, когда для каждой внутренней сетки бесконечно малой ширины величина

${\ Displaystyle S_ {M} = \ OperatorName {st} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} [* f] (\ xi _ {k}) (x_ {k + 1} -x_ {k })}$

не зависит от сетки. В этом случае обычным значением является интеграл Римана от f по [ a , b ].

Приложения

Одно из непосредственных приложений - это расширение стандартных определений дифференцирования и интегрирования на внутренние функции на интервалах гиперреальных чисел.

Внутренняя гиперреалистическая функция f на [ a, b ] S -дифференцируема в точке x , если

${\ displaystyle \ Delta _ {h} f = \ operatorname {st} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}$

существует и не зависит от бесконечно малого h . Значение представляет собой производную S в точке x .

Теорема : Пусть F является S -дифференцируема в каждой точке [ а, Ь ] , где Ь - ограниченный гиперреальный. Предположим, кроме того, что

${\ Displaystyle | е '(х) | \ Leq M \ quad a \ leq x \ leq b.}$

Тогда для некоторого бесконечно малого ε

${\ Displaystyle | f (b) -f (a) | \ leq M (ba) + \ epsilon.}$

Чтобы доказать это, пусть N - нестандартное натуральное число. Разделите интервал [ a , b ] на N подинтервалов, поместив N - 1 промежуточных точек, расположенных на равном расстоянии друг от друга:

${\ displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots <x_ {N-1} <x_ {N} = b}$

потом

${\ Displaystyle | е (б) -f (а) | \ leq \ сумма _ {к = 1} ^ {N-1} | е (х_ {к + 1}) - е (х_ {к}) | \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} \ left \ {| f '(x_ {k}) | + \ epsilon _ {k} \ right \} | x_ {k + 1} -x_ { k} |.}$

Теперь максимум любого внутреннего набора бесконечно малых бесконечно мал. Таким образом, во всех ε _k доминирует бесконечно малое ε. Следовательно,

${\ Displaystyle | е (б) -f (а) | \ leq \ сумма _ {к = 1} ^ {N-1} (M + \ epsilon) (x_ {k + 1} -x_ {k}) = M (ба) + \ эпсилон (ба)}$

откуда следует результат.

Смотрите также

• Адекватность
• Критика нестандартного анализа
• Использование архимедом бесконечно малых
• Элементарное исчисление: бесконечно малый подход
• Неклассический анализ

Заметки

Рекомендации

• Фитцпатрик, Патрик (2006), Advanced Calculus , Brooks / Cole
• Х. Джером Кейслер: Элементарное исчисление: подход, использующий бесконечно малые. Первое издание 1976 г .; 2-е издание 1986 г. (Эта книга сейчас больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который сделал доступным 2-е издание в формате .pdf, доступное для загрузки по адресу http://www.math.wisc.edu/ ~ keisler / calc.html .)
• Х. Джером Кейслер: «Основы исчисления бесконечно малых», доступно для загрузки по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html (10 января 2007 г.)
• Бласс, Андреас (1978), "Обзор: Мартин Дэвис, Прикладной нестандартный анализ, и К.Д. Строян и В.А.Дж. Люксембург, Введение в теорию бесконечно малых величин, и Х. Джером Кейслер, Основы исчисления бесконечно малых" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 84 (1): 34–41, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1978-14401-2
• Барон, Маргарет Э .: Истоки исчисления бесконечно малых. Pergamon Press, Оксфорд-Эдинбург-Нью-Йорк, 1969. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1987. (Новое издание книги Барона появилось в 2004 году)
• "Исчисление бесконечно малых" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

• Онлайн-версия "Элементарного исчисления: подход, использующий бесконечно малые числа"
• Текст онлайн-исчисления с использованием бесконечно малых