Функция стандартной детали - Standard part function

В нестандартном анализе , то стандартная функция части является функцией от ограниченного (конечного) чисел гипердействительных до действительных чисел. Вкратце, стандартная функция части «округляет» конечное гиперреальное до ближайшего действительного. Он ассоциируется с каждым таким Гипердействительным , единственными реальным бесконечно близко к нему, то есть является бесконечно малым . Таким образом , это математическая реализация исторической концепции adequality введенного Пьер де Ферма , а также Лейбниц «s трансцендентальной закон однородности . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle x-x_ {0}}$

Стандартная функция части была впервые определена Абрахамом Робинсоном, который использовал обозначение стандартной части гиперреального (см. Робинсон 1974). Эта концепция играет ключевую роль в определении таких понятий исчисления, как непрерывность, производная и интеграл в нестандартном анализе . Последняя теория представляет собой строгую формализацию вычислений с бесконечно малыми величинами . Стандартная часть x иногда называется его тенью . ${\ displaystyle {} ^ {\ circ} x}$ ${\ displaystyle x}$

Определение

Стандартная функция части «округляет» конечное гиперреальное число до ближайшего действительного числа. «Микроскоп бесконечно малых» используется для просмотра бесконечно малых окрестностей стандартного действительного объекта.

Нестандартный анализ имеет дело в первую очередь с парой , где гиперреальные числа являются упорядоченным расширением поля действительных чисел и содержат бесконечно малые числа в дополнение к действительным числам. В гиперреальной строке каждое действительное число имеет набор чисел (называемый монадой или ореолом ) гиперреальных чисел, бесконечно близких к нему. Стандартное функциональные части ассоциируют с конечным гиперреальным х , единственным стандартным вещественным числом х ₀ , что бесконечно близко к нему. Отношения символически выражаются написанием ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ substeq {} ^ {*} \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ operatorname {st} (x) = x_ {0}.}

Стандартная часть любой бесконечно малой равна 0. Таким образом, если N бесконечное сверхъестественное , то 1 / N бесконечно малая и st (1 / N ) = 0.

Если гиперреалистическое представление представлено последовательностью Коши в конструкции сверхстепени , то ${\ displaystyle u}$ ${\ Displaystyle \ langle и_ {п}: п \ в \ mathbb {N} \ rangle}$

{\ displaystyle \ operatorname {st} (u) = \ lim _ {n \ to \ infty} u_ {n}.}

В более общем смысле, каждое конечное число определяет разрез Дедекинда на подмножестве (через общий порядок ), а соответствующее действительное число является стандартной частью u . ${\ Displaystyle и \ в {} ^ {*} \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ substeq {} ^ {*} \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle {} ^ {\ ast} \ mathbb {R}}$

Не внутренний

Стандартная функция детали "st" не определяется внутренним набором . Есть несколько способов объяснить это. Возможно, самым простым является то, что его область L, которая представляет собой набор ограниченных (т. Е. Конечных) гиперреалов, не является внутренним множеством. А именно, поскольку L ограничен (например, любым бесконечным сверхъестественным), L должен был бы иметь наименьшую верхнюю границу, если бы L был внутренним, но L не имеет наименьшей верхней границы. В качестве альтернативы диапазон «st» не является внутренним; фактически каждое внутреннее множество в этом является подмножеством обязательно конечно , см. (Goldblatt, 1998). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ substeq {} ^ {*} \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle {} ^ {*} \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Приложения

Все традиционные понятия исчисления могут быть выражены в терминах стандартной функции части следующим образом.

Производная

Стандартная функция части используется для определения производной функции f . Если f - действительная функция, а h бесконечно малая, и если f ′ ( x ) существует, то

{\ displaystyle f '(x) = \ operatorname {st} \ left ({\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} \ right).}

В качестве альтернативы, если взять бесконечно малое приращение и вычислить соответствующее . Один составляет соотношение . Затем производная определяется как стандартная часть отношения: ${\ Displaystyle у = е (х)}$ ${\ displaystyle \ Delta x}$ ${\ Displaystyle \ Delta y = f (x + \ Delta x) -f (x)}$ ${\ textstyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ operatorname {st} \ left ({\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} \ right).}

интеграл

Для данной функции on интеграл определяется как стандартная часть бесконечной суммы Римана, когда значение берется бесконечно малым, используя сверхконечное разбиение интервала [ a , b ]. ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle [а, б]}$ ${\ textstyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$ ${\ Displaystyle S (е, а, b, \ Delta x)}$ ${\ displaystyle \ Delta x}$

Предел

Для данной последовательности ее предел определяется где - бесконечный индекс. Здесь говорят, что предел существует, если стандартная часть одинакова, независимо от выбранного бесконечного индекса. ${\ Displaystyle (и_ {п})}$ ${\ textstyle \ lim _ {n \ to \ infty} u_ {n} = \ operatorname {st} (u_ {H})}$ ${\ Displaystyle H \ in {} ^ {*} \ mathbb {N} \ setminus \ mathbb {N}}$

Непрерывность

Настоящая функция непрерывна в вещественной точке , если и только если композиция является постоянной на гало из . См. Более подробную информацию в разделе « Микропрерывность» . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ operatorname {st} \ circ f}$ ${\ displaystyle x}$

Languages

In other projects

Функция стандартной детали - Standard part function

СОДЕРЖАНИЕ