( ε , δ ) -определение предела -(ε, δ)-definition of limit

В исчислении , то ( ε ,  δ ) -определение предела ( « эпсилон - дельта - определение предела») является формализация понятия предела . Эта концепция принадлежит Огюстену-Луи Коши , который никогда не давал формального ( ε , δ ) определения предела в своем Cours d'Analyse , но иногда использовал аргументы ε , δ в доказательствах. Впервые это было формальное определение Бернарда Больцано в 1817 году, а окончательное современное утверждение в конечном итоге было дано Карлом Вейерштрассом . Это придает строгость следующему неформальному понятию: зависимое выражение f ( x ) приближается к значению L, поскольку переменная x приближается к значению c, если f ( x ) можно сделать как можно ближе к L , взяв x достаточно близко к c .

История

Хотя греки исследовали ограничивающие процессы, такие как вавилонский метод , у них, вероятно, не было концепции, аналогичной современным пределам. Потребность в понятии предела возникла в 1600 - х годах, когда Пьер де Ферма попытался найти наклон в касательной линии в точке к графику функции , такие как . Используя ненулевое, но почти нулевое количество , Ферма произвел следующий расчет: ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {slope}} & = {\ frac {f (x + E) -f (x)} {E}} \\ & = {\ frac {(x + E ) ^ {2} -x ^ {2}} {E}} \\ & = {\ frac {x ^ {2} + 2xE + E ^ {2} -x ^ {2}} {E}} \\ & = {\ frac {2xE + E ^ {2}} {E}} = 2x + E = 2x. \ end {align}}}$

Ключ к вышеприведенному вычислению заключается в том, что, поскольку оно не равно нулю, можно разделить на , но поскольку оно близко к 0, по существу . Такие величины, как называются бесконечно малыми . Проблема с этим вычислением заключается в том, что математики той эпохи не могли строго определить величину со свойствами , даже несмотря на то, что обычной практикой было «пренебрегать» бесконечно малыми величинами более высокой степени, и это, казалось, давало правильные результаты. ${\ displaystyle E}$${\ Displaystyle f (x + E) -f (x)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle 2x + E}$${\ displaystyle 2x}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

Эта проблема снова возникла позже, в 1600-х годах, в центре развития математического анализа , где вычисления, такие как вычисления Ферма, важны для вычисления производных . Исаак Ньютон первым разработал исчисление с помощью бесконечно малой величины, называемой потоком . Он развил их в связи с идеей «бесконечно малого момента во времени ...» Однако позже Ньютон отверг флюксии в пользу теории соотношений, близкой к современному определению предела. Более того, Ньютон знал, что предел отношения исчезающих величин сам по себе не был отношением, как он писал: ${\ displaystyle \ varepsilon {\ text {-}} \ delta}$

Эти конечные соотношения ... на самом деле не являются отношениями конечных количеств, а являются пределами ... к которым они могут приближаться так близко, что их разница меньше любой заданной величины ...

Кроме того, Ньютон иногда объяснял пределы в терминах, подобных определению эпсилон-дельта. Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал собственное бесконечно малое и попытался дать ему прочную основу, но некоторые математики и философы все равно встретили его с беспокойством.

Огюстен-Луи Коши дал определение предела в терминах более примитивного понятия, которое он назвал переменной величиной . Он никогда не давал определения предела эпсилон-дельта (Grabiner 1981). Некоторые доказательства Коши содержат указания на эпсилон-дельта-метод. Можно ли считать его основополагающий подход предвестником подхода Вейерштрасса - предмет научных споров. Грабинер считает, что это так, в то время как Шубринг (2005) с этим не согласен. Накане заключает, что Коши и Вейерштрасс дали одно и то же название разным понятиям предела.

В конце концов, Вейерштрассу и Больцано приписывают обеспечение строгой основы для исчисления в форме современного определения предела. Затем необходимость ссылки на бесконечно малую была устранена, и вычисление Ферма превратилось в вычисление следующего предела: ${\ displaystyle \ varepsilon {\ text {-}} \ delta}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}.}$

Это не означает , что предельное определение было свободно от проблем , как, несмотря на то, что отпала необходимость для инфинитезималей, это действительно требует строительство действительных чисел по Дедекинд . Это также не означает, что бесконечно малым нет места в современной математике, поскольку более поздние математики смогли строго создавать бесконечно малые величины как часть гиперреальных или сюрреалистических систем счисления. Более того, с этими величинами можно строго разрабатывать исчисления, и они имеют другие математические применения.

Неофициальное заявление

Жизнеспособное неформальное (то есть интуитивное или предварительное) определение состоит в том, что " функция f приближается к пределу L около a (символически ), если ее можно сделать f ( x ) сколь угодно близкой к L , требуя, чтобы x был достаточно близок к, но не равно, а . " ${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к а} е (х) = L}$

Сказать, что два объекта близки (например, f ( x ) и L или x и a ), означает, что разница (или расстояние ) между ними мала. При F ( х ) , Ь , х и являются действительными числами , то разница / расстояние между двумя числами является абсолютной величиной от разности двух. Таким образом, утверждение f ( x ) близко к L означает, что | f ( x ) - L | маленький. Сказать, что x и a близки, означает, что | х - а | маленький.

Утверждение, что f ( x ) может быть сделано сколь угодно близким к L , означает, что для всех ненулевых расстояний ε расстояние между f ( x ) и L может быть меньше ε .

Утверждение, что f ( x ) может быть сделано сколь угодно близким к L , требуя, чтобы x был достаточно близок к a , но не равен ему , означает, что для любого ненулевого расстояния ε существует некоторое ненулевое расстояние δ такое, что если расстояние между x и a меньше δ, тогда расстояние между f ( x ) и L меньше ε .

Неформальный / интуитивный аспект, который следует усвоить, заключается в том, что определение требует следующего внутреннего разговора (который обычно перефразируется таким языком, как «ваш враг / противник атакует вас с помощью ε , а вы защищаете / защищаете себя с помощью δ »): Один из них снабжен любого вызова е > 0 при заданном F , и L . Нужно ответить таким δ > 0 , что 0 <| х - а | < δ влечет | f ( x ) - L | < ε . Если можно дать ответ на любой вызов, значит, предел существует.

Точное заявление и связанные заявления

Точная инструкция для функций с действительным знаком

Определение предела функции выглядит следующим образом : ${\ Displaystyle (\ varepsilon, \ delta)}$

Пусть будет функция вещественная , определенная на множестве из действительных чисел . Пусть быть предельную точку в и пусть действительное число. потом ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle L}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к с} е (х) = L}$

если для каждого существует такое, что для всех , если , то . ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle x \ in D}$${\ displaystyle 0 <| xc | <\ delta}$${\ Displaystyle | е (х) -L | <\ varepsilon}$

Символически:

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к с} е (х) = L \ iff \ left (\ forall \ varepsilon> 0, \, \ exists \ \ delta> 0, \, \ forall x \ in D, \ , 0 <| xc | <\ delta \ \ Rightarrow \ | f (x) -L | <\ varepsilon \ right)}$

Если или , то условие, которое является предельной точкой, можно заменить более простым условием, что c принадлежит D , поскольку замкнутые вещественные интервалы и вся вещественная прямая являются идеальными множествами . ${\ displaystyle D = [a, b]}$${\ Displaystyle D = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle c}$

Точная инструкция для функций между метрическими пространствами

Определение может быть обобщено на функции, отображающие метрические пространства . Эти пространства имеют функцию, называемую метрикой, которая берет две точки в пространстве и возвращает действительное число, которое представляет расстояние между двумя точками. Обобщенное определение выглядит следующим образом:

Предположим, что определено на подмножестве метрического пространства с метрикой и отображается в метрическое пространство с метрикой . Позвольте быть предельной точкой и пусть быть точкой . потом ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle d_ {X} (х, у)}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle d_ {Y} (х, у)}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle Y}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к с} е (х) = L}$

если для каждого существует такое, что для всех , если , то . ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle x \ in D}$${\ Displaystyle 0 <d_ {X} (х, с) <\ дельта}$${\ Displaystyle d_ {Y} (е (х), L) <\ varepsilon}$

Поскольку это метрика действительных чисел, можно показать, что это определение обобщает первое определение для вещественных функций. ${\ Displaystyle д (х, у) = | ху |}$

Отрицание точного утверждения

Логическое отрицание из определения выглядит следующим образом :

Предположим, что определено на подмножестве метрического пространства с метрикой и отображается в метрическое пространство с метрикой . Позвольте быть предельной точкой и пусть быть точкой . потом ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle d_ {X} (х, у)}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle d_ {Y} (х, у)}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle Y}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к с} е (х) \ neq L}$

если существует такое, что для всех существует такое, что и . Тогда не существует , если для всех , . ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle x \ in D}$${\ Displaystyle 0 <d_ {X} (х, с) <\ дельта}$${\ Displaystyle d_ {Y} (е (х), L)> \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к с} е (х)}$${\ displaystyle L \ in Y}$${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к с} е (х) \ neq L}$

Для отрицания действительной функции, определенной на действительных числах, просто установите . ${\ Displaystyle d_ {Y} (x, y) = d_ {X} (x, y) = | xy |}$

Точная формулировка пределов на бесконечности

Точная формулировка пределов на бесконечности выглядит следующим образом:

Предположим, что это вещественное число, которое определено на подмножестве действительных чисел, которое содержит сколь угодно большие значения. потом ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle D}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к \ infty} е (х) = L}$

если для каждого существует действительное число такое, что для всех , если тогда . ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle N> 0}$${\ displaystyle x \ in D}$${\ displaystyle x> N}$${\ Displaystyle | е (х) -L | <\ varepsilon}$

Также возможно дать определение в общих метрических пространствах.

Односторонние ограничения

Стандартное определение не позволяет определять пределы в точках разрыва. Для этого полезны односторонние ограничения . Предел «справа» формально определяется как ${\ Displaystyle (\ varepsilon, \ delta)}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к с ^ {+}} е (х) \ iff \ forall \ varepsilon> 0, \, \ exists \ delta> 0, \, \ forall x \ in D, \, 0 <xc <\ delta \ Rightarrow | f (x) -L | <\ varepsilon}$

и предел "слева" как

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c ^ {-}} f (x) \ iff \ forall \ varepsilon> 0, \, \ exists \ delta> 0, \, \ forall x \ in D, \, - \ delta <xc <0 \ Rightarrow | f (x) -L | <\ varepsilon}$

Примеры работ

Пример 1

Будет показано, что

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} x \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} = 0}$.

Учитывая , необходим такой, что подразумевает . ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ Displaystyle | х-0 | <\ дельта}$${\ displaystyle \ left | x \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) -0 \ right | <\ varepsilon}$

Поскольку синус ограничен сверху единицей и снизу −1,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left | x \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} - ​​0 \ right | & = \ left | x \ sin {\ left ( {\ frac {1} {x}} \ right)} \ right | \\ & = | x | \ left | \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} \ right | \\ & \ leq | x |. \ end {выровнено}}}$

Итак, берется, затем следует , что завершает доказательство. ${\ displaystyle \ delta = \ varepsilon}$${\ Displaystyle | х | = | х-0 | <\ дельта}$${\ displaystyle \ left | x \ sin {\ left ({\ frac {1} {x}} \ right)} - ​​0 \ right | \ leq | x | <\ varepsilon}$

Пример 2

Заявление

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к а} х ^ {2} = а ^ {2}}$

будет доказано для любого реального числа . ${\ displaystyle a}$

Дано есть . Будет такой , что подразумевает . ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle | xa | <\ delta}$${\ Displaystyle | х ^ {2} -a ^ {2} | <\ varepsilon}$

Начиная с факторинга

${\ displaystyle | x ^ {2} -a ^ {2} | = | (xa) (x + a) | = | xa || x + a |,}$

термин ограничен, поэтому можно предположить, что будет 1, а позже можно выбрать что-то меньшее, чем это . ${\ displaystyle | xa |}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta}$

Итак, это предполагается . Поскольку в общем случае верно для действительных чисел и , ${\ displaystyle | xa | <1}$${\ Displaystyle | х | - | у | \ leq | ху |}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ Displaystyle | х | - | а | \ leq | xa | <1.}$

Таким образом

${\ Displaystyle | х | <1+ | а |.}$

Таким образом , с помощью неравенства треугольника ,

${\ displaystyle | x + a | \ leq | x | + | a | <2 | a | +1.}$

Таким образом, если в дальнейшем предположить, что

${\ displaystyle | xa | <{\ frac {\ varepsilon} {2 | a | +1}},}$

тогда

${\ displaystyle | x ^ {2} -a ^ {2} | <\ varepsilon.}$

Таким образом, установлено. ${\ displaystyle \ delta = \ min {\ left \ {1, {\ frac {\ varepsilon} {2 | a | +1}} \ right \}}}$

Итак, если , то ${\ displaystyle | xa | <\ delta}$

${\ displaystyle {\ begin {align} | x ^ {2} -a ^ {2} | & = | xa || x + a | \\ & <{\ frac {\ varepsilon} {2 | a | +1 }} (| x + a |) \\ & <{\ frac {\ varepsilon} {2 | a | +1}} (2 | a | +1) \\ & = \ varepsilon. \ end {выравнивается}} }$

Таким образом, найдено такое, что подразумевает . Таким образом, показано, что ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle | xa | <\ delta}$${\ Displaystyle | х ^ {2} -a ^ {2} | <\ varepsilon}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к а} х ^ {2} = а ^ {2}}$

для любого реального числа . ${\ displaystyle a}$

Пример 3

Заявление

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 5} (3x-3) = 12}$

будет доказано.

Это легко показать с помощью графического понимания предела, и как таковое служит прочной основой для введения в доказательство. Согласно формальному определению выше, предел утверждение верно , если и только если ограничившись в единицах будет неизбежно Confine в единицах . В данном конкретном случае это означает, что утверждение истинно тогда и только тогда, когда ограничение до 5 единиц неизбежно ограничит ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle 3x-3}$

до единиц по 12. Общий ключ к демонстрации этого следствия - продемонстрировать, как и как должны быть связаны друг с другом, чтобы импликация оставалась верной. Математически будет показано, что ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle 0 <| x-5 | <\ delta \ \ Rightarrow \ | (3x-3) -12 | <\ varepsilon.}$

Упрощение, факторинг и деление 3 в правой части импликации дает

${\ Displaystyle | х-5 | <\ varepsilon / 3,}$

что сразу дает требуемый результат, если

${\ displaystyle \ delta = \ varepsilon / 3}$

выбран.

На этом доказательство завершено. Ключ к доказательству заключается в способности человека выбрать границы в , а затем заключить соответствующие границы в , которые в этом случае были связаны с коэффициентом 3, что полностью связано с наклоном 3 в строке ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle y = 3x-3.}$

Непрерывность

Функция f называется непрерывной в c, если она определена в c и ее значение в c равно пределу f, когда x приближается к c :

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = f (c).}$

Определение непрерывной функции может быть получено из определения предела путем замены с , чтобы гарантировать , что F определена в C и равна предел. ${\ Displaystyle (\ varepsilon, \ delta)}$${\ displaystyle 0 <| xc | <\ delta}$${\ displaystyle | xc | <\ delta}$

Функция F называется непрерывной на интервале I , если она непрерывна в каждой точке с из I .

Сравнение с бесконечно малым определением

Кейслер доказал, что гиперреальное определение предела снижает сложность логического квантора на два квантора. А именно, сходится к пределу L, поскольку стремится к a тогда и только тогда, когда значение бесконечно близко к L для каждого бесконечно малого e . (См микронепрерывность для соответствующего определения непрерывности, по существу , из - за Коши .) ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle f (х + е)}$

Учебники по исчислению бесконечно малых, основанные на подходе Робинсона , дают определения непрерывности, производной и интеграла в стандартных точках в терминах бесконечно малых. После того, как такие понятия, как непрерывность, были подробно объяснены с помощью подхода, использующего микропрерывность, также представлен эпсилон-дельта-подход. Карел Хрбачек утверждает, что определения непрерывности, производной и интеграции в нестандартном анализе в стиле Робинсона должны быть основаны на методе ε - δ , чтобы охватить также нестандартные значения входных данных. Błaszczyk et al. утверждают, что микропрерывность полезна для разработки прозрачного определения однородной непрерывности, и охарактеризовать критику Хрбачека как «сомнительное сетование». Грбачек предлагает альтернативный нестандартный анализ, который (в отличие от Робинсона) имеет много «уровней» бесконечно малых, так что пределы на одном уровне могут быть определены в терминах бесконечно малых на следующем уровне.

Семейство формальных определений пределов

Нет единого определения лимита - есть целая семья определений. Это связано с наличием бесконечности и концепцией границ «справа» и «слева». Сам предел может быть конечным значением , или . Значение, к которому осуществляется приближение, также может быть конечным значением, или , а если это конечное значение, к нему можно приближаться слева или справа. Обычно каждой комбинации дается собственное определение, например: ${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$

Обозначение

Def.

Пример

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {зеленый} c}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} L}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall \ varepsilon> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {Green} \ exists \ delta> 0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} c- \ delta} <}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle <{\ color {зеленый} c + \ delta}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {красный} L- \ varepsilon} <}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle <{\ color {красный} L + \ varepsilon}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к 0} грех (х) = 0}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {зеленый} c ^ {+}}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} L}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall \ varepsilon> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {Green} \ exists \ delta> 0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} c} <}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle <{\ color {зеленый} c + \ delta}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {красный} L- \ varepsilon} <}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle <{\ color {красный} L + \ varepsilon}}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {2} + sgn (x) = 1}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} c ^ {-}}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} L}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall \ varepsilon> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {Green} \ exists \ delta> 0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} c- \ delta} <}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle <{\ color {зеленый} c}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {красный} L- \ varepsilon} <}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle <{\ color {красный} L + \ varepsilon}}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {-}} x ^ {2} + sgn (x) = - 1}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {зеленый} \ infty}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} L}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall \ varepsilon> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} \ существует M> 0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} M} <}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {красный} L- \ varepsilon} <}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle <{\ color {красный} L + \ varepsilon}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к \ infty} 1 / х = 0}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {зеленый} - \ infty}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} L}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall \ varepsilon> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {Green} \ существует M <0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle <{\ color {зеленый} M}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {красный} L- \ varepsilon} <}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle <{\ color {красный} L + \ varepsilon}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к - \ infty} е ^ {х} = 0}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {зеленый} c}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall N> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {Green} \ exists \ delta> 0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} c- \ delta} <}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle <{\ color {зеленый} c + \ delta}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {красный} N} <}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} | 1 / x | = \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {зеленый} c ^ {+}}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall N> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {Green} \ exists \ delta> 0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} c} <}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle <{\ color {зеленый} c + \ delta}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {красный} N} <}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} 1 / x = \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} c ^ {-}}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall N> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {Green} \ exists \ delta> 0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} c- \ delta} <}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle <{\ color {зеленый} c}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {красный} N} <}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {-}} - 1 / x = \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {зеленый} \ infty}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall N> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} \ существует M> 0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} M} <}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {красный} N} <}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к \ infty} е ^ {х} = \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {зеленый} - \ infty}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall N> 0,}}$

${\ displaystyle {\ color {Green} \ существует M <0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle <{\ color {зеленый} M}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle {\ color {красный} N} <}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к - \ infty} х ^ {2} = \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {зеленый} c}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} - \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall N <0,}}$

${\ displaystyle {\ color {Green} \ exists \ delta> 0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} c- \ delta} <}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle <{\ color {зеленый} c + \ delta}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle <{\ color {красный} N}}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} - | 1 / x | = - \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {зеленый} c ^ {+}}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} - \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall N <0,}}$

${\ displaystyle {\ color {Green} \ exists \ delta> 0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} c} <}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle <{\ color {зеленый} c + \ delta}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle <{\ color {красный} N}}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} журнал (x) = - \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {Green} c ^ {-}}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} - \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall N <0,}}$

${\ displaystyle {\ color {Green} \ exists \ delta> 0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} c- \ delta} <}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle <{\ color {зеленый} c}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle <{\ color {красный} N}}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {-}} 1 / x = - \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {зеленый} \ infty}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} - \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall N <0,}}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} \ существует M> 0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle {\ color {зеленый} M} <}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle <{\ color {красный} N}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к \ infty} -x = - \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to {\ color {зеленый} - \ infty}}}$

${\ displaystyle f (x) =}$

${\ displaystyle {\ color {красный} - \ infty}}$

${\ Displaystyle \ iff}$

${\ displaystyle {\ color {красный} \ forall N <0,}}$

${\ displaystyle {\ color {Green} \ существует M <0,}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in D,}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle <{\ color {зеленый} M}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle <{\ color {красный} N}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к - \ infty} х ^ {3} = - \ infty}$

Смотрите также

• Непрерывная функция
• Предел последовательности
• Список тем по исчислению
• Теорема сжатия

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Грабинер, Джудит В. (1982). Истоки строгого исчисления Коши . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-14374-3.
• Шубринг, Герт (2005). Конфликты между обобщением, строгостью и интуицией: числовые концепции, лежащие в основе развития анализа во Франции и Германии 17–19 веков (иллюстрированное изд.). Springer. ISBN 978-0-387-22836-5.