Элементарное исчисление: бесконечно малый подход -Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach

Элементарное исчисление: бесконечно малый подход - это учебник Х. Джерома Кейслера . Подзаголовок ссылается на бесконечно малые числа гиперреальной системы счисления Авраама Робинсона и иногда приводится как подход, использующий бесконечно малые числа . Книга находится в свободном доступе в Интернете и в настоящее время издается Dover.

Учебник

Учебник Кейслера основан на конструкции гиперреальных чисел Робинсона . Кейслер также опубликовал сопутствующую книгу « Основы исчисления бесконечно малых» для преподавателей, в которой более подробно освещается основополагающий материал.

Кейслер определяет все основные понятия исчисления, такие как непрерывность (математика) , производная и интеграл, используя бесконечно малые величины. В конце главы 5 приведены обычные определения методов ε – δ, позволяющие перейти к стандартной последовательности.

В своем учебнике Кейслер использовал педагогическую технику микроскопа с бесконечным увеличением, чтобы графически представить различные гиперреальные числа, бесконечно близкие друг к другу. Точно так же телескоп бесконечного разрешения используется для представления бесконечных чисел.

Когда один рассматривает кривую, скажем , график ƒ , под увеличительным стеклом, его кривизна уменьшается пропорционально увеличения силы линзы. Точно так же, бесконечномерным увеличение микроскопа преобразует бесконечно малую дугу графа ƒ , в прямую линию, с точностью до бесконечно малой погрешности (видно только путем применения более высокого увеличения «микроскоп»). Производная ƒ является то ( стандартная часть из) наклона этой линии (см . Рисунок)

Стандартная функция части «округляет» конечное гиперреальное число до ближайшего действительного числа. «Микроскоп бесконечно малых» используется для просмотра бесконечно малых окрестностей стандартного действительного объекта.

Таким образом, микроскоп используется как устройство для объяснения производной.

Прием

Книга была впервые рецензирована Эрреттом Бишопом , известным своими работами в области конструктивной математики. Обзор Бишопа был резко критичен; см. Критика нестандартного анализа . Вскоре после этого Мартин Дэвис и Хауснер опубликовали подробный благоприятный обзор, как и Андреас Бласс и Кейт Строян . Студентка Кейслер К. Салливан в рамках своей докторской диссертации провела контролируемый эксперимент с участием 5 школ, в ходе которого было обнаружено, что элементарное исчисление имеет преимущества перед стандартным методом обучения математическому анализу. Несмотря на преимущества, описанные Салливаном, подавляющее большинство математиков не применяют методы бесконечно малых в своем обучении. Недавно Кац и Кац дали положительный отзыв о курсе математического анализа, основанном на книге Кейслера. О'Донован также описал свой опыт преподавания математического анализа с использованием бесконечно малых чисел. Его первоначальная точка зрения была положительной, но позже он обнаружил педагогические трудности с подходом к нестандартному исчислению, принятым в этом и других текстах.

Г. Р. Блэкли заметил в письме к Prindle, Weber & Schmidt, касающемуся элементарного исчисления: подход, использующий бесконечно малые величины: «Проблемы, которые могут возникнуть с книгой, будут иметь политический характер. Она революционна. Революции редко приветствуются авторитетной партией, хотя революционеры часто бывают. "

Хрбачек пишет, что определения непрерывности , производной и интеграла неявно должны быть основаны на методе ε – δ в теоретической структуре Робинсона, чтобы расширить определения, чтобы включить нестандартные значения входных данных, утверждая, что надежда на нестандартное исчисление может быть выполнено без ε – δ методы не могли быть реализованы в полной мере. Błaszczyk et al. деталь полезности микронепрерывности в разработке прозрачного определения равномерной непрерывности , и критики характеризуют Hrbacek как «сомнительный плач».

Принцип передачи

Между первым и вторым изданиями « Элементарного исчисления» большая часть теоретического материала, содержавшегося в первой главе, была перенесена в эпилог в конце книги, включая теоретические основы нестандартного анализа.

Во втором издании Кейслер вводит принцип расширения и принцип переноса в следующей форме:

Каждое действительное утверждение, которое выполняется для одной или нескольких конкретных действительных функций, выполняется для гиперреальных естественных расширений этих функций.

Затем Кейслер приводит несколько примеров реальных утверждений, к которым применим этот принцип:

• Закон замыкания для сложения: для любых x и y определяется сумма x + y .
• Коммутативный закон сложения: x + y = y + x .
• Правило порядка: если 0 < x < y, то 0 <1 / y <1 / x .
• Деление на ноль никогда не допускается: x / 0 не определено.
• Алгебраическое тождество: .${\ Displaystyle (ху) ^ {2} = х ^ {2} -2xy + y ^ {2}}$
• Тригонометрическое тождество: .${\ Displaystyle \ грех ^ {2} х + \ соз ^ {2} х = 1}$
• Правило для логарифмов: если x > 0 и y > 0, то .${\ Displaystyle \ журнал _ {10} (ху) = \ журнал _ {10} х + \ журнал _ {10} у}$

Смотрите также

• Критика нестандартного анализа
• Влияние нестандартного анализа
• Нестандартное исчисление
• Теорема об увеличении

Примечания

использованная литература

• Епископ, Эрретт (1977), "Обзор: Х. Джером Кейслер, Элементарное исчисление" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 83 : 205-208, DOI : 10,1090 / s0002-9904-1977-14264-х
• Бласс, Андреас (1978), "Обзор: Мартин Дэвис, Прикладной нестандартный анализ, и К.Д. Строян, В.А.Дж. Люксембург, Введение в теорию бесконечно малых, и Х. Джером Кейслер, Основы исчисления бесконечно малых" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 84 (1): 34–41, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1978-14401-2

Бласс пишет: «Я подозреваю, что многие математики где-то в глубине души утаивают формулу для длины дуги (и быстро вычитают dx перед тем, как записать ее)» (стр. 35).${\ displaystyle \ int {\ sqrt {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2}}}}$

«Часто, как в приведенных выше примерах, нестандартное определение понятия проще, чем стандартное определение (интуитивно проще и проще в техническом смысле, например, кванторы над более низкими типами или меньшее количество чередований кванторов)» (стр. 37) .

«Относительная простота нестандартных определений некоторых понятий элементарного анализа предлагает педагогическое применение в исчислении первокурсников. Можно было бы использовать интуитивные идеи студентов о бесконечно малых (которые обычно очень расплывчаты, но их представления о действительных числах - тоже) разработать исчисление на нестандартной основе »(с. 38).

• Дэвис, Мартин (1977), "Обзор: Дж. Дональд Монк, математическая логика" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 83 : 1007–1011, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1977-14357-7
• Дэвис, М .; Хауснер, М. (1978), «Рецензия на книгу. Радость бесконечно малых. Элементарное исчисление Дж. Кейслера», Mathematical Intelligencer , 1 : 168–170, doi : 10.1007 / bf03023265 , S2CID  121679411.
• Hrbacek, K .; Lessmann, O .; О'Донован, R. (ноябрь 2010), "Анализ с сверхмалых чисел", American Mathematical Monthly , 117 (9): 801-816, DOI : 10,4169 / 000298910x521661 , S2CID  5720030
• Hrbacek, K. (2007), «Стратифицированный анализ?», В Van Den Berg, I .; Невес В. (ред.), Сила нестандартного анализа , Springer
• Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Г. (2010), "Когда 0,999 ... меньше 1?" , The Montana Mathematics Enthusiast , 7 (1): 3–30, arXiv : 1007.3018 , Bibcode : 2010arXiv1007.3018U , заархивировано из оригинала 20 июля 2011 г.
• Кейслер, Х. Джером (1976), Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых , Prindle Weber & Schmidt, ISBN 978-0871509116
• Кейслер, Х. Джером (1976), Основы исчисления бесконечно малых , Prindle Weber & Schmidt, ISBN 978-0871502155, получено 10 января 2007 г.Компаньон к учебнику « Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых» .
• Кейслер, Х. Джером (2011), Элементарное исчисление: бесконечно малый подход (2-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-48452-5
• Мэдисон, EW; Stroyan, KD (июнь-июль 1977), "Элементарные Исчисление Г. Джером Кейслера." Американский Математический Месячный , 84 (6): 496-500, DOI : 10,2307 / 2321930 , JSTOR  2321930
• О'Донован, Р. (2007), «Предуниверситетский анализ», в Van Den Berg, I .; Невес В. (ред.), Сила нестандартного анализа , Springer
• О'Донован, Р .; Кимбер, Дж. (2006), «Нестандартный анализ на довузовском уровне: анализ наивной величины», в Cultand, N; Ди Насо, М .; Росс Д. (ред.), Нестандартные методы и приложения в математике , Лекционные заметки по логике, 25
• Штольценберг, Г. (июнь 1978 г.), «Письмо в редакцию», Уведомления Американского математического общества , 25 (4): 242
• Sullivan, Кэтлин (1976), "Учение Elementary Исчисление Использование подхода Нестандартный анализ", Американский Математический Месячный , Математическая ассоциация Америки, 83 (5): 370-375, DOI : 10,2307 / 2318657 , JSTOR  2318657
• Толл, Дэвид (1980), интуитивные бесконечно малые числа в исчислении (плакат) (PDF) , Четвертый Международный конгресс по математическому образованию, Беркли

внешние ссылки

• Книга в формате PDF