Единая преемственность - Uniform continuity

График выходит из верхней и / или нижней части окна, каким бы маленьким он ни был , поэтому он не является равномерно непрерывным. Функция , с другой стороны, является равномерно непрерывной.${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x}}}$${\ displaystyle {\ text {height}} \ times {\ text {width}} = 2 \ varepsilon \ times 2 \ delta}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle г (х) = {\ sqrt {х}}}$

В математике , функция F является равномерно непрерывной , если, грубо говоря, можно гарантировать , что п ( х ) и ф ( у ) как можно ближе друг к другу , как угодно, требуя только , что х и у достаточно близко друг Другие; в отличие от обычной непрерывности , где максимальное расстояние между f ( x ) и f ( y ) может зависеть от самих x и y .

Непрерывные функции могут не быть равномерно непрерывными, если они не ограничены в конечной области, например, на (0,1), или если их наклоны становятся неограниченными в бесконечной области, например, на действительной прямой. Однако любое липшицево отображение между метрическими пространствами равномерно непрерывно, в частности, любая изометрия (сохраняющее расстояние отображение). ${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x}}}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$

Хотя обычная непрерывность может быть определена для функций между общими топологическими пространствами, определение равномерной непрерывности требует большей структуры. Концепция основана на сравнении размеров окрестностей различных точек, поэтому для нее требуется метрическое пространство или, в более общем смысле, однородное пространство .

Определение функций на метрических пространствах

Для заданных метрических пространств и функция называется равномерно непрерывной, если для каждого действительного числа существует такое вещественное , что для каждого с мы имеем это . ${\ displaystyle (X, d_ {1})}$${\ displaystyle (Y, d_ {2})}$${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle x, y \ in X}$${\ Displaystyle d_ {1} (х, у) <\ дельта}$${\ Displaystyle d_ {2} (е (х), е (у)) <\ varepsilon}$

Если X и Y являются подмножествами вещественной прямой , d ₁ и d ₂ могут быть стандартными одномерными евклидовыми расстояниями , что дает определение: для всех существует такое, что для всех . ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle x, y \ in X, | xy | <\ delta \ подразумевает | f (x) -f (y) | <\ varepsilon}$

Разница между равномерной непрерывностью и обычной непрерывностью в каждой точке заключается в том, что в однородной непрерывности значение зависит только от точки в области, а не от нее. ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Локальная непрерывность против глобальной однородной непрерывности

Непрерывность сама по себе является локальным свойством функции, то есть функция f непрерывна или нет в определенной точке, и это можно определить, глядя только на значения функции в (сколь угодно малой) окрестности этой точки. точка. Когда мы говорим о непрерывности функции на интервале , мы имеем в виду только то, что она непрерывна в каждой точке интервала. Напротив, равномерная непрерывность - это глобальное свойство f в том смысле, что стандартное определение относится к парам точек, а не к отдельным точкам. С другой стороны, можно дать определение, которое является локальным в терминах естественного расширения f * (характеристики которого в нестандартных точках определяются глобальными свойствами f ), хотя невозможно дать локальное определение равномерной непрерывности для произвольной гипервещественнозначной функции см. ниже .

Математические утверждения о том, что функция непрерывна на интервале I, и определение, что функция равномерно непрерывна на том же интервале, структурно очень похожи. Таким образом, непрерывность функции для каждой точки x интервала может быть выражена формулой, начиная с количественной оценки

${\ displaystyle \ forall x \ in I \; \ forall \ varepsilon> 0 \; \ exists \ delta> 0 \; \ forall y \ in I: \, | xy | <\ delta \, \ Rightarrow \, | f (х) -f (y) | <\ varepsilon \ ,,}$

тогда как для однородной непрерывности порядок первого, второго и третьего кванторов меняется:

${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ существует \ delta> 0 \; \ forall x, y \ in I: \, | xy | <\ delta \, \ Rightarrow \, | f (x) -f ( у) | <\ varepsilon}$

Таким образом, для непрерывности в каждой точке берется произвольная точка x, и тогда должно существовать расстояние δ ,

${\ Displaystyle \ cdots \ forall x \, \ существует \ delta \ cdots,}$

в то время как для равномерной непрерывности одно δ должно работать равномерно для всех точек x (и y ):

${\ displaystyle \ cdots \ exists \ delta \, \ forall x \, \ forall y \ cdots.}$

Примеры и контрпримеры

• Любое липшицево отображение между двумя метрическими пространствами равномерно непрерывно. В частности, любая дифференцируемая функция с ограниченной производной равномерно непрерывна. Вообще говоря, каждая непрерывная функция Гёльдера равномерно непрерывна.
• Несмотря на то, что функция Вейерштрасса нигде не дифференцируема, она равномерно непрерывна.
• Каждый член равномерно равностепенно непрерывного набора функций равномерно непрерывен.
• Тангенс непрерывна на интервале (- л / 2,  π / 2) , но не равномерно непрерывна на этом отрезке.
• Показательная функция x  e ^x непрерывна всюду на вещественной прямой, но не является равномерно непрерывной на прямой.${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mapsto}$ 

Характеристики

Всякая равномерно непрерывная функция непрерывна , но обратное неверно. Рассмотрим, например, функцию . Учитывая сколь угодно малое положительное действительное число , равномерная непрерывность требует существования такого положительного числа , что для всех с мы имеем . Но ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}, x \ mapsto x ^ {2}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$${\ displaystyle | x_ {1} -x_ {2} | <\ delta}$${\ Displaystyle | е (x_ {1}) - f (x_ {2}) | <\ varepsilon}$

${\ displaystyle f \ left (x + {\ frac {\ delta} {2}} \ right) -f (x) = 2x \ cdot {\ frac {\ delta} {2}} + {\ frac {\ delta ^ {2}} {4}},}$

и для всех достаточно больших x эта величина больше, чем . ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Любая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывна. С другой стороны, функция Кантора равномерно непрерывна, но не абсолютно непрерывна.

Образ вполне ограниченного подмножества при равномерно непрерывной функции вполне ограничен. Однако образ ограниченного подмножества произвольного метрического пространства при равномерно непрерывной функции не обязательно должен быть ограниченным: в качестве контрпримера рассмотрим тождественную функцию от целых чисел с дискретной метрикой до целых чисел с обычной евклидовой метрикой .

Теорема Гейне – Кантора утверждает, что любая непрерывная функция на компакте равномерно непрерывна. В частности, если функция непрерывна на замкнутом ограниченном интервале вещественной прямой, она равномерно непрерывна на этом интервале. Дарбу интегрируемости непрерывных функций следует почти сразу же из этой теоремы.

Если действительная функция непрерывна на и существует (и конечна), то она равномерно непрерывна. В частности, каждый элемент пространства непрерывных функций , обращающихся в нуль на бесконечности, равномерно непрерывен. Это обобщение упомянутой выше теоремы Гейне-Кантора, поскольку . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [0, \ infty)}$${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к \ infty} е (х)}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle C_ {0} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle C_ {C} (\ mathbb {R}) \ подмножество C_ {0} (\ mathbb {R})}$

Визуализация

Для равномерно непрерывной функции для каждого заданного a существует такое, что два значения и имеют максимальное расстояние, когда и не отличаются более чем на . Таким образом, мы можем нарисовать вокруг каждой точки графика прямоугольник с высотой и шириной так, чтобы график лежал полностью внутри прямоугольника, а не прямо над или под ним. Для функций, которые не являются равномерно непрерывными, это невозможно. График может лежать внутри прямоугольника для определенных средних точек на графике, но всегда есть средние точки прямоугольника на графике, где функция находится выше или ниже прямоугольника. ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (y)}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle (х, е (х))}$${\ Displaystyle 2 \ varepsilon}$${\ displaystyle 2 \ delta}$

• 

  Для равномерно непрерывных функций, есть для каждого таким образом, что , когда мы нарисовать прямоугольник вокруг каждой точки на графике с шириной и высотой , график лежит полностью внутри прямоугольника. ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle 2 \ delta}$${\ Displaystyle 2 \ varepsilon}$

• 

  Для функций, которые не являются равномерно непрерывными, существует такое, что независимо от того , на графике всегда есть точки, когда мы рисуем вокруг него прямоугольник, значения находятся непосредственно над или под прямоугольником. Могут быть средние точки, где график полностью находится внутри прямоугольника, но это не верно для каждой средней точки. ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ Displaystyle 2 \ varepsilon \ times 2 \ delta}$

История

Первое опубликованное определение равномерной непрерывности было сделано Гейне в 1870 году, а в 1872 году он опубликовал доказательство того, что непрерывная функция на открытом интервале не обязательно должна быть равномерно непрерывной. Доказательства почти дословно даны Дирихле в его лекциях по определенным интегралам в 1854 году. Определение равномерной непрерывности появляется ранее в работе Больцано, где он также доказал, что непрерывные функции на открытом интервале не обязательно должны быть равномерно непрерывными. Кроме того, он также утверждает, что непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна, но не дает полного доказательства.

Другие характеристики

Нестандартный анализ

В нестандартном анализе вещественнозначная функция f действительной переменной является микропрерывной в точке a именно в том случае, если разность f * ( a  +  δ ) -  f * ( a ) бесконечно мала, когда δ бесконечно мало. Таким образом , F непрерывна на множестве А в R точно , если е * микронепрерывна в каждой вещественной точке  ∈  A . Равномерная непрерывность может быть выражена как условие, что (естественное расширение) f является микропрерывным не только в реальных точках в A , но и во всех точках в его нестандартном аналоге (естественном расширении) ^* A в ^* R. Обратите внимание, что существуют гиперреалистичные функции, которые удовлетворяют этому критерию, но не являются равномерно непрерывными, а также равномерно непрерывные гиперреалистичные функции, которые не удовлетворяют этому критерию, однако такие функции не могут быть выражены в форме f * ни для какой действительной функции f . ( подробности и примеры см. в нестандартном исчислении ).

Непрерывность Коши

Для функции между метрическими пространствами равномерная непрерывность влечет непрерывность Коши ( Фитцпатрик, 2006 ). Более конкретно, пусть A будет подмножеством R ⁿ . Если функция f  :  A  →  R ^m равномерно непрерывна, то для любой пары последовательностей x _n и y _n таких, что

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} | x_ {n} -y_ {n} | = 0}$

у нас есть

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} | f (x_ {n}) - f (y_ {n}) | = 0.}$

Отношения с проблемой расширения

Пусть X - метрическое пространство, S - подмножество X, R - полное метрическое пространство и непрерывная функция. Когда можно продолжить f до непрерывной функции на всем X ? ${\ displaystyle f: S \ rightarrow R}$

Если S замкнуто в X , ответ дает теорема Титце о продолжении : всегда. Таким образом, необходимо и достаточно расширить f до замыкания S в X : то есть мы можем предполагать без ограничения общности, что S плотно в X , и это имеет еще одно приятное следствие: если расширение существует, оно единственно . Достаточным условием для продолжения функции f до непрерывной функции является ее непрерывность по Коши , т. Е. Образ последовательности Коши под действием f остается Коши. Если X полно (и, следовательно, пополнение S ), то каждая непрерывная функция из X в метрическое пространство Y непрерывна по Коши. Следовательно, когда X полно, f продолжается до непрерывной функции тогда и только тогда, когда f непрерывна по Коши. ${\ displaystyle f: X \ rightarrow R}$${\ displaystyle f: X \ rightarrow R}$

Легко видеть , что всякая равномерно непрерывная функция Коши непрерывна и , таким образом , распространяется на X . Обратное неверно, поскольку функция , как показано выше, не является равномерно непрерывной, но она непрерывна и, следовательно, - поскольку R является полным - непрерывна по Коши. В общем, для функций, определенных на неограниченных пространствах, таких как R , равномерная непрерывность является довольно сильным условием. Желательно иметь более слабое условие, из которого можно вывести возможность расширения. ${\ displaystyle f: R \ rightarrow R, x \ mapsto x ^ {2}}$

Например, предположим, что a> 1 - действительное число. На уровне предварительного вычисления функции можно дать точное определение только для рациональных значений x (при условии существования корней q-й степени из положительных действительных чисел, применение теоремы о промежуточном значении). Хотелось бы расширить п к функции , определенной на всех R . Личность ${\ displaystyle f: x \ mapsto a ^ {x}}$

${\ Displaystyle е (х + \ дельта) -f (х) = а ^ {х} \ влево (а ^ {\ дельта} -1 \ вправо)}$

показывает, что f не является равномерно непрерывным на множестве Q всех рациональных чисел; Однако для любого ограниченного интервала I сужение F на которое равномерно непрерывна, следовательно , Коши непрерывно, следовательно , F продолжается до непрерывной функции на I . Но так как это имеет место для каждого I , есть то единственное продолжение е к непрерывной функции на всех R . ${\ displaystyle Q \ cap I}$

В более общем смысле , непрерывная функция , сужение которой на каждое ограниченное подмножество S равномерно непрерывно продолжается до X , а обратный имеет место , если Х является локально компактной . ${\ displaystyle f: S \ rightarrow R}$

Типичное применение расширяемости равномерно непрерывной функции - доказательство формулы обратного преобразования Фурье . Сначала докажем, что формула верна для пробных функций, их очень много. Затем мы расширяем обратное отображение на все пространство, используя тот факт, что линейное отображение непрерывно; таким образом, равномерно непрерывный.

Обобщение на топологические векторные пространства

В частном случае двух топологических векторных пространств и понятие равномерной непрерывности отображения становится следующим: для любой окрестности нуля в существует такая окрестность нуля в , что влечет${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle f: V \ to W}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle v_ {1} -v_ {2} \ in A}$${\ displaystyle f (v_ {1}) - f (v_ {2}) \ in B.}$

Для линейных преобразований равномерная непрерывность эквивалентна непрерывности. Этот факт часто неявно используется в функциональном анализе для продолжения линейного отображения с плотного подпространства банахова пространства . ${\ displaystyle f: V \ to W}$

Обобщение на равномерные пространства

Подобно тому, как наиболее естественной и общей средой для непрерывности являются топологические пространства , наиболее естественной и общей средой для изучения равномерной непрерывности являются равномерные пространства . Функция f  :  X  →  Y между равномерными пространствами называется равномерно непрерывной, если для каждого окружения V в Y существует окружение U в X такое, что для каждого ( x ₁ , x ₂ ) в U выполняется ( f ( x ₁ ), е ( х ₂ )) в V .

В этом случае также верно, что равномерно непрерывные отображения преобразуют последовательности Коши в последовательности Коши.

Каждое компактное хаусдорфово пространство обладает ровно одной равномерной структурой, совместимой с топологией. Следствием этого является обобщение теоремы Гейне-Кантора: каждая непрерывная функция из компактного хаусдорфова пространства в равномерное пространство равномерно непрерывна.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Бурбаки, Николас . Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. ISBN 0-387-19374-X. Глава II представляет собой исчерпывающий справочник по однородным пространствам.
• Дьедонне, Жан (1960). Основы современного анализа . Академическая пресса.
• Фитцпатрик, Патрик (2006). Расширенный расчет . Брукс / Коул. ISBN 0-534-92612-6.
• Келли, Джон Л. (1955). Общая топология . Тексты для выпускников по математике. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], "Равномерная непрерывность" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл . ISBN 978-0-07-054235-8.
• Rusnock, P .; Керр-Lawson, А. (2005), "Больцано и равномерная непрерывность", Хистория Mathematica , 32 (3): 303-311, DOI : 10.1016 / j.hm.2004.11.003