Переменная двигателя - Motor variable

В математике , функция переменного двигателя является функцией с аргументами и значениями в двойных числах плоскости, так же как функции от комплексного переменного включают обычные комплексные числа . Уильям Кингдон Клиффорд ввел термин мотор для кинематического оператора в своем «Предварительном наброске бикватернионов» (1873 г.). Он использовал расщепленные комплексные числа для скаляров в своих расщепленных бикватернионах . Здесь моторная переменная используется вместо комплексной переменной для благозвучия и традиции.

Например,

${\ Displaystyle е (Z) = U (Z) + J \ V (Z), \ Z = x + jy, \ x, y \ in R, \ quad j ^ {2} = + 1, \ quad u ( z), v (z) \ in R.}$

Функции моторной переменной предоставляют контекст для расширения реального анализа и обеспечивают компактное представление отображений плоскости. Однако эта теория далеко отстает от теории функций на обычной комплексной плоскости . Тем не менее, некоторые аспекты обычного комплексного анализа интерпретируются с помощью моторных переменных, и в более общем плане в гиперкомплексном анализе .

Элементарные функции моторной переменной

Пусть D = расщепленная комплексная плоскость. Следующие примерные функции f имеют домен и диапазон в D : ${\ displaystyle \ {z = x + jy: x, y \ in R \}}$

Действие гиперболического версора сочетается с трансляцией, чтобы произвести аффинное преобразование.${\ Displaystyle и = \ ехр (aj) = \ сш а + j \ зп а}$

${\ Displaystyle е (г) = uz + с \}$ . Когда c = 0, функция эквивалентна отображению сжатия .

Функция возведения в квадрат не имеет аналогов в обычной комплексной арифметике. Позволять

${\ Displaystyle е (г) = г ^ {2} \}$ и обратите внимание, что ${\ Displaystyle е (-1) = е (j) = f (-j) = 1. \}$

В результате четыре квадранта отображаются в один компонент идентичности :

${\ Displaystyle U_ {1} = \ {z \ in D: \ mid y \ mid <x \}}$ .

Обратите внимание, что образует единичную гиперболу . Таким образом, взаимность${\ displaystyle zz ^ {*} = 1 \}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1}$

${\ displaystyle f (z) = 1 / z = z ^ {*} / \ mid z \ mid ^ {2} {\ text {where}} \ mid z \ mid ^ {2} = zz ^ {*}}$

включает гиперболу как опорную кривую в отличие от круга в C.

На расширенной комплексной плоскости имеется класс функций, называемых преобразованиями Мёбиуса :

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}}.}$

Используя понятие проективной прямой над кольцом , проективная прямая P ( D ) образует группу гомографий GL (2, D ) и действует на ней . В конструкции используются однородные координаты с компонентами разделенного комплексного числа.

На обычной комплексной плоскости преобразование Кэли переносит верхнюю полуплоскость на единичный круг , тем самым ограничивая его. Отображение компонента идентичности U ₁ в прямоугольник обеспечивает сопоставимое ограничивающее действие:

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {z + 1/2}}, \ quad f: U_ {1} \ to T}$

где T = { z = x + j y  : | y | < x <1 или | y | <2 - x, когда 1 ≤ x <2}.

Exp, log и квадратный корень

Экспоненциальная функция несет всю плоскость D в U ₁ :

${\ displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ {n} \ over n!} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} = \ ch x + \ sinh x}$ .

Таким образом, когда x = b j, то e ^x - гиперболический версор. Для общей моторной переменной z = a + b j имеем

${\ Displaystyle е ^ {Z} = е ^ {а} (\ сш б + j \ \ зп б) \}$ .

В теории функций двигательной переменной особое внимание следует обратить на функции квадратного корня и логарифма. В частности, плоскость сплит-комплексные чисел состоит из четырех компонент связности и множества особых точек , которые не имеют обратный: диагонали г = х ± х J, х ∈ R . Компонент идентичности , а именно { z  : x > | y | } - это диапазон функции возведения в квадрат и экспоненты. Таким образом, это область функций квадратного корня и логарифма. Остальные три квадранта не принадлежат области, потому что квадратный корень и логарифм определены как взаимно однозначные обратные значения функции возведения в квадрат и экспоненциальной функции.

Графическое описание логарифма D дано Motter & Rosa в их статье «Гиперболическое исчисление» (1998).

D-голоморфные функции

В уравнении Кошей-Риман , характеризующие голоморфные функции на области в комплексной плоскости имеет аналог для функций переменного двигателя. Подход к D-голоморфным функциям с использованием производной Виртингера был предложен Моттером и Россой: функция f = u + j v называется D-голоморфной, когда

${\ Displaystyle 0 \ = \ ({\ partial \ over \ partial x} -j {\ partial \ over \ partial y}) (u + jv)}$

${\ displaystyle = \ u_ {x} -j ^ {2} v_ {y} + j (v_ {x} -u_ {y}).}$

Рассматривая действительные и мнимые компоненты, D-голоморфная функция удовлетворяет

${\ displaystyle u_ {x} = v_ {y}, \ quad v_ {x} = u_ {y}.}$

Эти уравнения были опубликованы в 1893 году Георгом Шефферсом , поэтому они были названы «условиями Шефферса».

Подобный подход в теории гармонических функций можно увидеть в тексте Питера Дюрена. Очевидно, что компоненты u и v D-голоморфной функции f удовлетворяют волновому уравнению , связанному с Даламбером , тогда как компоненты C-голоморфных функций удовлетворяют уравнению Лапласа .

Уроки Ла-Платы

В 1935 году в Национальном университете Ла-Платы Дж. К. Винно, специалист по конвергенции бесконечных рядов , опубликовал четыре статьи о двигательной переменной для ежегодного университетского журнала. Он является единственным автором вводной, а по остальным консультировался с руководителем своего отдела А. Дураньона и Ведия. В "Sobre las series de numeros complejos hiperbolicos" он говорит (стр. 123):

Эта система гиперболических комплексных чисел [моторных переменных] представляет собой прямую сумму двух полей, изоморфных полю действительных чисел; это свойство позволяет объяснить теорию рядов и функций гиперболического комплексного переменного посредством использования свойств поля действительных чисел.

Затем он переходит, например, к обобщению теорем Коши, Абеля, Мертенса и Харди на область моторной переменной.

В первой статье, цитируемой ниже, он рассматривает D-голоморфные функции и выполнение уравнения Даламбера их компонентами. Он называет прямоугольник со сторонами, параллельными диагоналям y = x и y = - x , изотропным прямоугольником, поскольку его стороны лежат на изотропных линиях . Он завершает свое резюме следующими словами:

Изотропные прямоугольники играют фундаментальную роль в этой теории, поскольку они образуют области существования голоморфных функций, области сходимости степенных рядов и области сходимости функциональных рядов.

Винно завершил свою серию шестистраничной заметкой о приближении D-голоморфных функций в единичном изотропном прямоугольнике полиномами Бернштейна . Хотя в этой серии есть несколько типографских ошибок, а также пара технических недостатков, Винно удалось изложить основные направления теории, лежащие между реальным и обычным комплексным анализом. Текст особенно впечатляет как поучительный документ для студентов и преподавателей благодаря образцовой проработке элементов. Более того, вся экскурсия основана на «ее отношении к геометрии Эмиля Бореля », чтобы подтвердить ее мотивацию.

Биреальная переменная

В 1892 году Коррадо Сегре вспомнил о тессариновой алгебре как о бикомплексных числах . Естественно возникла подалгебра реальных тессаринов, которые стали называть двумерными числами .

В 1946 году У. Бенчивенга опубликовал эссе о двойных числах и расщепленных комплексных числах, где он использовал термин двумерное число. Он также описал некоторые аспекты теории функций двумерной переменной. Эссе изучалось в Университете Британской Колумбии в 1949 году, когда Джеффри Фокс написал магистерскую диссертацию «Теория элементарных функций гиперкомплексной переменной и теория конформных отображений в гиперболической плоскости». На странице 46 Фокс сообщает: «Бенчивенга показал, что функция двумерной переменной отображает гиперболическую плоскость в себя таким образом, что в тех точках, для которых производная функции существует и не обращается в нуль, гиперболические углы сохраняются в отображение ».

Г. Фокс предлагает полярное разложение двумерной переменной и обсуждает гиперболическую ортогональность . Исходя из другого определения, он доказывает на странице 57.

Теорема 3.42: два вектора взаимно ортогональны тогда и только тогда, когда их единичные векторы являются взаимно отражениями друг друга в той или иной диагональной прямой, проходящей через 0.

Фокс фокусируется на «билинейных преобразованиях» , где есть двумерные константы. Чтобы справиться с сингулярностью, он увеличивает плоскость единственной точкой на бесконечности (стр. 73). ${\ Displaystyle ш = {\ гидроразрыва {\ альфа г + \ бета} {\ гамма г + \ дельта}}}$${\ Displaystyle \ альфа, \ бета, \ гамма, \ дельта}$

Среди его новых вкладов в теорию функций - концепция взаимосвязанной системы . Фокс показывает, что для двунаправленного k удовлетворяет

( а - б ) ² <| k | <( a + b ) ²

гиперболы

| z | = a ² и | z - k | = b ²

не пересекаются (образуют замкнутую систему). Затем он показывает, что это свойство сохраняется при билинейных преобразованиях двумерной переменной.

Компактификация

Мультипликативная обратная функция настолько важна , что крайние меры , чтобы включить его в отображениях дифференциальной геометрии . Например, комплексная плоскость сворачивается в сферу Римана для обычной комплексной арифметики. Для расщепленной комплексной арифметики вместо сферы используется гиперболоид : как и в случае со сферой Римана, метод представляет собой стереографическую проекцию от P = (0, 0, 1) через t = ( x , y , 0) на гиперболоид. Линия L = Pt параметризуется параметром s in таким образом, что она проходит через P, когда s равно нулю, и t, когда s равно единице. ${\ displaystyle H = \ {(x, y, z): z ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} = 1 \}.}$${\ Displaystyle L = \ {(sx, sy, 1-s): s \ in R \}}$

Из H ∩ L следует, что

${\ displaystyle (1-s) ^ {2} + (sx) ^ {2} - (sy) ^ {2} = 1, {\ text {так что}} \ quad s = {\ frac {2} { 1 + x ^ {2} -y ^ {2}}}.}$

Если t находится на нулевом конусе , то s = 2 и (2 x , ± 2 x , - 1) находится на H , противоположные точки (2 x , ± 2 x , 1) составляют световой конус на бесконечности, который равен изображение нулевого конуса при инверсии.

Обратите внимание, что для t с s отрицательно. Подразумевается, что задние лучи через P , чтобы т обеспечивают точку на H . Эти точки t находятся выше и ниже гиперболы, сопряженной с единичной гиперболой. ${\ displaystyle y ^ {2}> 1 + x ^ {2},}$

Компактификация должна быть завершена в P ³ R с однородными координатами ( w, x, y, z ), где w = 1 определяет аффинное пространство ( x, y, z ), используемое до сих пор. Гиперболоид H впитывается в проективную конику, являющуюся компактным пространством . ${\ Displaystyle \ {(ш, х, y, z) \ в P ^ {3} R: z ^ {2} + x ^ {2} = y ^ {2} + w ^ {2} \},}$

Вальтер Бенц выполнил компактификацию с помощью картографии Ганса Бека. Исаак Яглом проиллюстрировал двухступенчатую компактификацию, как указано выше, но с комплексной плоскостью, касательной к гиперболоиду. В 2015 году Emanuello & Nolder выполнили компактификацию, сначала вложив моторную плоскость в тор , а затем сделав ее проективной, определив точки противоположностей .

Рекомендации

• Франческо Катони, Дино Боккалетти и Роберто Канната (2008) Математика пространства-времени Минковского , Birkhäuser Verlag , Базель. Глава 7: Функции гиперболической переменной.