Гипербола единиц - Unit hyperbola

Единичная гипербола - синяя, сопряженная - зеленая, а асимптоты - красные.

В геометрии , то блок гипербола является множеством точек ( х , у ) в декартовой плоскости , удовлетворяющую неявное уравнение При изучении неопределенных ортогональных групп , блок гипербола формирует основу для альтернативной радиальной длины${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1.}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} -y ^ {2}}}.}$

В то время как единичный круг окружает его центр, единичная гипербола требует, чтобы сопряженная гипербола дополняла его на плоскости. Эта пара гипербол разделяет асимптоты y = x и y = - x . Когда используется сопряжение единичной гиперболы, альтернативная радиальная длина равна${\ displaystyle y ^ {2} -x ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle r = {\ sqrt {y ^ {2} -x ^ {2}}}.}$

Единичная гипербола - это частный случай прямоугольной гиперболы с определенной ориентацией , местоположением и масштабом . Таким образом, его эксцентриситет равен${\ displaystyle {\ sqrt {2}}.}$

Единичная гипербола находит приложения, в которых окружность должна быть заменена гиперболой для целей аналитической геометрии. Ярким примером является изображение пространства-времени как псевдоевклидова пространства . Здесь асимптоты единичной гиперболы образуют световой конус . Кроме того, внимание к областям гиперболических секторов по Грегуар де Сен-Венсан привело к логарифмической функции и современной параметризации гиперболы по областям сектора. Когда понятны понятия сопряженных гипербол и гиперболических углов, тогда классические комплексные числа , построенные вокруг единичной окружности, могут быть заменены числами, построенными вокруг единичной гиперболы.

Асимптоты

Обычно говорят, что асимптотические линии кривой сходятся к кривой. В алгебраической геометрии и теории алгебраических кривых есть другой подход к асимптотам. Кривая сначала интерпретируется в проективной плоскости с использованием однородных координат . Тогда асимптоты - это прямые, которые касаются проективной кривой в бесконечно удаленной точке , что устраняет необходимость в концепции расстояния и сходимости. В общей структуре ( x, y, z ) - однородные координаты с линией на бесконечности, определяемой уравнением z = 0. Например, К.Г. Гибсон писал:

Для стандартной прямоугольной гиперболы в ℝ ² соответствующая проективная кривая пересекает z = 0 в точках P = (1: 1: 0) и Q = (1: −1: 0). Оба Р и Q являются простыми на F , с касательными х + у = 0, х - у = 0; таким образом, мы восстанавливаем знакомые «асимптоты» элементарной геометрии.${\ displaystyle f = x ^ {2} -y ^ {2} -1}$${\ displaystyle F = x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2},}$

Диаграмма Минковского

Диаграмма Минковского нарисована в плоскости пространства-времени, где пространственный аспект ограничен одним измерением. Единицы измерения расстояния и времени на такой плоскости следующие:

• единицы длиной 30 сантиметров и наносекунды , или
• астрономические единицы и интервалы 8 минут 20 секунд, или
• световые годы и годы .

Каждая из этих шкал координат приводит к фотонным связям событий по диагональным линиям с наклоном плюс или минус один. Пять элементов составляют диаграмму, которую Герман Минковский использовал для описания преобразований теории относительности: единичная гипербола, ее сопряженная гипербола, оси гиперболы, диаметр единичной гиперболы и сопряженный диаметр . Плоскость с осями относится к неподвижной системе отсчета . Диаметр единичной гиперболы представляет собой систему отсчета, движущуюся с быстротой a, где tanh a = y / x, а ( x , y ) - конечная точка диаметра на единичной гиперболе. Сопряженный диаметр представляет собой пространственную гиперплоскость одновременности, соответствующую быстроте a . В этом контексте гипербола единиц является калибровочной гиперболой. Обычно в теории относительности гипербола с вертикальной осью считается первичной:

Стрела времени идет снизу вверх на рисунке - соглашение, принятое Ричардом Фейнманом в его знаменитых диаграммах. Пространство представлено плоскостями, перпендикулярными оси времени. Здесь и сейчас - это особенность посередине.

Соглашение о вертикальной оси времени восходит к Минковскому в 1908 году и также проиллюстрировано на странице 48 книги Эддингтона « Природа физического мира» (1928).

Параметризация

Ветви единичной гиперболы развиваются как точки и в зависимости от параметра гиперболического угла .${\ Displaystyle (\ сш а, \ зп а)}$${\ Displaystyle (- \ сп а, - \ зп а)}$${\ displaystyle a}$

Прямой способ параметризации единичной гиперболы начинается с гиперболы xy = 1, параметризованной экспоненциальной функцией :${\ displaystyle (e ^ {t}, \ e ^ {- t}).}$

Эта гипербола преобразуется в единичную гиперболу линейным отображением, имеющим матрицу${\ Displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}} \:}$

${\ displaystyle (е ^ {t}, \ e ^ {- t}) \ A = ({\ frac {e ^ {t} + e ^ {- t}} {2}}, \ {\ frac {e ^ {t} -e ^ {- t}} {2}}) = (\ ch t, ​​\ \ sinh t).}$

Этот параметр т является гиперболическим углом , который является аргументом из гиперболических функций .

Раннее выражение параметризованной гиперболы единиц можно найти в Elements of Dynamic (1878) У.К. Клиффорда . Он описывает квазигармоническое движение в гиперболе следующим образом:

Движение имеет любопытные аналогии с эллиптическим гармоническим движением. ... Ускорение ,   таким образом , она всегда пропорциональна расстоянию от центра, как в эллиптическом гармоническом движении, но направлена в стороне от центра.${\ displaystyle \ rho = \ альфа \ cosh (nt + \ epsilon) + \ beta \ sinh (nt + \ epsilon)}$${\ Displaystyle {\ ddot {\ rho}} = п ^ {2} \ rho \;}$

Как конкретная коника , гипербола может быть параметризована путем сложения точек на конике. Следующее описание дали российские аналитики:

Зафиксируем точку E на конике. Рассмотрим точки , при которой прямая линия , проведенная через E параллельно AB пересекает коническую во второй раз , чтобы быть сумма очков А и В .

Для гиперболы с фиксированной точкой E = (1,0) сумма точек и является точкой параметризации, и это добавление соответствует добавлению параметра t .${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1}$${\ displaystyle (x_ {1}, \ y_ {1})}$${\ displaystyle (x_ {2}, \ y_ {2})}$${\ displaystyle (x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2}, \ y_ {1} x_ {2} + y_ {2} x_ {1})}$${\ Displaystyle х = \ сш \ т}$${\ Displaystyle у = \ зп \ т}$

Комплексная плоская алгебра

В то время как единичный круг связан с комплексными числами , единичная гипербола является ключом к плоскости разделенных комплексных чисел, состоящей из z = x + yj , где j ² = +1. Тогда jz = y + xj , поэтому действие j на плоскости должно поменять местами координаты. В частности, это действие меняет местами единичную гиперболу с ее сопряженной и меняет местами пары сопряженных диаметров гипербол.

В терминах параметра гиперболического угла a единичная гипербола состоит из точек

${\ Displaystyle \ pm (\ сш а + д \ зп а)}$, где j = (0,1).

Правая ветвь единичной гиперболы соответствует положительному коэффициенту. Фактически, эта ветвь является изображением экспоненциального отображения, действующего на оси j . С

${\ Displaystyle \ ехр (aj) \ ехр (bj) = \ ехр ((a + b) j)}$,

ветвь - это группа умножения. В отличие от группы окружностей эта группа единичных гипербол не компактна . Подобно обычной комплексной плоскости, точка не на диагоналях имеет полярное разложение с использованием параметризации единичной гиперболы и альтернативной радиальной длины.

использованная литература

• Ф. Риз Харви (1990) Спиноры и калибровка , рис. 4.33, стр. 70, Academic Press , ISBN  0-12-329650-1 .