Quantale - Quantale

В математике , quantales некоторые частично упорядоченные алгебраические структуры , обобщающие локали ( точечная бесплатно топология ), а также различные мультипликативные решетки из идеалов от теории колец и функционального анализа ( C * -алгебры , алгебры фона Нейман ). Квантели иногда называют полными полугруппами с делением .

Обзор

Quantale является полной решеткой Q с ассоциативной бинарной операцией *: Q × Q → Q , называется его умножением , удовлетворяющий распределительное свойство такого , что

${\ displaystyle x * \ left (\ bigvee _ {я \ in I} {y_ {i}} \ right) = \ bigvee _ {i \ in I} (x * y_ {i})}$

и

${\ displaystyle \ left (\ bigvee _ {я \ in I} {y_ {i}} \ right) * {x} = \ bigvee _ {i \ in I} (y_ {i} * x)}$

для всех x , y _i в Q , i в I (здесь I - любой набор индексов ). Квант является унитальным, если он имеет единичный элемент e для своего умножения:

${\ Displaystyle х * е = х = е * х}$

для всех х в Q . В этом случае квант, естественно, является моноидом относительно своего умножения ∗.

Унитальный квантал можно эквивалентно определить как моноид в категории Sup полных соединенных полурешеток.

Унитальный квантал - это идемпотентное полукольцо относительно соединения и умножения.

Унитальный квантал, в котором тождество является верхним элементом базовой решетки, называется строго двусторонним (или просто целым ).

Коммутативной quantale является quantale, умножение которой является коммутативной . Кадра , с умножением , заданным встречаются операциями, является типичным примером строго двухстороннего коммутативного quantale. Другой простой пример - это единичный интервал вместе с его обычным умножением .

Идемпотентная quantale является quantale которого умножение идемпотентная . Кадры таких же , как идемпотентная строго двухсторонняя quantale.

Инволютивно quantale является quantale с инволюцией

${\ Displaystyle (ху) ^ {\ circ} = y ^ {\ circ} x ^ {\ circ}}$

что сохраняет соединения:

${\ displaystyle {\ biggl (} \ bigvee _ {я \ in I} {x_ {i}} {\ biggr)} ^ {\ circ} = \ bigvee _ {i \ in I} (x_ {i} ^ { \ circ}).}$

Quantale гомоморфизм является отображение F  : Q ₁ → Q ₂ , сохраняющий соединения и умножения для всех х , у , х _I в Q ₁ , и я в I :

${\ Displaystyle е (ху) = е (х) е (у),}$

${\ displaystyle f \ left (\ bigvee _ {i \ in I} {x_ {i}} \ right) = \ bigvee _ {i \ in I} f (x_ {i}).}$

Смотрите также

• Алгебра отношений

Ссылки

• CJ Mulvey (2001) [1994], "Quantale" , Энциклопедия математики , EMS Press [1]
• J. Paseka, J. Rosicky, Quantales, в: B. Coecke , D. Moore, A. Wilce, (Eds.), Current Research in Operational Quantum Logic: Algebras, Categories and Languages , Fund. Теории Phys., Т. 111, Kluwer Academic Publishers, 2000, стр. 245–262.
• М. Пьяцца, М. Кастеллан, Quantales и структурные правила . Журнал логики и вычислений, 6 (1996), 709–724.
• К. Розенталь, Кванталы и их приложения , Pitman Research Notes in Mathematics Series 234, Longman Scientific & Technical, 1990.