Монодромия - Monodromy

Мнимая часть комплексного логарифма . Попытка определить комплексный логарифм на C \ {0} дает разные ответы по разным путям. Это приводит к бесконечной циклической группе монодромии и покрытию C \ {0} геликоидом (пример римановой поверхности ).

В математике , монодромии является изучение того , как объекты математического анализа , алгебраической топологии , алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии , ведут себя , как они «бегать» а особенность . Как следует из названия, основное значение монодромии происходит от «бегать поодиночке». Он тесно связан с покрывающими картами и их вырождением в разветвление ; аспект, приводящий к феномену монодромии, состоит в том, что некоторые функции, которые мы, возможно, захотим определить, не могут быть однозначными, поскольку мы «пробегаем» путь, окружающий сингулярность. Неудачу монодромии можно измерить, определив группу монодромии : группу преобразований, действующих на данные, которые кодируют то, что происходит, когда мы «бегаем» в одном измерении. Отсутствие монодромии иногда называют полидромией .

Определение

Пусть $Х$ связное и локально связной на основе топологического пространства с отмеченной точкой $х$ , и пусть быть покрытием с волокном . Для петли $γ: [0, 1] \to$ $X,$ основанной на $x$ , обозначим подъем под отображением покрытия, начинающийся в точке , через . Наконец, мы обозначаем конечной точкой , которая обычно отличается от . Есть теоремы , которые утверждают , что эта конструкция дает четко определенные действия группы из фундаментальной группы $П$ $1$ $($ $Х$ $,$ $х$ $)$ на $F$ , а также о том , что стабилизатор из точно , то есть, элемент $[γ]$ фиксирует точка $F$ тогда и только тогда, когда он представлен изображением цикла на основе at . Это действие называется действием монодромии, а соответствующий гомоморфизм $π$ $1$ $($ $X$ $,$ $x$ $) \to Aut ($ $H$ $*$ $($ $F$ $x$ $))$ в группу автоморфизмов на $F$ является алгебраической монодромией . Образ этого гомоморфизма - группа монодромии . Существует еще одно отображение $π$ $1$ $($ $X$ $,$ $x$ $) \to Diff ($ $F$ $x$ $) / Is ($ $F$ $x$ $)$ , образ которого называется группой топологической монодромии . ${\ displaystyle p: {\ tilde {X}} \ to X}$ ${\ Displaystyle F = p ^ {- 1} (х)}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}} \ in F}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ gamma}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}} \ cdot {\ tilde {\ gamma}}}$ ${\ Displaystyle {\ тильда {\ gamma}} (1)}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$ ${\ displaystyle p _ {*} \ left (\ pi _ {1} \ left ({\ tilde {X}}, {\ tilde {x}} \ right) \ right)}$ ${\ Displaystyle {\ тильда {X}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$

Пример

Эти идеи впервые проявились в комплексном анализе . В процессе аналитического продолжения функция, которая является аналитической функцией $F (z)$ в некотором открытом подмножестве $E$ проколотой комплексной плоскости $ℂ \ {0},$ может быть продолжена обратно в $E$ , но с другими значениями. Например, возьмите

{\ Displaystyle {\ begin {выровнен} F (z) & = \ log (z) \\ E & = \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid \ operatorname {Re} (z)> 0 \} \ end {выровнено}}}

затем аналитическое продолжение против часовой стрелки по кругу

{\ displaystyle | z | = 1}

приведет к возврату не к $F (z),$ а

{\ Displaystyle F (г) +2 \ пи я}

В этом случае группа монодромии бесконечна циклическая, а накрывающее пространство является универсальным покрытием проколотой комплексной плоскости. Это покрытие можно представить как геликоид (как определено в статье о геликоиде) с ограничением $ρ > 0$ . Карта покрытия - это вертикальная проекция, в некотором смысле очевидным образом схлопывающая спираль, чтобы получить проколотую плоскость.

Дифференциальные уравнения в комплексной области.

Одно из важных приложений - это дифференциальные уравнения , где одно решение может давать дополнительные линейно независимые решения путем аналитического продолжения . Линейные дифференциальные уравнения , определенные в открытом, подключенном множестве S в комплексной плоскости имеет монодромию группы, которая (точнее) представляет собой линейное представление о фундаментальных группы из S , обобщение всех аналитических продолжений круглых петель внутри S . Обратная задача построения уравнения (с регулярными особенностями ) по заданному представлению называется проблемой Римана – Гильберта .

Для регулярной (и, в частности, фуксовой) линейной системы в качестве образующих группы монодромии обычно выбираются операторы M _j, соответствующие петлям, каждая из которых обходит только один из полюсов системы против часовой стрелки. Если индексы j выбраны таким образом, что они увеличиваются от 1 до p + 1 при обходе базовой точки по часовой стрелке, то единственное соотношение между образующими - равенство . Проблема Делиня – Симпсона - это следующая проблема реализации: для каких наборов классов сопряженности в GL ( n , C ) существуют неприводимые наборы матриц M _j из этих классов, удовлетворяющие указанному выше соотношению? Задача была сформулирована Пьером Делинем, и Карлос Симпсон первым получил результаты в направлении ее решения. Аддитивный вариант задачи об остатках фуксовых систем сформулировал и исследовал Владимир Костов . Проблема рассматривалась другими авторами и для групп матриц, отличных от GL ( n , C ). ${\ Displaystyle M_ {1} \ cdots M_ {p + 1} = \ OperatorName {id}}$

Топологические и геометрические аспекты

В случае накрывающей карты мы рассматриваем ее как частный случай расслоения и используем свойство гомотопического подъема, чтобы «следовать» по путям в базовом пространстве X (мы предполагаем, что оно линейно связано для простоты), когда они поднимаются. до в крышку C . Если мы пройдем по циклу, основанному на x в X , который мы поднимем, чтобы начать с c выше x , мы снова закончим на некотором c * выше x ; вполне возможно, что c ≠ c * , и чтобы закодировать это, рассматривают действие фундаментальной группы $π$ ₁ ( X , x ) как группы перестановок на множестве всех c , как группу монодромии в этом контексте.

В дифференциальной геометрии аналогичную роль играет параллельный перенос . В главном расслоении B над гладким многообразием М , А соединение позволяет «горизонтальное» перемещение из волокон выше м в М к соседним. Эффект при применении к петлям, основанным на m, заключается в определении группы голономии перемещений волокна в m ; если структура группы B является G , то подгруппа G , которая измеряет отклонение B от продукта расслоения M × G .

Группоид монодромии и слоения

Путь в основании имеет пути в общем пространстве, поднимающие его. Продвигаясь по этим путям, мы получаем действие монодромии от фундаментального группоида.

По аналогии с фундаментальным группоидом можно избавиться от выбора базовой точки и определить группоид монодромии. Здесь мы рассматриваем (гомотопические классы) подъемы путей в базовом пространстве X расслоения . Результат имеет структуру группоида над базой пространства X . Преимущество заключается в том, что мы можем отказаться от условия связности X . ${\ displaystyle p: {\ tilde {X}} \ to X}$

Более того, конструкция также может быть обобщена на слоения : рассмотрим слоение M (возможно, особое) . Тогда для каждого пути в листе мы можем рассмотреть его индуцированный диффеоморфизм на локальных трансверсальных сечениях, проходящих через концы. Внутри односвязной карты этот диффеоморфизм становится уникальным и особенно каноническим между различными трансверсальными сечениями, если мы переходим к ростку диффеоморфизма вокруг концов. Таким образом, он также становится независимым от пути (между фиксированными конечными точками) внутри односвязной карты и, следовательно, инвариантен относительно гомотопии. ${\ Displaystyle (М, {\ mathcal {F}})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Определение с помощью теории Галуа

Пусть F ( х ) обозначает поле рациональных функций в переменной х над полем F , который является полем частных этого кольца многочленов F [ х ]. Элемент y = f ( x ) из F ( x ) определяет расширение конечного поля [ F ( x ): F ( y )].

Это расширение обычно не является Галуа, но имеет замыкание Галуа L ( f ). Ассоциированная группа Галуа расширения [ L ( f ): F ( y )] называется группой монодромии f .

В случае F = C теория римановой поверхности допускает геометрическую интерпретацию, данную выше. В случае, когда расширение [ C ( x ): C ( y )] уже является Галуа, ассоциированная группа монодромии иногда называется группой преобразований колоды .

Это связано с теорией Галуа накрывающих пространств, приводящей к теореме существования Римана .

Смотрите также

Группа кос
Теорема монодромии
Группа классов отображения (проколотого диска)

Languages

In other projects