Волокно (математика) - Fiber (mathematics)

В математике термин « волокно» ( американский английский ) или « волокно» ( британский английский ) может иметь два значения в зависимости от контекста:

В наивной теории множеств , то слой из элемента $у$ в множестве Y под отображения $F : X \to Y$ представляет собой прообраз из одноточечного при $F$ . ${\ Displaystyle \ {у \}}$
В алгебраической геометрии , понятие волокна в морфизме из схем должно быть определенно более тщательно , потому что, в общем, не каждая точка закрыта.

Определения

Волокно в теории наивных множеств

Пусть $f : X \to Y$ - отображение . Волокна элемента , обычно обозначается определяется как ${\ displaystyle y \ in Y,}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y),}$

{\ Displaystyle f ^ {- 1} (y): = \ {x \ in X \ mid f (x) = y \}.}

То есть слой

y

под f - это набор элементов в области f , которые отображаются в

y

.

Прообраз или прообраз обобщает понятие волокна к подмножествам из области значений. Обозначение по-прежнему используется для обозначения волокна, поскольку волокно элемента $y$ является прообразом одноэлементного набора , как в . То есть волокно можно рассматривать как функцию от кодомена до набора мощности домена: в то время как прообраз обобщает это на функцию между наборами мощности: ${\ displaystyle f ^ {- 1} (А)}$ ${\ displaystyle A \ substeq Y}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$ ${\ Displaystyle \ {у \}}$ ${\ Displaystyle е ^ {- 1} (\ {у \})}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}: Y \ to {\ mathcal {P}} (X),}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}: {\ mathcal {P}} (Y) \ to {\ mathcal {P}} (X).}$

Если е карты в действительные числа, так что это просто число, то слой также называется множество уровня из $г$ при е : Если е является непрерывной функцией и $у$ находится в изображении от е , то заданный уровень $у$ Under е представляет собой кривую в 2D , поверхность в 3D , а также , в более общем плане гиперповерхность в размерности $г$ $- 1.$ ${\ Displaystyle у \ в \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$ ${\ displaystyle L_ {y} (f).}$