Комплексный логарифм - Complex logarithm

Единственная ветвь комплексного логарифма. Оттенок цвета используется , чтобы показать ARG (полярный угол координат) комплексного логарифма. Насыщенность и значение (интенсивность и яркость) цвета используются для отображения модуля комплексного логарифма.

В математике , А комплексный логарифм является обобщением натурального логарифма к ненулевым комплексным числам . Термин относится к одному из следующих, которые тесно связаны:

Комплексный логарифм ненулевого комплексного числа $z$ , определяемого как любое комплексное число $w,$ для которого $e w = z$ . Такое число $w$ обозначается $log z$ . Если $z$ задан в полярной форме как $z = re iθ$ , где $r$ и $θ$ - действительные числа с $r > 0$ , то $ln (r) + iθ$ - один логарифм $z$ , а все комплексные логарифмы $z$ - это в точности числа форма $ln (r) + i (θ + 2 π k)$ для целых k . Эти логарифмы расположены через равные промежутки по вертикальной линии в комплексной плоскости.
Комплекснозначная функция , определенная на некотором подмножестве множества ненулевых комплексных чисел, удовлетворяющая для всех в . Такие функции комплексного логарифма аналогичны функции действительного логарифма , которая является обратной к действительной экспоненциальной функции и, следовательно, удовлетворяет условию $e$ $ln$ $x$ $=$ $x$ для всех положительных действительных чисел $x$ . Сложные логарифмические функции могут быть построены с помощью явных формул, включающих действительные функции, путем интегрирования или процесса аналитического продолжения . ${\ displaystyle \ log \ двоеточие U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ log z} = z}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ ln \ двоеточие \ mathbb {R} _ {> 0} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle 1 / z}$

Не существует функции непрерывного комплексного логарифма, определенной для всех . Способы решения этой проблемы включают ветви , связанную риманову поверхность и частичные обратные значения комплексной экспоненциальной функции . Главное значение определяет конкретную функцию комплексного логарифма, которая является непрерывной, за исключением отрицательной действительной оси; на комплексной плоскости с отрицательными действительными числами и удаленным 0, это аналитическое продолжение (действительного) натурального логарифма. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Log} \ двоеточие \ mathbb {C} ^ {*} \ to \ mathbb {C}}$

Проблемы с обращением комплексной экспоненциальной функции

График многозначной мнимой части функции комплексного логарифма, на которой показаны ветви. Когда комплексное число z обходит начало координат, мнимая часть логарифма увеличивается или уменьшается. Это делает начало координат точкой ветвления функции.

Чтобы функция имела инверсию, она должна отображать разные значения в разные значения ; то есть он должен быть инъективным . Но комплексная экспоненциальная функция не является инъективной, потому что e ^{w +2 kπi} = e ^w для любого комплексного числа w и целого k , поскольку добавление iθ к w приводит к вращению e ^w против часовой стрелки на θ радиан . Итак, точки

{\ Displaystyle \ ldots, \; вес-4 \ пи я, \; вес-2 \ пи я, \; ш, \; вес + 2 \ пи я, \; вес + 4 \ пи я, \; \ ldots ,}

на равном расстоянии вдоль вертикальной линии, все они отображаются на одно и то же число с помощью экспоненциальной функции. Это означает, что экспоненциальная функция не имеет обратной функции в стандартном смысле. Есть два решения этой проблемы.

Одним из них является , чтобы ограничить область экспоненциальной функции в области , которая не содержит какое - либо два числа , отличающегося на целом кратное 2πi : это естественно приводит к определению ветвей из журнала г , которые являются определенными функциями , которые выделяют один логарифм каждый номер в своих доменах. Это аналогично определению arcsin x на [−1, 1] как обратного ограничения sin θ на интервал [- π / 2, π / 2] : существует бесконечно много действительных чисел θ с sin θ = x , но выбирается произвольно один из [- π / 2, π / 2] .

Другой способ разрешить неопределенность - рассматривать логарифм как функцию, область определения которой не является областью на комплексной плоскости , а является римановой поверхностью, которая покрывает проколотую комплексную плоскость с точностью до 1.

Преимущество ветвей состоит в том, что их можно вычислять комплексными числами. С другой стороны, функция на римановой поверхности элегантна тем, что объединяет все ветви логарифма и не требует произвольного выбора как части своего определения.

Главное значение

Определение

Для каждого ненулевого комплексного числа г , то главное значение входа г представляет собой логарифм которого мнимая часть лежит в интервале (- π , π ] . Выражение входа 0 остается неопределенным , так как не существует комплексное число ш , удовлетворяющих е ^ш = 0.

Для комплексных чисел, которые не являются неположительными действительными числами, главное значение комплексного логарифма является аналитическим продолжением натурального логарифма. Для отрицательных комплексных чисел главное значение получается путем продолжения, выражая отрицательные действительные числа как пределы комплексных чисел с положительными исходными частями.

Когда нотация log z появляется без указания какого-либо конкретного логарифма, обычно лучше предположить, что задано главное значение. В частности, это дает значение, соответствующее действительному значению ln z, когда z - положительное действительное число. Некоторые авторы используют заглавные буквы в обозначении Log, чтобы отличить главное значение от других логарифмов z .

Расчет основной стоимости

Полярная форма ненулевого комплексного числа $г = х + уг$ является $Z = повторно iθ$ , где это абсолютное значение из $г$ , а $θ$ является ее аргумент . Абсолютное значение реально и положительно. Аргумент определяется до сложения целого числа, кратного $2$ $π$ . Его главное значение - это значение, принадлежащее интервалу $(-$ $π$ $,$ $π$ $]$ , которое выражается как $atan2 ($ $y$ $,$ $x$ $)$ . ${\ textstyle r = | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

Это приводит к следующей формуле для главного значения комплексного логарифма:

{\ displaystyle \ operatorname {Log} z = \ ln r + i \ theta = \ ln | z | + i \ operatorname {Arg} z = \ ln {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} } + i \ operatorname {atan2} (y, x).}

Например, $Log (-3 i) = ln 3 - πi / 2$ и $Log (-3) = ln 3 + πi$ .

Главное значение как обратная функция

Другой способ описать Log z - это обратный ограничению комплексной экспоненциальной функции, как в предыдущем разделе. Горизонтальная полоса S, состоящая из комплексных чисел w = x + yi таких, что - π < y ≤ π, является примером области, не содержащей никаких двух чисел, различающихся на целое кратное 2 πi , поэтому ограничение экспоненциальной функции на S имеет обратное. Фактически, экспоненциальная функция биективно отображает S на проколотую комплексную плоскость , и это ограничение является обратным . Раздел конформного отображения ниже объясняет геометрические свойства этой карты более подробно. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*} = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Log} \ двоеточие \ mathbb {C} ^ {*} \ to S}$

Характеристики

Не все тождества, которым удовлетворяет ln, распространяются на комплексные числа. Это верно , что е ^{Лог г} = г для всех г ≠ 0 (это то , что это означает для входа г быть логарифмом г ), но личность вход х ^г = г не выполняется для г вне полосы S . По этой причине не всегда можно применить Log к обеим сторонам тождества e ^z = e ^w, чтобы вывести z = w . Кроме того, тождество Log ( z ₁z ₂ ) = Log z ₁ + Log z ₂ может потерпеть неудачу: две стороны могут отличаться на целое число, кратное 2 πi ; например,

{\ displaystyle \ operatorname {Log} ((-1) i) = \ operatorname {Log} (-i) = \ ln (1) - {\ frac {\ pi i} {2}} = - {\ frac { \ pi i} {2}},}

но

{\ displaystyle \ Operatorname {Log} (-1) + \ Operatorname {Log} (i) = \ left (\ ln (1) + \ pi i \ right) + \ left (\ ln (1) + {\ frac {\ pi i} {2}} \ right) = {\ frac {3 \ pi i} {2}} \ neq - {\ frac {\ pi i} {2}}.}

Функция Log z является разрывной для каждого отрицательного действительного числа, но непрерывной везде в . Чтобы объяснить разрыв, рассмотрим, что происходит с Arg z, когда z приближается к отрицательному действительному числу a . Если z приближается к a сверху, тогда Arg z приближается к π , что также является значением самого Arg a . Но если z приближается к a снизу, то Arg z приближается к - π . Таким образом, Arg z "перескакивает" на 2 π, когда z пересекает отрицательную действительную ось, и аналогично Log z перескакивает на 2 πi . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$

Ветви комплексного логарифма

Есть другой способ выбрать логарифм каждого ненулевого комплексного числа так, чтобы функция L ( г ), непрерывная на все из ? Ответ - нет. Чтобы понять, почему, представьте себе отслеживание такой логарифмической функции по единичной окружности , оценивая L ( e ^iθ ) при увеличении θ от 0 до 2 π . Если L ( z ) непрерывно, то также и L ( e ^iθ ) - iθ , но последний представляет собой разность двух логарифмов e ^iθ , поэтому принимает значения в дискретном наборе , поэтому он постоянен. В частности, L ( e ²^πi ) - 2 πi = L ( e ⁰ ) - 0, что противоречит L ( e ²^πi ) = L (1) = L ( e ⁰ ). ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle 2 \ пи я \ mathbb {Z}}$

Чтобы получить непрерывный логарифм, определенный на комплексных числах, необходимо ограничить область определения меньшим подмножеством U комплексной плоскости. Поскольку одна из целей состоит в том, чтобы иметь возможность дифференцировать функцию, разумно предположить, что функция определена в окрестности каждой точки своей области; другими словами, U должно быть открытым множеством . Кроме того , разумно предположить , что U является связано , так как в противном случае значения функции на различных компонентах U могут быть связаны друг с другом. Все это мотивирует следующее определение:

Ветвь лога - г является непрерывной функцией Ь ( г ) , определенные на связной открытом подмножестве U комплексной плоскости таким образом, что Ь ( г ) представляет собой логарифм г для каждого г в U .

Например, главное значение определяет ветвь на открытом множестве, где она является непрерывной, которая является множеством, полученным путем удаления 0 и всех отрицательных действительных чисел из комплексной плоскости. ${\ displaystyle \ mathbb {C} - \ mathbb {R} _ {\ leq 0}}$

Другой пример: серия Меркатор.

{\ displaystyle \ ln (1 + u) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} u ^ {n} = u - {\ frac {u ^ {2}} {2}} + {\ frac {u ^ {3}} {3}} - \ cdots}

сходится локально равномерно при | u | <1, поэтому установка z = 1+ u определяет ветвь log z на открытом диске радиуса 1 с центром в 1. (Фактически, это всего лишь ограничение Log z , как можно показать, дифференцируя разницу и сравнивая значения в 1.)

После того, как ветвь зафиксирована, ее можно обозначить как «log z », если это не приведет к путанице. Однако разные ветви могут давать разные значения логарифма конкретного комплексного числа, поэтому ветвь должна быть зафиксирована заранее (иначе необходимо понимать главную ветвь), чтобы «log z » имел точное однозначное значение.

Отрезки веток

Приведенный выше аргумент, касающийся единичной окружности, обобщает, чтобы показать, что на открытом множестве U, содержащем замкнутую кривую, которая вьется вокруг нуля , не существует ветви log z. Говорят, что «log z имеет точку ветвления в 0». Чтобы избежать замкнутых кривых, изгибающихся вокруг 0, U обычно выбирается как дополнение луча или кривой в комплексной плоскости, идущей от 0 (включительно) до бесконечности в некотором направлении. В этом случае кривая называется разветвлением . Например, основная ветвь имеет ветвь, разрезанную по отрицательной действительной оси.

Если функцию L ( z ) продолжить до определения в точке разреза ветви, она обязательно будет там разрывной; в лучшем случае он будет непрерывным «с одной стороны», как Log z с отрицательным действительным числом.

Производная комплексного логарифма

Каждая ветвь $Ь (г)$ из $журнала г$ на открытом множестве $U$ является обратным к ограничению экспоненциальной функции, а именно ограничение на изображение $L (U)$ . Поскольку экспонента голоморфна (то есть комплексно дифференцируема) с ненулевой производной, применяется комплексный аналог теоремы об обратной функции . Это показывает , что $L (г)$ голоморфна на $U$ и $L'(г) = 1 / г$ для каждого $г$ в $U$ . Другой способ доказать это - проверить уравнения Коши – Римана в полярных координатах .

Построение веток через интеграцию

Функцию для вещественных чисел можно построить по формуле ${\ Displaystyle \ ln (х)}$ ${\ displaystyle x> 0}$

{\ displaystyle \ ln (x) = \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {du} {u}}.}

Если диапазон интегрирования начинается с положительного числа a, отличного от 1, формула должна быть

{\ displaystyle \ ln (x) = \ ln (a) + \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {du} {u}}}

вместо.

При разработке аналога комплексного логарифма возникает дополнительная сложность: определение комплексного интеграла требует выбора пути. К счастью, если подынтегральное выражение голоморфно, то значение интеграла не изменяется из-за деформации пути (при фиксированных конечных точках), а в односвязной области U (области без «дырок») любой путь от a до z внутри U можно непрерывно деформировать внутри U в любое другое. Все это приводит к следующему:

Если U - односвязное открытое подмножество, не содержащее 0, то ветвь журнала z, определенная на U, может быть построена путем выбора начальной точки a в U , выбора логарифма b числа a и определения

{\ Displaystyle \ mathbb {C}}

{\ displaystyle L (z) = b + \ int _ {a} ^ {z} {\ frac {dw} {w}}}

для каждого г в U .

Комплексный логарифм как конформное отображение

Окружности Re (Log z ) = константа, а лучи Im (Log z ) = постоянная в комплексной плоскости z .

Любое голоморфное отображение , удовлетворяющее для все является конформным отображением , что означает , что если две кривые , проходящих через точку а из U образует угол & alpha ; (в том смысле , что касательные к кривым в виде образует угол & alpha ; ), то изображения две кривые образуют один и тот же угол α в точке f ( a ). Поскольку ветвь log z голоморфна, и поскольку ее производная 1 / z никогда не равна 0, она определяет конформное отображение. ${\ displaystyle f \ двоеточие U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f '(z) \ neq 0}$ ${\ displaystyle z \ in U}$

Например, главная ветвь w = Log z , рассматриваемая как отображение из горизонтальной полосы, определяемой | Im z | < π , имеет следующие свойства, которые являются прямым следствием формулы в терминах полярной формы: ${\ displaystyle \ mathbb {C} - \ mathbb {R} _ {\ leq 0}}$

Окружности на плоскости z с центром в 0 отображаются в вертикальные сегменты на плоскости w, соединяющей a - πi с a + πi , где a - действительный логарифм радиуса окружности.
Лучи, исходящие из 0 на плоскости z , отображаются на горизонтальные линии на плоскости w .

Каждый круг и луч в плоскости z, как указано выше, встречаются под прямым углом. Их изображения в разделе Log представляют собой вертикальный сегмент и горизонтальную линию (соответственно) на w- плоскости, и они также пересекаются под прямым углом. Это иллюстрация конформного свойства Log.

Ассоциированная риманова поверхность

Визуализация римановой поверхности log z . Поверхность кажется спиральной вокруг вертикальной линии, соответствующей началу комплексной плоскости. Фактическая поверхность произвольно простирается как по горизонтали, так и по вертикали, но на этом изображении обрезана.

Строительство

Различные ветви $log z$ не могут быть склеены для получения единой непрерывной функции, потому что две ветви могут давать разные значения в точке, где обе определены. Сравните, например, главную ветвь $Log ($ $z$ $)$ on с мнимой частью $θ$ в $(-$ $π$ $,$ $π$ $)$ и ветвь $L$ $($ $z$ $),$ на которой мнимая часть $θ$ лежит в $(0,2$ $π$ $)$ . Они совпадают в верхней полуплоскости , но не в нижней полуплоскости. Так что есть смысл приклеивать домены этих ветвей только по копиям верхней полуплоскости . Получившаяся склеенная область связная, но имеет две копии нижней полуплоскости. Эти две копии могут быть визуализированы как два уровня гаража, и можно перейти от уровня логарифма нижней полуплоскости до уровня L нижней полуплоскости, повернувшись на $360 °$ против часовой стрелки вокруг $0$ , сначала пересекая положительное вещественное число. ось ( уровня $Log$ ) в общую копию верхней полуплоскости, а затем пересекает отрицательную действительную ось ( уровня $L$ ) в уровень $L$ нижней полуплоскости. ${\ displaystyle \ log \ двоеточие \ mathbb {C} ^ {*} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} - \ mathbb {R} _ {\ leq 0}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} - \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$

Можно продолжить, склеивая ветви с мнимой частью $θ$ в $(π, 3 π)$ , в $(2 π, 4 π)$ и т. Д., А в другом направлении - ветви с мнимой частью $θ$ в $(-2 π, 0)$ , в $(-3 π, - π)$ и т. д. Конечным результатом является соединенная поверхность, которую можно рассматривать как спиралевидный гараж с бесконечным количеством уровней, простирающихся как вверх, так и вниз. Это риманова поверхность $R,$ ассоциированная с $log z$ .

Точку на $R$ можно представить как пару $(z, θ),$ где $θ$ - возможное значение аргумента $z$ . Таким образом, $R$ может быть встроен в . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ times \ mathbb {R} \ приблизительно \ mathbb {R} ^ {3}}$

Функция логарифма на римановой поверхности

Поскольку области ветвей были склеены только вдоль открытых наборов, где их значения согласовывались, ветви склеивались, давая единую четко определенную функцию . Он отображает каждую точку ( z , θ ) на R в ln | z | + iθ . Этот процесс расширения исходной ветви Log путем склейки совместимых голоморфных функций известен как аналитическое продолжение . ${\ displaystyle \ log _ {R} \ двоеточие R \ to \ mathbb {C}}$

Существует «карта проекции» от R вниз до того, что «сглаживает» спираль, отправляя ( z , θ ) в z . Для любого , если взять все точки ( z , θ ) R, лежащие «непосредственно над» z, и вычислить log _R во всех этих точках, получатся все логарифмы z . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle г \ в \ mathbb {C} ^ {*}}$

Склеиваем все ветки бревна z

Вместо того , чтобы склеивание только ветви , выбранные выше, можно начать с все ветвями журнала г , и одновременно приклеить каждую пару ветвей и вдоль наибольшего открытого подмножества , на котором L ₁ и L ₂ согласен. Это дает ту же риманову поверхность R и функцию log _R, что и раньше. Этот подход, хотя и немного сложнее для визуализации, более естественен, поскольку не требует выделения каких-либо конкретных ветвей. ${\ Displaystyle L_ {1} \ двоеточие U_ {1} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle L_ {2} \ двоеточие U_ {2} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle U_ {1} \ cap U_ {2}}$

Если U 'представляет собой открытое подмножество R проецирование взаимно однозначно ее образ U в , то ограничение журнала _R к ¯u ' соответствует ветви логарифма г , определенной на U . Таким образом возникает каждая ветвь журнала z . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$

Риманова поверхность как универсальное покрытие

Проекция реализует R как охватывающее пространство от . Фактически, это покрытие Галуа с группой преобразований колоды, изоморфной группе , порожденной гомеоморфизмом, переводящим ( z , θ ) в ( z , θ +2 π ). ${\ displaystyle R \ to \ mathbb {C} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

В качестве комплексного многообразия , R является биголоморфен с помощью протокола _R . (Обратное отображение сопоставляет г в ( е ^г , Im г ).) Это показывает , что R односвязна, поэтому R является универсальной покрышкой из . ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$

Приложения

Комплексный логарифм необходим для определения возведения в степень, в котором основание является комплексным числом. А именно, если $a$ и $b$ - комплексные числа с $a \neq 0$ , можно использовать главное значение для определения $a b = e b Log a$ . Можно также заменить $Log a$ другими логарифмами $a,$ чтобы получить другие значения $a b$ , отличающиеся множителями вида $e 2π inb$ . Выражение $a b$ имеет единственное значение тогда и только тогда, когда $b$ является целым числом.
Поскольку тригонометрические функции могут быть выражены как рациональные функции от $e iz$ , обратные тригонометрические функции могут быть выражены в терминах комплексных логарифмов.
Поскольку отображение $w = Log z$ преобразует круги с центром в $0$ в вертикальные отрезки прямых линий, это полезно в инженерных приложениях, связанных с кольцевым пространством .

Обобщения

Логарифмы к другим основаниям

Как и для действительных чисел, для комплексных чисел b и x можно определить

{\ displaystyle \ log _ {b} x = {\ frac {\ log x} {\ log b}},}

с единственной оговоркой, что его значение зависит от выбора ветви журнала, определенной в b и x (с log b ≠ 0). Например, использование главного значения дает

{\ displaystyle \ log _ {i} e = {\ frac {\ operatorname {Log} e} {\ operatorname {Log} i}} = {\ frac {1} {\ pi i / 2}} = - {\ гидроразрыв {2i} {\ pi}}.}

Логарифмы голоморфных функций

Если F является голоморфной функцией на связное открытое подмножество U в , а затем ветвь журнала F на U является непрерывной функцией г на U таким образом, что е ^г⁽^г⁾ = е ( г ) для всех г в U . Такая функция г обязательно голоморфен г ' ( г ) = е' ( г ) / е ( г ) для всех г в U . ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Если U - односвязное открытое подмножество , а f - голоморфная функция, нигде не исчезающая на U , то ветвь log f, определенная на U, может быть построена путем выбора начальной точки a в U , выбора логарифма b функции f ( а ) и определяя ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle g (z) = b + \ int _ {a} ^ {z} {\ frac {f '(w)} {f (w)}} \, dw}