Идеальный номер - Ideal number

В теории чисел идеальное число является целым алгебраическим , которое представляет собой идеал в кольце целых чисел в поле номера ; идея была разработана Куммером , и привела к Дедекинд определению «s из идеалов для колец. Идеал в кольце целых чисел поля алгебраических чисел является главным, если он состоит из кратных единственного элемента кольца, и неглавным в противном случае. По теореме о главном идеале любой неглавный идеал становится главным при расширении до идеала поля классов Гильберта . Это означает, что существует элемент кольца целых чисел поля классов Гильберта, который является идеальным числом, такой, что исходный неглавный идеал равен совокупности всех кратных этого идеального числа элементов этого кольца целых чисел, которые лежат в кольце целых чисел исходного поля.

пример

Например, пусть y является корнем y ² + y + 6 = 0, тогда кольцо целых чисел поля равно , что означает, что все a + by с целыми числами a и b образуют кольцо целых чисел. Примером неглавного идеала в этом кольце является множество всех 2 a + yb, где a и b - целые числа; куб этого идеала главный, и на самом деле группа классов циклическая третьего порядка. Соответствующее поле классов получается присоединением элемента w, удовлетворяющего w ³ - w - 1 = 0, к , давая . Идеальное число для неглавного идеала 2 a + yb равно . Поскольку это удовлетворяет уравнению, это целое алгебраическое число. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (у)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [y]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (у)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (у, ш)}$${\ displaystyle \ iota = (- 8-16y-18w + 12w ^ {2} + 10yw + yw ^ {2}) / 23}$${\ displaystyle \ iota ^ {6} -2 \ iota ^ {5} +13 \ iota ^ {4} -15 \ iota ^ {3} +16 \ iota ^ {2} +28 \ iota + 8 = 0}$

Все элементы кольца целых чисел поля классов, которые при умножении на ι дают результат в, имеют вид a α +  b β, где ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [y]}$

${\ Displaystyle \ альфа = (- 7 + 9y-33w-24w ^ {2} + 3yw-2yw ^ {2}) / 23}$

и

${\ displaystyle \ beta = (- 27-8y-9w + 6w ^ {2} -18yw-11yw ^ {2}) / 23.}$

Коэффициенты α и β также являются целыми алгебраическими числами, удовлетворяющими

${\ displaystyle \ alpha ^ {6} +7 \ alpha ^ {5} +8 \ alpha ^ {4} -15 \ alpha ^ {3} +26 \ alpha ^ {2} -8 \ alpha + 8 = 0}$

и

${\ displaystyle \ beta ^ {6} +4 \ beta ^ {5} +35 \ beta ^ {4} +112 \ beta ^ {3} +162 \ beta ^ {2} +108 \ beta + 27 = 0}$

соответственно. Умножение a α + b β на идеальное число ι дает 2 a + by , который является неглавным идеалом.

История

Куммер впервые опубликовал неудачу уникальной факторизации в круговых полях в 1844 году в малоизвестном журнале; он был перепечатан в 1847 году в журнале Лиувилля . В последующих статьях 1846 и 1847 годов он опубликовал свою основную теорему об уникальном разложении на (действительные и идеальные) простые числа.

Широко распространено мнение, что Куммер пришел к своим «идеальным комплексным числам» благодаря его интересу к Великой теореме Ферма ; часто рассказывается даже история о том, что Куммер, как и Ламе , считал, что доказал Великую теорему Ферма, пока Лежен Дирихле не сказал ему, что его аргумент основан на уникальной факторизации; но эта история была впервые рассказана Куртом Хензелем в 1910 году, и есть свидетельства того, что она, вероятно, возникла из-за недоразумений одного из источников Хензеля. Гарольд Эдвардс говорит, что мнение о том, что Куммера в основном интересовала Великая теорема Ферма, «безусловно ошибочно» (Edwards 1977, p. 79). Использование Куммером буквы λ для обозначения простого числа, α для обозначения корня λ-й степени из единицы и его исследование факторизации простого числа в «комплексные числа, составленные из корней-й степени из единицы» - все напрямую вытекает из статьи Якоби, которая касается более высоких законов взаимности . Мемуары Куммера 1844 года были посвящены празднованию юбилея Кенигсбергского университета и были задуманы как дань уважения Якоби. Хотя Куммер изучал Великую теорему Ферма в 1830-х годах и, вероятно, знал, что его теория будет иметь значение для ее изучения, более вероятно, что предмет интересов Якоби (и Гаусса ) - высшие законы взаимности - имел для него большее значение. Куммер называл свое частичное доказательство Великой теоремы Ферма для обычных простых чисел «любопытством теории чисел, а не основным предметом», а высший закон взаимности (который он сформулировал как гипотезу) - «главным предметом и вершиной теории чисел ». современная теория чисел ". С другой стороны, это последнее заявление было сделано, когда Куммер все еще был взволнован успехом своей работы по взаимности и когда его работа над Великой теоремой Ферма выдыхалась, поэтому, возможно, к нему можно отнестись с некоторым скептицизмом. ${\ Displaystyle п \ эквив 1 {\ pmod {\ lambda}}}$${\ displaystyle \ lambda}$

Распространение идей Куммера на общий случай было осуществлено независимо Кронекером и Дедекиндом в течение следующих сорока лет. Прямое обобщение натолкнулось на огромные трудности, и в конечном итоге привело Дедекинда к созданию теории модулей и идеалов . Кронекер справился с трудностями, разработав теорию форм (обобщение квадратичных форм ) и теорию дивизоров . Вклад Дедекинда станет основой теории колец и абстрактной алгебры , а вклад Кронекера станет основным инструментом в алгебраической геометрии .

Ссылки

• Николя Бурбаки , Элементы истории математики. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1999.
• Гарольд М. Эдвардс , Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в теорию чисел. Тексты для выпускников по математике vol. 50, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1977.
• К.Г. Якоби, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. дер. Акад. Wiss. Берлин (1839) 89-91.
• EE Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Кенигсберг, 1844 г .; перепечатано в Jour. de Math. 12 (1847) 185-212.
• EE Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
• Джон Стиллвелл , введение Ричарда Дедекинда в теорию алгебраических целых чисел . Кембриджская математическая библиотека, Cambridge University Press, Великобритания, 1996.

внешние ссылки

• Идеальные числа. Доказательство того, что теория идеальных чисел сохраняет уникальную факторизацию круговых целых чисел в блоге Ферма о Великой теореме .