Теорема об основном идеале - Principal ideal theorem

Эта статья о Хауптидальзаце теории поля классов. По поводу теоремы о нётеровых кольцах см . Теорему Крулля об основном идеале .

В математике , то главный идеал теорема о теории полей классов , ветвь теории алгебраических чисел , говорит , что расширение идеалов дает отображение на группы классов в качестве поля алгебраических чисел к группе классов своего поля класса Гильберта , который посылает все идеальные классы к классу главного идеала. Это явление также называют принципализацией , а иногда и капитуляцией .

Официальное заявление

Для любого поля алгебраических чисел К и любого идеала I в кольце целых чисел из K , если L представляет собой поле классов Гильберта из K , то

- главный идеал α O L , для O L кольцо целых чисел L и некоторого элемента α в нем.

История

Теорема об основных идеалах была выдвинута Дэвидом Гильбертом  ( 1902 г. ) и была последним аспектом его программы по полям классов, завершенным в 1929 г.

Эмиль Артин ( 1927 , 1929 ) свел теорему об основном идеале к вопросу о конечных абелевых группах: он показал, что из нее следует, если переход от конечной группы к ее производной подгруппе тривиален. Этот результат был доказан Филиппом Фуртвенглером ( 1929 ).

Рекомендации

  • Артин, Эмиль (1927), «Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 5 (1): 353–363, doi : 10.1007 / BF02952531 , S2CID  123050778
  • Артин, Эмиль (1929), "Idealklassen в Oberkörpern унд Allgemeines Reziprozitätsgesetz", Abhandlungen AUS DEM Mathematischen семинар - дер - Universität Hamburg , 7 (1): 46-51, DOI : 10.1007 / BF02941159 , S2CID  121475651
  • Фуртвенглер, Филипп (1929). "Beweis des Hautilealsatzes fur Klassenkörper algebraischer Zahlkörper". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 7 : 14–36. DOI : 10.1007 / BF02941157 . JFM  55.0699.02 . S2CID  123544263 .
  • Гра, Жорж (2003). Теория поля классов. От теории к практике . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-44133-6. Zbl  1019.11032 .
  • Гильберта, Дэвид (1902) [1898], "Убер умереть Теорье дер-relativ Zahlkörper абелевых", Acta Mathematica , 26 (1): 99-131, DOI : 10.1007 / BF02415486
  • Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Энцикл. Математика. Sci. 62 (2-е изд. 1-го изд.). Springer-Verlag . п. 104. ISBN 3-540-63003-1. Zbl  0819.11044 .
  • Серр, Жан-Пьер (1979). Местные поля . Тексты для выпускников по математике . 67 . Перевод Гринберга, Марвин Джей . Springer-Verlag . С. 120–122. ISBN 0-387-90424-7. Zbl  0423.12016 .