Теорема Гуревича - Hurewicz theorem

В математике , то теорема Гуревича является основным результатом алгебраической топологии , соединяясь гомотопической теорией с теорией гомологии с помощью карты , известной как гомоморфизм Гуревича . Теорема названа в честь Витольда Гуревича и обобщает более ранние результаты Анри Пуанкаре .

Формулировка теорем

Теоремы Гуревича являются ключевым звеном между гомотопическими группами и группами гомологий .

Абсолютная версия

Для любого линейно связного пространства X и натурального числа n существует групповой гомоморфизм

{\ displaystyle h _ {*} \ двоеточие \ pi _ {n} (X) \ to H_ {n} (X),}

называется гомоморфизмом Гуревича , от n -й гомотопической группы к n -й группе гомологий (с целыми коэффициентами). Он задается следующим образом: выбирается канонический образующий , затем берется гомотопический класс отображений . ${\ Displaystyle и_ {п} \ в Н_ {п} (S ^ {п})}$ ${\ displaystyle f \ in \ pi _ {n} (X)}$ ${\ displaystyle f _ {*} (u_ {n}) \ in H_ {n} (X)}$

Поскольку этот гомоморфизм индуцирует изоморфизм ${\ Displaystyle п = 1}$

{\ displaystyle {\ tilde {h}} _ {*} \ двоеточие \ pi _ {1} (X) / [\ pi _ {1} (X), \ pi _ {1} (X)] \ to H_ {1} (X)}

между абелианизацией первой гомотопической группы ( фундаментальной группы ) и первой группы гомологий.

Если и X является связным , отображение Гуревича является изоморфизмом. Кроме того, отображение Гуревича в этом случае является эпиморфизмом . ${\ Displaystyle п \ geq 2}$ ${\ Displaystyle (п-1)}$ ${\ displaystyle h _ {*} \ двоеточие \ pi _ {n} (X) \ to H_ {n} (X)}$ ${\ displaystyle h _ {*} \ двоеточие \ pi _ {n + 1} (X) \ to H_ {n + 1} (X)}$

Относительная версия

Для любой пары пространств и целого числа существует гомоморфизм ${\ Displaystyle (Х, А)}$ ${\ displaystyle k> 1}$

{\ displaystyle h _ {*} \ двоеточие \ pi _ {k} (X, A) \ to H_ {k} (X, A)}

от относительных гомотопических групп к относительным гомологическим группам. Относительная теорема Гуревича утверждает, что если оба и связаны, а пара -связна, то for и получается из путем факторизации действия . Это доказано, например, в работе Уайтхеда (1978) по индукции, доказывающей, в свою очередь, абсолютную версию и лемму о гомотопическом сложении. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle (п-1)}$ ${\ displaystyle H_ {k} (X, A) = 0}$ ${\ Displaystyle к <п}$ ${\ Displaystyle Н_ {п} (Х, А)}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {п} (Х, А)}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (А)}$

Эта относительная теорема Гуревича переформулирована Брауном и Хиггинсом (1981) как утверждение о морфизме

{\ displaystyle \ pi _ {n} (X, A) \ to \ pi _ {n} (X \ чашка CA),}

где обозначает конус из . Это утверждение является частным случаем гомотопической теоремы об вырезании , включающей индуцированные модули для (скрещенных модулей if ), которая сама выводится из теоремы Ван Кампена о высшей гомотопии для относительных гомотопических групп, доказательство которой требует развития техники кубического высшего гомотопического группоида. фильтрованного пространства. ${\ displaystyle CA}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle n> 2}$ ${\ displaystyle n = 2}$

Триадическая версия

Для любой триады пространств (т. Е. Пространства X и подпространств A , B ) и целого числа существует гомоморфизм ${\ Displaystyle (Х; А, В)}$ ${\ displaystyle k> 2}$

{\ displaystyle h _ {*} \ двоеточие \ pi _ {k} (X; A, B) \ to H_ {k} (X; A, B)}

от триадных гомотопических групп к триадным гомологическим группам. Обратите внимание, что

{\ displaystyle H_ {k} (X; A, B) \ cong H_ {k} (X \ cup (C (A \ cup B))).}

Триады Гуревич теорема утверждает , что если Х , , B , и соединена, пар и являются -связным и -связным, соответственно, и триада является связной, то для и получается из факторизации действия и тому обобщенные продукты Уайтхеда. Доказательство этой теоремы использует теорему о высшем гомотопическом типе ван Кампена для триадических гомотопических групп, которая требует понятия фундаментальной -группы n -куба пространств. ${\ displaystyle C = A \ cap B}$ ${\ Displaystyle (А, С)}$ ${\ displaystyle (B, C)}$ ${\ Displaystyle (п-1)}$ ${\ Displaystyle (д-1)}$ ${\ Displaystyle (Х; А, В)}$ ${\ Displaystyle (п + д-2)}$ ${\ displaystyle H_ {k} (X; A, B) = 0}$ ${\ Displaystyle к <р + д-2}$ ${\ Displaystyle Н_ {п + д-1} (Х; А)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {p + q-1} (X; A, B)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (A \ cap B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {кошка} ^ {n}}$

Версия симплициального набора

Теорема Гуревича для топологических пространств также может быть сформулирована для n -связных симплициальных множеств, удовлетворяющих условию Кана.

Рациональная теорема Гуревича

Рациональная теорема Гуревича: Пусть X - односвязное топологическое пространство с при . Тогда отображение Гуревича ${\ displaystyle \ pi _ {я} (X) \ otimes \ mathbb {Q} = 0}$ ${\ displaystyle i \ leq r}$

{\ displaystyle h \ otimes \ mathbb {Q} \ двоеточие \ pi _ {i} (X) \ otimes \ mathbb {Q} \ longrightarrow H_ {i} (X; \ mathbb {Q})}

индуцирует изоморфизм для и сюръекцию для . ${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq 2r}$ ${\ Displaystyle я = 2r + 1}$

Languages

In other projects