Симплициальный набор - Simplicial set

В математике , симплициальное множество является объектом из «симплексов» определенным образом. Симплициальные множества - это многомерные обобщения ориентированных графов , частично упорядоченных множеств и категорий . Формально симплициальное множество можно определить как контравариантный функтор из симплексной категории в категорию множеств . Симплициальные множества были введены в 1950 г. Самуэлем Эйленбергом и Дж. А. Зильбером.

Симплициальное множество можно рассматривать как чисто комбинаторную конструкцию, предназначенную для улавливания понятия « хорошо управляемого » топологического пространства для целей теории гомотопии . В частности, категория симплициальных множеств несет естественную модельную структуру , а соответствующая гомотопическая категория эквивалентна известной гомотопической категории топологических пространств.

Симплициальные множества используются для определения квазикатегорий , основного понятия теории высших категорий . Конструирование, аналогичное построению симплициальных множеств, может быть выполнено в любой категории, а не только в категории множеств, что дает понятие симплициальных объектов .

Мотивация

Симплициальное множество - это категориальная (то есть чисто алгебраическая) модель, охватывающая те топологические пространства, которые могут быть построены (или точно представлены с точностью до гомотопии) из симплексов и их отношений инцидентности. Это похоже на подход CW-комплексов к моделированию топологических пространств с той важной разницей, что симплициальные множества являются чисто алгебраическими и не несут никакой фактической топологии.

Чтобы вернуться к актуальным топологическим пространствам, существует функтор геометрической реализации, который превращает симплициальные множества в компактно порожденные хаусдорфовы пространства . Большинство классических результатов о комплексах CW в теории гомотопий обобщаются аналогичными результатами для симплициальных множеств. В то время как алгебраические топологи в основном по-прежнему предпочитают комплексы CW, растет число исследователей, заинтересованных в использовании симплициальных множеств для приложений в алгебраической геометрии, где комплексы CW естественно не существуют.

Интуиция

Симплициальные множества можно рассматривать как многомерное обобщение направленных мультиграфов . Симплициальный набор содержит вершины (известные в данном контексте как «0-симплексы») и стрелки («1-симплексы») между некоторыми из этих вершин. Две вершины могут быть соединены несколькими стрелками, также разрешены направленные петли, которые соединяют вершину с самой собой. В отличие от направленных мультиграфов, симплициальные множества могут также содержать высшие симплексы. А 2-симплекс, например, может рассматриваться как двумерная форма «треугольной» ограничена списком из трех вершин , B , C и три стрелки B → C , → C и → B . В общем, n -симплекс - это объект, составленный из списка n + 1 вершин (которые являются 0-симплексами) и n + 1 граней (которые являются ( n - 1) -симплексами). Вершины i -й грани - это вершины n -симплекса за вычетом i -й вершины. Вершины симплекса не обязательно должны быть различными, и симплекс не определяется своими вершинами и гранями: два разных симплекса могут иметь один и тот же список граней (и, следовательно, один и тот же список вершин), точно так же, как две разные стрелки в мультиграфе могут соедините такие же две вершины.

Симплициальные множества не следует путать с абстрактными симплициальными комплексами , которые обобщают простые неориентированные графы, а не ориентированные мультиграфы.

Формально симплициальное множество X - это набор множеств X _n , n = 0, 1, 2, ..., вместе с некоторыми отображениями между этими наборами: карты граней d _{n , i} : X _n → X _{n −1} ( n = 1, 2, 3, ... и 0 ≤ i ≤ n ) и отображения вырождения s _{n , i} : X _n → X _{n +1} ( n = 0, 1, 2, ... и 0 ≤ i ≤ п ). Мы считаем , что из элементов X _п как п -simplices из X . Карта d _{n , i} присваивает каждому такому n -симплексу его i -ю грань, грань «противоположную» (т.е. не содержащую) i -й вершины. Отображение s _{n , i} присваивает каждому n -симплексу вырожденный ( n +1) -симплекс, который возникает из данного, дублируя i -ю вершину. Это описание неявно требует определенных отношений согласованности между отображениями d _{n , i} и s _{n , i} . Вместо того, чтобы явно требовать эти симплициальные тождества как часть определения, короткое и элегантное современное определение использует язык теории категорий .

Формальное определение

Обозначим через Δ симплекс-категорию . Объектами ∆ являются непустые линейно упорядоченные множества вида

[ n ] = {0, 1, ..., n }

с n ≥0. Морфизмы в ∆ являются (нестрого) сохраняющими порядок функциями между этими множествами.

Симплициальное множество Х представляет собой контравариантный функтор

X : Δ → Установить

где Set - категория множеств . ( В качестве альтернативы , и то же, можно определить симплициальные множества как ковариантные функторы из противоположной категории Д ^ора в комплект .) Поэтому Симплициальные множества ничего , кроме предпучки на А. Учитывая симплициальное множество X, мы часто пишем X _n вместо X ([ n ]).

Симплициальные множества образуют категорию, обычно обозначаемую sSet , объекты которой являются симплициальными множествами, а морфизмы - естественными преобразованиями между ними.

Если рассматривать ковариантные функторы X : ∆ → Set вместо контравариантных, мы приходим к определению косимплициального множества . Соответствующая категория косимплициальных множеств обозначается cSet .

Карты лиц и вырождения

Симплекс категории Δ порождается два особо важными семействами морфизмов (карты), образа которых при заданном симплициальном множестве функтора называется карты лиц и вырождение карта этого симплициального множество.

На картах лица симплициалъного набора X образа в этом симплициальном множестве морфизмов , где является единственным ( с сохранением порядка) инъекция , что «промахи» . Обозначим эти карты граней соответственно, так что это карта . Если первый индекс ясен, мы пишем вместо . ${\ displaystyle \ delta ^ {n, 0}, \ dotsc, \ delta ^ {n, n} \ двоеточие [n-1] \ to [n]}$ ${\ Displaystyle \ delta ^ {п, я}}$ ${\ Displaystyle [п-1] \ к [п]}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle d_ {n, 0}, \ dotsc, d_ {n, n}}$ ${\ displaystyle d_ {n, i}}$ ${\ displaystyle X_ {n} \ to X_ {n-1}}$ ${\ displaystyle d_ {i}}$ ${\ displaystyle d_ {n, i}}$

В вырождении карты симплициального множество X образа в этом симплициальном множестве морфизмов , где является единственным ( с сохранением порядка) сюръекция , что «хиты» дважды. Обозначим эти отображения вырождения соответственно, так что это отображение . Если первый индекс ясен, мы пишем вместо . ${\ displaystyle \ sigma ^ {n, 0}, \ dotsc, \ sigma ^ {n, n} \ двоеточие [n + 1] \ to [n]}$ ${\ Displaystyle \ sigma ^ {п, я}}$ ${\ Displaystyle [п + 1] \ к [п]}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle s_ {n, 0}, \ dotsc, s_ {n, n}}$ ${\ displaystyle s_ {n, i}}$ ${\ Displaystyle X_ {n} \ к X_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle s_ {i}}$ ${\ displaystyle s_ {n, i}}$

Определенные карты удовлетворяют следующим симплициальным тождествам :

${\ displaystyle d_ {i} d_ {j} = d_ {j-1} d_ {i}}$ если i < j . (Это сокращение от if 0 ≤ i < j ≤ n .) ${\ Displaystyle d_ {n-1, i} d_ {n, j} = d_ {n-1, j-1} d_ {n, i}}$
${\ displaystyle d_ {i} s_ {j} = s_ {j-1} d_ {i}}$ если i < j .
${\ displaystyle d_ {i} s_ {j} = {\ text {id}}}$ если i = j или i = j + 1.
${\ displaystyle d_ {i} s_ {j} = s_ {j} d_ {i-1}}$ если i > j + 1.
${\ displaystyle s_ {i} s_ {j} = s_ {j + 1} s_ {i}}$ если i ≤ j .

Наоборот, если дана последовательность множеств X _n вместе с отображениями и которые удовлетворяют симплициальным тождествам, существует единственное симплициальное множество X, которое имеет эти грани и карты вырождения. Таким образом, тождества предоставляют альтернативный способ определения симплициальных множеств. ${\ displaystyle d_ {n, i}: X_ {n} \ to X_ {n-1}}$ ${\ displaystyle s_ {n, i}: X_ {n} \ to X_ {n + 1}}$

Примеры

Учитывая частично упорядоченное множество ( S , ≤), мы можем определить симплициальное множество NS , то нерв из S , следующим образом : для каждого объекта [ п ] из А положит NS ([ п ]) = Хомы _{ро-множество} ([ п ], S ), порядок , сохраняющая карта из [ п ] к S . Каждый морфизм φ: [ n ] → [ m ] в ∆ является отображением, сохраняющим порядок, и посредством композиции индуцирует отображение NS (φ): NS ([ m ]) → NS ([ n ]). Несложно проверить, что NS является контравариантным функтором от Δ к Set : симплициальному множеству.

Конкретно, n -симплексы нерва NS , то есть элементы NS _n = NS ([ n ]), можно рассматривать как последовательности элементов из S : ( a ₀ ≤ a ₁₎ упорядоченной длины ( n +1). ≤ ... ≤ a _n ). Карта лица d _i удаляет i -й элемент из такого списка, а карта вырождения s _i дублирует i -й элемент.

Подобная конструкция может быть выполнена для каждой категории C , чтобы получить нерв NC из C . Здесь NC ([ n ]) - это множество всех функторов от [ n ] до C , где мы рассматриваем [ n ] как категорию с объектами 0,1, ..., n и единственным морфизмом от i до j всякий раз, когда я ≤ j .

Конкретно, n -симплексы нерва NC можно рассматривать как последовательности n составных морфизмов в C : a ₀ → a ₁ → ... → a _n . (В частности, 0-симплексы являются объектами C, а 1-симплексы являются морфизмами C. ) Карта граней d ₀ отбрасывает первый морфизм из такого списка, карта граней d _n отбрасывает последний, и карта граней d _i для 0 < i < n отбрасывает a _i и составляет i- й и ( i + 1) -й морфизмы. Карты вырождения s _i удлиняют последовательность, вставляя тождественный морфизм в позицию i .

Мы можем восстановить позет S из нерва NS и категорию C из нерва NC ; в этом смысле симплициальные множества обобщают наборы и категории.

Другой важный классом примеров симплициальных множеств задаются сингулярным множество SY топологического пространства Y . Здесь SY _п состоит из всех непрерывных отображений из стандартных топологической п симплекса к Y . Особое множество более подробно объясняется ниже.

Стандартный n -симплекс и категория симплексов

Стандарт п -симплекс , обозначается Δ ^п , является симплициальное множество определяется как функтор Хом _А (-, [ п ]) , где [ п ] обозначает упорядоченное множество {0, 1, ..., п } первого ( n + 1) целые неотрицательные числа. (Во многих текстах он записывается как hom ([ n ], -), где понимается, что homset находится в противоположной категории Δ ^op .)

К Йонеды лемме , то п -simplices симплициального множества X стенда в соответствии с 1-1 естественными преобразованиями из А ^н к X, то есть . ${\ displaystyle X_ {n} = X ([n]) \ cong \ operatorname {Nat} (\ operatorname {hom} _ {\ Delta} (-, [n]), X) = \ operatorname {hom} _ { \ textbf {sSet}} (\ Delta ^ {n}, X)}$

Кроме того, X порождает категорию симплексов , обозначаемую как , объекты которой являются отображениями ( т.е. естественными преобразованиями) Δ ⁿ → X, а морфизмы - естественными преобразованиями Δ ⁿ → Δ ^m над X, возникающими из отображений [ n ] → [ m ] в Δ. То есть, это срез категории из А над X . В следующем изоморфизме показывает , что симплициальное множество X является копределом его симплексов: ${\ displaystyle \ Delta \ downarrow {X}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ downarrow {X}}$

{\ displaystyle X \ cong \ varinjlim _ {\ Delta ^ {n} \ to X} \ Delta ^ {n}}

где копредел берется по категории симплексов X .

Геометрическая реализация

Существует функтор | • |: sSet → CGHaus, называемый геометрической реализацией, переводящей симплициальное множество X в соответствующую ему реализацию в категории компактно порожденных хаусдорфовых топологических пространств . Интуитивно, реализация X - это топологическое пространство (на самом деле комплекс CW ), получаемое, если каждый n- симплекс X заменяется топологическим n- симплексом (некоторым n- мерным подмножеством ( n + 1) -мерного евклидова пространства определенно ниже) , и эти топологические симплексы склеиваются в моде симплексов X откос вместе. При этом ориентация симплексов X теряется.

Чтобы определить функтор реализации, сначала определим его на стандартных n-симплексах Δ ⁿ следующим образом: геометрическая реализация | Δ ⁿ | стандартный топологический n - симплекс общего положения, задаваемый формулой

{\ displaystyle | \ Delta ^ {n} | = \ {(x_ {0}, \ dots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1}: 0 \ leq x_ {i} \ leq 1, \ sum x_ {i} = 1 \}.}

Затем определение естественным образом распространяется на любое симплициальное множество X , полагая

| X | = lim _{Δ ⁿ → X} | Δ ⁿ |

где копределом берется по п-симплекс категории X . Геометрическая реализация функториальна на sSet .

Важно отметить , что мы используем категорию CGHaus компактно порожденных пактов, а не категории Top топологических пространств, в качестве целевой категории геометрической реализации: как SSET и в отличие от Top , категория CGHaus является декартово замкнутой ; категоричен продукт определяются по- разному в категориях Top и CGHaus , и один в CGHaus соответствует одному в SSET через геометрическую реализацию.

Особый набор для пространства

Сингулярное множество топологического пространства Y представляет собой симплициальное множество С.Ю. определяется

( SY ) ([ n ]) = hom _{T op} (| Δ ⁿ |, Y ) для каждого объекта [ n ] ∈ Δ.

Каждое сохраняющее порядок отображение φ: [ n ] → [ m ] индуцирует непрерывное отображение | ∆ ⁿ | → | ∆ ^m | естественным образом, что по композиции дает SY ( φ ): SY ([ m ]) → SY ([ n ]). Это определение аналогично стандартной идее сингулярных гомологий «исследования» целевого топологического пространства с помощью стандартных топологических n -симплексов. Кроме того, сингулярный функтор S является сопряжено справа к геометрической реализации функтору описан выше, а именно:

hom _Top (| X |, Y ) ≅ hom _sSet ( X , SY )

для любого симплициального множества X и любого топологического пространства Y . Интуитивно это присоединение можно понять следующим образом: непрерывное отображение геометрической реализации X в пространство Y определяется однозначно, если мы сопоставим каждому симплексу X непрерывное отображение из соответствующего стандартного топологического симплекса в Y таким образом что эти карты совместимы с тем, как симплексы в X соединяются вместе.

Гомотопическая теория симплициальных множеств

Чтобы определить структуру модели в категории симплициальных множеств, необходимо определить расслоения, кофибрации и слабые эквивалентности. Можно определить расслоения как расслоения Кана . Карта симплициальных множеств определяется как слабая эквивалентность, если ее геометрическая реализация является слабой эквивалентностью пространств. Отображение симплициальных множеств определяется как корасслоение, если оно является мономорфизмом симплициальных множеств. Это трудная теорема Дэниела Квиллена о том, что категория симплициальных множеств с этими классами морфизмов удовлетворяет аксиомам собственной замкнутой категории симплициальных моделей .

Ключевым поворотным моментом теории является то, что геометрическая реализация расслоения Кана является расслоением Серра пространств. Имея структуру модели, гомотопическая теория симплициальных множеств может быть разработана с использованием стандартных методов гомотопической алгебры . Кроме того, геометрическая реализация и сингулярные функторы дают Квиллен эквивалентность из замкнутых модельных категорий , индуцирующая эквивалентность

| • |: Ho ( SSET ) ↔ Ho ( Top )

между гомотопической категорией симплициальных множеств и обычной гомотопической категорией CW-комплексов с гомотопическими классами непрерывных отображений между ними. Часть общего определения присоединения Квиллена состоит в том, что правый сопряженный функтор (в данном случае функтор особого множества) переводит расслоения (соответственно тривиальные расслоения) в расслоения (соответственно тривиальные расслоения).

Симплициальные объекты

Симплициальный объект X в категории C контравариантный функтор

X : Δ → C

или, что то же самое, ковариантный функтор

X : Δ ^op → C,

где Δ по- прежнему обозначает симплекс-категорию . Когда C - категория множеств , мы просто говорим о симплициальных множествах, которые были определены выше. Пусть C - категория групп или категория абелевых групп , мы получим категории sGrp симплициальных групп и sAb симплициальных абелевых групп соответственно.

Симплициальные группы и симплициальные абелевы группы также несут замкнутые модельные структуры, индуцированные структурой лежащих в основе симплициальных множеств.

Гомотопические группы симплициальных абелевых групп могут быть вычислены с использованием соответствия Дольда – Кана, которое дает эквивалентность категорий между симплициальными абелевыми группами и ограниченными цепными комплексами и задается функторами

N: sAb → Ch ₊

а также

Γ: Ch ₊ → sAb .

История и использование симплициальных множеств

Симплициальные наборы первоначально использовался , чтобы дать точные и удобные описания классификации пространств из групп . Эта идея была значительно расширена идеей Гротендика о рассмотрении классифицирующих пространств категорий и, в частности, работой Квиллена по алгебраической K-теории . В этой работе, которая принесла ему медаль Филдса , Квиллен разработал удивительно эффективные методы управления бесконечными симплициальными множествами. Позже эти методы были использованы в других областях на границе алгебраической геометрии и топологии. Например, гомологии Андре – Квиллена кольца - это «неабелевы гомологии», определяемые и исследуемые таким образом.

Как алгебраическая K-теория, так и гомологии Андре – Квиллена определяются с использованием алгебраических данных для записи симплициального множества и последующего взятия гомотопических групп этого симплициального множества.

Симплициальные методы часто полезны, когда кто-то хочет доказать, что пространство является пространством петель . Основная идея состоит в том, что если это группа с классифицирующим пространством , то она гомотопически эквивалентна пространству петель . Если сама является группой, мы можем повторить процедуру и гомотопически эквивалентны пространству двойного цикла . В случае абелевой группы, мы можем повторять это бесконечно много раз и получить бесконечное пространство петель. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle BG}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ Omega BG}$ ${\ displaystyle BG}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {2} B (BG)}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$

Даже если это не абелева группа, может случиться так, что она имеет композицию, которая является достаточно коммутативной, чтобы можно было использовать вышеупомянутую идею, чтобы доказать, что это бесконечное пространство петель. Таким образом, можно доказать, что алгебраическая теория кольца, рассматриваемого как топологическое пространство, является бесконечным пространством петель. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle K}$

В последние годы симплициальные множества использовались в теории высших категорий и производной алгебраической геометрии . Квазикатегории можно рассматривать как категории, в которых состав морфизмов определяется только с точностью до гомотопии, а также сохраняется информация о составе высших гомотопий. Квазикатегории определяются как симплициальные множества, удовлетворяющие одному дополнительному условию - слабому условию Кана.

Смотрите также

Набор дельта
Дендроидное множество , обобщение симплициального множества
Симплициальная предпучка
Квазикатегория
Кан комплекс
Переписка Дольда – Кана
Симплициальная гомотопия
Симплициальная сфера
Абстрактный симплициальный комплекс

Languages

In other projects