Конус (топология) - Cone (topology)

Конус круга. Исходное пространство отображается синим цветом, а свернутая конечная точка - зеленым.

В топологии , особенно алгебраической топологии , то конус из топологического пространства является пространство , определяемое как: ${\ displaystyle CX}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle CX = (X \ times [0,1]) \ cup _ {p} v \ = \ \ varinjlim {\ bigl (} (X \ times [0,1]) \ hookleftarrow (X \ times \ { 0 \}) \ xrightarrow {p} v {\ bigr)},}$

где - точка (называемая вершиной конуса), а - проекция на эту точку. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle p}$

Это означает, что конус является результатом присоединения к цилиндру его лицо к точке вдоль проекции . ${\ displaystyle CX}$ ${\ Displaystyle X \ раз [0,1]}$${\ Displaystyle Х \ раз \ {0 \}}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle p: {\ bigl (} X \ times \ {0 \} {\ bigr)} \ to v}$

Если есть непустое компактное подпространство евклидова пространства , конус на это гомеоморфен в объединение сегментов от к любой неподвижной точке таким образом, что эти отрезки пересекаются только по себе. То есть топологический конус согласуется с геометрическим конусом для компактных пространств, когда последний определен. Однако конструкция топологического конуса более общая. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle v \ not \ in X}$${\ displaystyle v}$

Примеры

Здесь мы часто используем геометрический конус (определенный во введении) вместо топологического. Рассматриваемые пространства компактны, поэтому мы получаем тот же результат с точностью до гомеоморфизма.

• Конус над точкой р от вещественной прямой является интервал .${\ Displaystyle \ {п \} \ раз [0,1]}$
• Конус над двумя точками {0, 1} представляет собой V-образную форму с концами в точках {0} и {1}.
• Конус на отрезке I реальной прямой представляет собой закрашенный треугольник (с одним из ребер I ), иначе известный как 2-симплекс (см. Последний пример).
• Конус над многоугольника Р представляет собой пирамиду с основанием P .
• Конус над диском - это твердый конус классической геометрии (отсюда и название концепции).
• Конус над окружностью, заданный формулой

${\ displaystyle \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} = 1 {\ mbox {and}} z = 0 \} }$

криволинейная поверхность твердого конуса:

${\ displaystyle \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} = (z-1) ^ {2} {\ mbox { и}} 0 \ leq z \ leq 1 \}.}$

Это, в свою очередь, гомеоморфно замкнутому диску .

• В общем, конус над п -сферы гомеоморфно замкнутой ( п + 1) - шара .
• Конус над n - симплексом является ( n + 1) -симплексом.

Характеристики

Все конусы линейно связаны, поскольку каждая точка может быть соединена с точкой вершины. Кроме того, каждый конус стягиваем в вершинную точку гомотопией

${\ displaystyle h_ {t} (x, s) = (x, (1-t) s)}$.

Конус используется в алгебраической топологии именно потому, что он включает пространство как подпространство стягиваемого пространства.

Когда Х является компактным и Хаусдорфово ( по существу, когда Х может быть встроен в евклидовом пространстве), то конус можно визуализировать как совокупность линий , соединяющих каждую точку X в одну точку. Однако эта картина не работает, когда X не компактно или не Хаусдорфово, поскольку обычно фактор-топология на будет более тонкой, чем набор прямых, соединяющих X с точкой. ${\ displaystyle CX}$${\ displaystyle CX}$

Конусный функтор

Отображение индуцирует функтор в категории топологических пространств Top . Если - непрерывное отображение , то определяется как ${\ Displaystyle X \ mapsto CX}$ ${\ Displaystyle C \ двоеточие \ mathbf {Top} \ to \ mathbf {Top}}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$${\ displaystyle Cf \ двоеточие CX \ to CY}$

${\ Displaystyle (Cf) ([х, т]) = [е (х), т]}$,

где квадратные скобки обозначают классы эквивалентности .

Конус уменьшенный

Если - заостренное пространство , существует связанная конструкция, редуцированный конус , заданный формулой ${\ displaystyle (X, x_ {0})}$

${\ Displaystyle (Икс \ раз [0,1]) / (Икс \ раз \ влево \ {0 \ вправо \} \ чашка \ влево \ {х_ {0} \ вправо \} \ раз [0,1])}$

где за базовую точку редуцированного конуса берется класс эквивалентности конуса . С этим определением естественное включение становится базирующейся картой. Эта конструкция также дает функтор из категории отмеченных пространств в себя. ${\ displaystyle (x_ {0}, 0)}$${\ Displaystyle х \ mapsto (х, 1)}$

Смотрите также

• Конус (значения)
• Подвеска (топология)
• Десуспензия
• Конус отображения (топология)
• Присоединиться (топология)

Рекомендации

• Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii + 544 стр. ISBN  0-521-79160-X и ISBN  0-521-79540-0
• «Конус» . PlanetMath .