Фильтрация (математика) - Filtration (mathematics)

В математике , фильтрация является индексированным семейством из подобъектов данной алгебраической структуры , с индексом работает над каким - то упорядоченным множеством индексов , при условии , что ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle (S_ {я}) _ {я \ в I}}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle I}$

если в , то .${\ displaystyle i \ leq j}$${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle S_ {i} \ substeq S_ {j}}$

Если индекс является временным параметром некоторого случайного процесса , то фильтрацию можно интерпретировать как представление всей имеющейся исторической, но не будущей информации о стохастическом процессе, при этом алгебраическая структура со временем усложняется. Следовательно, процесс, адаптированный к фильтрации , также называют непредвиденным , потому что он не может «заглядывать в будущее». ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Иногда, как в фильтрованной алгебре , вместо этого требуется, чтобы подалгебры были подалгебрами по отношению к некоторым операциям (например, сложению векторов ), но не по отношению к другим операциям (например, умножению), которые удовлетворяют только тогда , когда набор индексов равен что натуральные числа ; это по аналогии с градуированной алгеброй . ${\ displaystyle S_ {i}}$${\ Displaystyle S_ {я} \ cdot S_ {j} \ substeq S_ {я + j}}$

Иногда фильтрации должны удовлетворять дополнительное требование , что объединение из быть целым , или (в более общем случае, когда понятие единения не имеет смысла) , что канонический гомоморфизм из прямого предела из к является изоморфизмом . Предполагается ли это требование или нет, обычно зависит от автора текста и часто прямо указывается. Данная статья не предъявляет этого требования. ${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle S}$

Существует также понятие нисходящей фильтрации , которое требуется выполнять вместо (а иногда и вместо ). Опять же, это зависит от контекста, как именно следует понимать слово «фильтрация». Нисходящие фильтрации не следует путать с двойным понятием кофильтрации (которые состоят из частных объектов, а не подобъектов ). ${\ Displaystyle S_ {я} \ supseteq S_ {j}}$${\ Displaystyle S_ {i} \ substeq S_ {j}}$${\ Displaystyle \ bigcap _ {я \ в I} S_ {я} = 0}$${\ Displaystyle \ bigcup _ {я \ в I} S_ {я} = S}$

Фильтрации широко используется в абстрактной алгебре , гомологическая алгебра (где они связаны между собой в важном способе спектральных последовательностей ), так и в теории меры и теории вероятностей для вложенных последовательностей а-алгебры . В функциональном анализе и численном анализе обычно используется другая терминология, например шкала пространств или вложенные пространства .

Примеры

Алгебра

Алгебры

См .: Фильтрованная алгебра.

Группы

В алгебре фильтрации являются обычно индексируются , на множестве натуральных чисел. Фильтрации группы , тогда вложенная последовательность из нормальных подгрупп в (то есть, для любых мы имеем ). Обратите внимание, что такое использование слова «фильтрация» соответствует нашей «нисходящей фильтрации». ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G_ {n}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle G_ {n + 1} \ substeq G_ {n}}$

Учитывая группу и фильтрацию , существует естественный способ определить топологию на , которая называется связанной с фильтрацией. Основой этой топологии является набор всех смежных классов подгрупп, появляющихся в фильтрации, то есть подмножество определяется как открытое, если оно представляет собой объединение множеств вида , где и - натуральное число. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G_ {n}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle aG_ {n}}$${\ displaystyle a \ in G}$${\ displaystyle n}$

Топология, связанная с фильтрацией на группе, превращается в топологическую группу . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Топология, связанная с фильтрацией на группе , хаусдорфова тогда и только тогда, когда . ${\ displaystyle G_ {n}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ bigcap G_ {п} = \ {1 \}}$

Если на группе определены две фильтрации и , то тождественное отображение из в , где первой копии задается -топология, а второй -топологии, является непрерывным тогда и только тогда, когда для любого существует такое, что , то есть , тогда и только тогда, когда тождественное отображение непрерывно в 1. В частности, две фильтрации определяют одну и ту же топологию тогда и только тогда, когда для любой подгруппы, появляющейся в одной, есть меньшая или равная подгруппа, появляющаяся в другой. ${\ displaystyle G_ {n}}$${\ displaystyle G '_ {n}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G_ {n}}$${\ displaystyle G '_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle G_ {m} \ substeq G '_ {n}}$

Кольца и модули: нисходящие фильтрации

Учитывая , кольцо и -модуль , а нисходящая фильтрацию по убывающей последовательности подмодулей . Таким образом, это частный случай понятия групп с дополнительным условием, что подгруппы являются подмодулями. Соответствующая топология определяется как для групп. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M_ {n}}$

Важный частный случай известен как -адическая топология (или -адическая и т. Д.). Позвольте быть коммутативным кольцом и идеалом . ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$

Для данного -модуля последовательность подмодулей образует фильтрацию . Тогда -адическая топология на - это топология, связанная с этой фильтрацией. Если это просто само кольцо , мы определили -адическую топологию на . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle I ^ {n} M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$

Когда задана -адическая топология, становится топологическим кольцом . Если -модулю придается -адическая топология, он становится топологическим -модулем относительно топологии, указанной на . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Кольца и модули: восходящие фильтрации

Учитывая , кольцо и -модуль , в восходящей фильтрации из возрастающая последовательность подмодулей . В частности, если это поле, то восходящая фильтрация -векторного пространства возрастающей последовательность векторных подпространств в . Флаги - один из важных классов таких фильтров. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M_ {n}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Наборы

Максимальная фильтрация множества эквивалентна упорядочиванию ( перестановке ) множества. Например, фильтрация соответствует порядку . С точки зрения поля с одним элементом упорядочение на множестве соответствует максимальному флагу (фильтрации на векторном пространстве), считая набор векторным пространством над полем с одним элементом. ${\ Displaystyle \ {0 \} \ substeq \ {0,1 \} \ substeq \ {0,1,2 \}}$${\ Displaystyle (0,1,2)}$

Теория меры

В теории меры , в частности , в мартингальной теории и теории случайных процессов , фильтрация является возрастающей последовательностью из -алгебр на измеримом пространстве . То есть, дано измеримое пространство , фильтрация представляет собой последовательность -алгебр с , где каждый представляет собой неотрицательное действительное число и ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ {{\ mathcal {F}} _ {т} \} _ {т \ geq 0}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {т} \ substeq {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ implies {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ substeq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}$

Точный диапазон «времен» обычно зависит от контекста: набор значений может быть дискретным или непрерывным, ограниченным или неограниченным. Например, ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle t \ in \ {0,1, \ dots, N \}, \ mathbb {N} _ {0}, [0, T] {\ mbox {or}} [0, + \ infty).}$

Точно так же фильтрованное вероятностное пространство (также известное как стохастический базис ) - это вероятностное пространство, снабженное фильтрацией своей -алгебры . Отфильтрованное вероятностное пространство называется удовлетворять обычные условия , если он является полным (т.е. содержит все - нулевые множества ) и непрерывны справа (то есть во все времена ). ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}, \ mathbb {P} \ Правильно)}$${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {0}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} = {\ mathcal {F}} _ {t +}: = \ bigcap _ {s> t} {\ mathcal {F}} _ {s}}$${\ displaystyle t}$

Также полезно (в случае неограниченного набора индексов) определить как -алгебру, порожденную бесконечным объединением 's, которая содержится в : ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ substeq {\ mathcal { F}}.}$

Σ - алгебра определяет набор событий , которые могут быть измерены, что в вероятностном контексте эквивалентно событий , которые могут быть дискриминационными, или «вопросы , которые можно ответить на время ». Поэтому фильтрация часто используется для представления изменения в наборе событий, которые можно измерить, посредством получения или потери информации . Типичный пример - математические финансы , где фильтрация представляет информацию, доступную до каждого раза включительно , и становится все более и более точной (набор измеряемых событий остается неизменным или увеличивается) по мере того, как больше информации об эволюции акций. цена становится доступной. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$

Отношение к временам остановки: сигма-алгебры времени остановки

Позвольте быть фильтрованным вероятностным пространством. Случайная величина - это время остановки по отношению к фильтрации , если для всех . Останавливая время -алгебра теперь определяется как ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}, \ mathbb {P} \ Правильно)}$${\ displaystyle \ tau: \ Omega \ rightarrow [0, \ infty]}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}}$${\ displaystyle \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal {F}} _ {t}}$${\ Displaystyle т \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal { F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}$.

Нетрудно показать, что это действительно -алгебра . Набор кодирует информацию до случайного времени в том смысле , что, если отфильтрованный вероятностное пространство интерпретируется как случайный эксперимент, максимальная информация , которую можно найти об этом из произвольно часто повторять эксперимент , пока случайное время не . В частности, если лежащее в основе вероятностное пространство конечно (то есть конечно), минимальные множества (относительно включения множеств) задаются объединением всех множеств минимальных множеств , лежащих в . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ Displaystyle т \ geq 0}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$${\ Displaystyle \ {\ тау = т \}}$

Можно показать, что это измеримо. Однако простые примеры показывают, что в целом . Если и будут останавливать время на , и почти наверняка , то${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ Displaystyle \ сигма (\ тау) \ neq {\ mathcal {F}} _ {\ тау}}$${\ Displaystyle \ тау _ {1}}$${\ displaystyle \ tau _ {2}}$${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}, \ mathbb {P} \ Правильно)}$${\ Displaystyle \ тау _ {1} \ leq \ тау _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau _ {1}} \ substeq {\ mathcal {F}} _ {\ tau _ {2}}.}$

Смотрите также

• Естественная фильтрация
• Фильтрация (теория вероятностей)
• Фильтр (математика)

использованная литература

• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями . Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.