Флаг (линейная алгебра) - Flag (linear algebra)

В математике , в частности , в линейной алгебре , А флаг возрастающая последовательность из подпространств одного конечномерных векторное пространства V . Здесь «возрастающий» означает, что каждое подпространство является собственным подпространством следующего (см. Фильтрацию ):

{\ displaystyle \ {0 \} = V_ {0} \ subset V_ {1} \ subset V_ {2} \ subset \ cdots \ subset V_ {k} = V.}

Термин « флаг» мотивирован конкретным примером, напоминающим флаг : нулевая точка, линия и плоскость соответствуют гвоздю, посоху и листу ткани.

Если мы напишем, что dim V _i = d _i, то получим

{\ displaystyle 0 = d_ {0} <d_ {1} <d_ {2} <\ cdots <d_ {k} = n,}

где п есть размерность из V (предполагается конечным). Следовательно, должно быть k ≤ n . Флаг называется полным флагом, если d _i = i для всех i , в противном случае он называется частичным флагом .

Частичный флаг может быть получен из полного флага путем удаления некоторых подпространств. И наоборот, любой частичный флаг может быть дополнен (многими различными способами) путем вставки подходящих подпространств.

Подпись флага представляет собой последовательность ( д ₁ , ..., d _K ).

Базы

Упорядоченный базис для V называется адаптированным к флагу V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ... ⊂ V _k, если первые d _i базисные векторы образуют базис для V _i для каждого 0 ≤ i ≤ k . Стандартные аргументы линейной алгебры могут показать, что любой флаг имеет адаптированный базис.

Любой упорядоченный базис порождает полный флаг, позволяя V _i быть промежутком первых i базисных векторов. Например, стандартный флаг вRⁿ индуцируется изстандартного базиса(e₁, ...,e_n ), гдеe_i обозначает вектор с 1 вi-й записи и 0 в другом месте. Конкретно стандартный флаг - это последовательность подпространств:

{\ displaystyle 0 <\ left \ langle e_ {1} \ right \ rangle <\ left \ langle e_ {1}, e_ {2} \ right \ rangle <\ cdots <\ left \ langle e_ {1}, \ ldots , e_ {n} \ right \ rangle = K ^ {n}.}

Адаптированный базис почти никогда не бывает уникальным (контрпримеры тривиальны); см. ниже.

Полный флаг на внутреннем пространстве продукта имеет по существу уникальный ортонормированный базис : он уникален с точностью до умножения каждого вектора на единицу (скаляр единичной длины, например 1, -1, i ). Это проще всего доказать индуктивно , отметив то , что определяет его однозначно с точностью до единицы. ${\ displaystyle v_ {i} \ in V_ {i-1} ^ {\ perp} <V_ {i}}$

Говоря более абстрактно, он уникален с точностью до действия максимального тора : флаг соответствует борелевской группе , а скалярное произведение соответствует максимальной компактной подгруппе .

Стабилизатор

Стабилизатор подгруппа стандартного флага является группой из обратимых верхних треугольных матриц .

В более общем смысле, стабилизатор флага ( линейные операторы на V такие, что для всех i ) в терминах матрицы представляет собой алгебру блочных верхнетреугольных матриц (относительно адаптированного базиса), где размеры блока . Подгруппа стабилизатора полного флага - это набор обратимых верхнетреугольных матриц по отношению к любому базису, адаптированному к флагу. Подгруппа нижнетреугольных матриц относительно такого базиса зависит от этого базиса и поэтому не может быть охарактеризована только в терминах флага. ${\ displaystyle T (V_ {i}) <V_ {i}}$ ${\ displaystyle d_ {i} -d_ {i-1}}$

Подгруппа стабилизатора любого полного флага является подгруппой Бореля ( общей линейной группы ), а стабилизатор любых частичных флагов является параболической подгруппой .

Подгруппа стабилизатора флага действует просто транзитивно на адаптированных базисах флага, и, следовательно, они не уникальны, если стабилизатор не является тривиальным. Это очень исключительное обстоятельство: это происходит только для векторного пространства размерности 0 или для векторного пространства размерности 1 (именно в тех случаях, когда существует только один базис, независимо от любого флага). ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {2}}$

Подпространственное гнездо

В бесконечном-мерном пространстве V , как оно используется в функциональном анализе , флаг идея обобщается на в подпространстве гнездо , а именно совокупность подпространств V , который представляет собой общий порядок для включения и который дополнительно закрывается при произвольных пересечениях и замкнутых линейных оболочках. См. Алгебру гнезд .

Теоретико-множественные аналоги

С точки зрения поля с одним элементом , множество можно рассматривать как векторное пространство над полем с одним элементом: это формализует различные аналогии между группами Кокстера и алгебраическими группами .

При этом соответствии порядок на множестве соответствует максимальному флагу: порядок эквивалентен максимальной фильтрации множества. Например, фильтрация (флаг) соответствует порядку . ${\ Displaystyle \ {0 \} \ подмножество \ {0,1 \} \ подмножество \ {0,1,2 \}}$ ${\ Displaystyle (0,1,2)}$