Изолированная точка - Isolated point
В математике , А точка х называется изолированной точкой подмножества S (в топологическом пространстве X ) , если х является элементом S и существует окрестность из х , которые не содержат каких - либо других точек S . Это эквивалентно тому, что одноэлементный { х } есть открытое множество в топологическом пространстве S (рассматривается как подпространство в X ). Еще одна эквивалентная формулировка: элемент х из S является изолированной точкой S , если и только если он не является предельной точкой из S .
Если пространство X является евклидовом пространства (или любым другим метрическим пространства ), то элемент х из S является изолированной точкой S , если существует открытый шар вокруг й , который не содержит никаких других точек S .
Связанные понятия
Набор, состоящий только из изолированных точек, называется дискретным набором (см. Также дискретное пространство ). Любое дискретное подмножество S евклидова пространства должны быть счетно , так как выделения каждой из его точек вместе с тем фактом , что рациональные являются плотными в вещественных чисел означает , что точки S может быть отображена в виде набора точек с рациональными координатами, из которых их только счетно много. Однако не каждое счетное множество дискретно, и рациональные числа в рамках обычной евклидовой метрики являются каноническим примером.
Множество без изолированной точки называется плотным в себе (каждая окрестность точки содержит другие точки этого множества). Замкнутое множество , не изолированных точек называется идеальным набор (он имеет все свои предельные точки , и ни один из них не изолированы от нее).
Число изолированных точек является топологическим инвариантом , т.е. если два топологических пространств и являются гомеоморфно , количество выделенных точек в каждом равно.
Примеры
Стандартные примеры
Топологические пространства в следующих трех примерах, рассматриваются как подпространства в прямом со стандартной топологией.
- Для множества точка 0 является изолированной точкой.
- Для набора каждая из точек 1 / k является изолированной точкой, но 0 не является изолированной точкой, потому что в S есть другие точки, максимально близкие к 0.
- Набор из натуральных чисел является дискретным множеством.
В топологическом пространстве с топологией , элемент является изолированной точкой, хотя принадлежит к закрытию части (и, следовательно, в некотором смысле, «близко» к ). Такая ситуация невозможна в хаусдорфовом пространстве .
Лемма Морса утверждает , что невырожденные критические точки некоторых функций изолированы.
Два нелогичных примера
Рассмотрим множество точек в реальном интервале , каждая цифра их двоичного представления удовлетворяет следующим условиям:
- Либо, либо .
- только для конечного числа индексов .
- Если обозначает самый большой индекс такой, что , то .
- Если и , то выполняется ровно одно из следующих двух условий: или .
Неформально эти условия означают, что каждая цифра двоичного представления, равная 1, принадлежит паре ... 0110 ..., за исключением ... 010 ... в самом конце.
Итак, это явный набор, состоящий полностью из изолированных точек, который имеет нелогичное свойство, заключающееся в том, что его замыкание является несчетным множеством .
Другой набор с такими же свойствами можно получить следующим образом. Позвольте быть набором Кантора средней трети , пусть будет составляющими интервалами , и пусть будет набором, состоящим из одной точки от каждого . Поскольку каждый содержит только одну точку из , каждая точка является изолированной точкой. Однако, если есть какая-либо точка из множества Кантора, то каждая окрестность содержит хотя бы одну , а значит, и одну точку . Отсюда следует, что каждая точка множества Кантора лежит в замыкании и поэтому имеет несчетное замыкание.
Смотрите также
использованная литература