Теорема о двойном централизаторе - Double centralizer theorem

В области абстрактной алгебры, называемой теорией колец , теорема о двойном централизаторе может относиться к любому из нескольких аналогичных результатов. Эти результаты относятся к централизатору подкольца S кольца R , обозначенному в этой статье как C _R ( S ). Это всегда так , что C _R ( C _R ( S )) содержит S , и двойной центратор теорема дает условия на R и S , которые гарантируют , что C _R ( C _R ( S )) является равным для S .

Утверждения теоремы

Мотивация

Централизатор подкольцу S из R , заданного

${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {R} (S) = \ {r \ in R \ mid rs = sr {\ text {для всех}} s \ in S \}. \,}$

Ясно, что C _R ( C _R ( S )) ⊇  S , но не всегда можно сказать, что эти два множества равны. Теоремы о двойном централизаторе дают условия, при которых можно заключить, что имеет место равенство.

Есть еще один интересный случай. Пусть М будет правый R модулем и дать M естественную левый Е - модуль структуру, где Е является Конец ( М ), кольцо эндоморфизмов абелевой группы М . Каждая карта м _г задается м _г ( х ) =  хт создает аддитивный эндоморфизм М , то есть, элемент Е . Отображение г  →  м _г является кольцевым гомоморфизмом из R в кольце Е , и мы обозначим образ R внутри E по R _M . Можно проверить, что ядром этого канонического отображения является аннигилятор Ann ( M _R ). Следовательно, по теореме об изоморфизме колец R _M изоморфно фактор-кольцу R / Ann ( M _R ). Ясно, что когда M - точный модуль , R и R _M изоморфные кольца.

Итак, теперь E - кольцо с R _M в качестве подкольца, и может быть сформировано C _E ( R _M ). По определению можно проверить , что С _Е ( Р _М ) = Конец ( М _R ), кольцо R модуля эндоморфизмов M . Таким образом , если это происходит , что С _Е ( С _Е ( Р _М )) =  Р _М , это то же самое , как говорят С _Е (Конец ( М _R )) =  Р _М .

Центральные простые алгебры

Возможно, наиболее распространенная версия - это версия для центральных простых алгебр , как она представлена ​​в ( Knapp 2007 , p.115):

Теорема : если A - конечномерная центральная простая алгебра над полем F, а B - простая подалгебра в A , то C _A ( C _A ( B )) =  B и, кроме того, размерности удовлетворяют

${\ Displaystyle \ mathrm {dim} _ {F} (B) \ cdot \ mathrm {dim} _ {F} (\ mathrm {C} _ {A} (B)) = \ mathrm {dim} _ {F} (А). \,}$

Артинианские кольца

Следующая обобщенная версия для артиновых колец (которые включают конечномерные алгебры) появляется в ( Isaacs 2009 , p.187). Для простого модуля R U _R мы будем заимствовать обозначения из приведенного выше раздела о мотивации, включая R _U и E = End ( U ). Кроме того, мы будем писать D = End ( U _R ) для подкольца E, состоящего из R -гомоморфизмов. По лемме Шура , D является телом .

Теорема . Пусть R - артиново справа кольцо с простым правым модулем U _R , и пусть R _U , D и E заданы, как в предыдущем абзаце. затем

${\ Displaystyle R_ {U} = \ mathrm {C} _ {E} (\ mathrm {C} _ {E} (R_ {U})) \,}$.

Замечания

• В этой версии кольца выбраны с целью доказательства теоремы плотности Джекобсона . Обратите внимание, что это только вывод о том, что конкретное подкольцо обладает свойством централизатора, в отличие от версии с центральной простой алгеброй.
• Поскольку алгебры обычно определяются над коммутативными кольцами, а все упомянутые выше кольца могут быть некоммутативными, ясно, что алгебры не обязательно задействованы.
• Если U является дополнительно точным модулем , так что R является правым примитивным кольца , то R _U является кольцом изоморфно R .

Кольца полиномиальной идентичности

В ( Rowen 1980 , с.154) дается версия для полиномиальных тождественных колец . Обозначения Z ( R ) будет использоваться для обозначения центра кольца R .

Теорема : Если R является простым кольцом многочленов идентичности и является простым Z ( R ) подалгебра R , то С _Р ( С _R ( )) =  A .

Замечания

• Эту версию можно рассматривать как промежуточную между центральной версией простой алгебры и версией артиновского кольца. Это потому , что простые полиномиальные кольца идентичности артиновы, но в отличии от артиновой версии, заключение еще относится ко всем центральным простым подкольцам R .

фон Неймана алгебры

Теорема фон Неймана о бикоммутанте утверждает, что * -подалгебра A алгебры ограниченных операторов B ( H ) в гильбертовом пространстве H является алгеброй фон Неймана (т. Е. Слабо замкнутой ) тогда и только тогда, когда A = C _{B ( H )} C _{В ( Н )} (А).

Свойство двойного централизатора

Говорят, что модуль M обладает свойством двойного централизатора или является сбалансированным модулем, если C _E ( C _E ( R _M )) =  R _M , где E  = End ( M ) и R _M такие, как указано в разделе мотивации. В этой терминологии артинов кольцевой вариант теоремы о двойном централизаторе утверждает, что простые правые модули для артиновых справа колец являются сбалансированными модулями.

Примечания

Ссылки

• Айзекс, И. Мартин (2009 г.), Алгебра: выпускной курс , Аспирантура по математике , 100 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. Xii + 516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR  2472787 Перепечатка оригинала 1994 г.
• Кнапп, Энтони В. (2007), Продвинутая алгебра , Cornerstones, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston Inc., стр. Xxiv + 730, ISBN 978-0-8176-4522-9, Руководство по ремонту  2360434
• Роуэн, Луи Галле (1980), Полиномиальные тождества в теории колец , Чистая и прикладная математика, 84 , Нью-Йорк: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], стр. Xx + 365, ISBN 0-12-599850-3, Руководство по ремонту  0576061