Дифференцируемая кривая - Differentiable curve

Дифференциальная геометрия кривых - это раздел геометрии, который имеет дело с гладкими кривыми на плоскости и в евклидовом пространстве методами дифференциального и интегрального исчисления .

Многие конкретные кривые были тщательно исследованы с использованием синтетического подхода . Дифференциальная геометрия идет другим путем: кривые представлены в параметризованной форме , а их геометрические свойства и различные связанные с ними величины, такие как кривизна и длина дуги , выражаются через производные и интегралы с использованием векторного исчисления . Одним из наиболее важных инструментов, используемых для анализа кривой, является рамка Френе , подвижная рамка, которая обеспечивает систему координат в каждой точке кривой, которая «лучше всего адаптирована» к кривой около этой точки.

Теория кривых намного проще и уже по своему охвату, чем теория поверхностей и ее многомерные обобщения, потому что регулярная кривая в евклидовом пространстве не имеет внутренней геометрии. Любая регулярная кривая может быть параметризована длиной дуги ( естественная параметризация ). С точки зрения теоретической точечной частицы на кривой, которая ничего не знает об окружающем пространстве, все кривые выглядят одинаково. Различные пространственные кривые различаются только тем, как они изгибаются и скручиваются. Количественно это измеряется дифференциально-геометрическими инвариантами, называемыми кривизной и кручением кривой. Основная теорема кривых утверждает , что знание этих инвариантов полностью определяет кривую.

Определения

Параметрический С ^г - кривой или С ^г - параметризация является вектор-функцией

${\ displaystyle \ gamma: I \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

то есть r- раз непрерывно дифференцируемо (то есть составляющие функции γ непрерывно дифференцируемы), где n ∈ ℕ , r ∈ ℕ {∞} , а I - непустой интервал действительных чисел. Изображение параметрической кривой γ [ I ] ⊆ ℝ ^н . Параметрическая кривая γ и ее изображение γ [ I ] должны различаться, потому что данное подмножество ℝ ⁿ может быть изображением нескольких различных параметрических кривых. Параметр t в γ ( t ) можно представить как представление времени, а γ - как траекторию движущейся точки в пространстве. Когда I - замкнутый интервал [ a , b ] , γ ( a ) называется начальной точкой, а γ ( b ) - конечной точкой γ . Если начальная и конечная точки совпадают (т. Е. Γ ( a ) = γ ( b ) ), то γ - замкнутая кривая или петля . Чтобы быть C ^r -петлей, функция γ должна быть r- кратно непрерывно дифференцируемой и удовлетворять условию γ ^{( k )} ( a ) = γ ^{( k )} ( b ) для 0 ≤ k ≤ r .

Параметрическая кривая проста, если

${\ displaystyle \ gamma | _ {(a, b)} :( a, b) \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

является инъективным . Он является аналитическим, если каждая компонентная функция γ является аналитической функцией , то есть принадлежит классу C ^ω .

Кривая γ является регулярным порядка т (где т ≤ г ) , если для каждого т ∈ I ,

${\ displaystyle \ left \ {\ gamma '(t), \ gamma' '(t), \ ldots, {\ gamma ^ {(m)}} (t) \ right \}}$

является линейно независимым подмножеством ℝ ⁿ . В частности, параметрический С ¹ -кривой γ является регулярным тогда и только тогда , когда γ '( т ) ≠ 0 для любого т ∈ I .

Репараметризация и отношение эквивалентности

Для изображения параметрической кривой существует несколько различных параметризаций параметрической кривой. Дифференциальная геометрия направлена ​​на описание свойств параметрических кривых, которые инвариантны при определенных репараметризациях. Необходимо определить подходящее отношение эквивалентности на множестве всех параметрических кривых. Дифференциально-геометрические свойства параметрической кривой (такие как ее длина, система отсчета Френе и ее обобщенная кривизна) инвариантны относительно репараметризации и, следовательно, свойства самого класса эквивалентности . Классы эквивалентности называются C ^r -кривыми и являются центральными объектами, изучаемыми в дифференциальной геометрии кривых.

Две параметрические C ^r -кривые, γ ₁  : I ₁ → ℝ ⁿ и γ ₂  : I ₂ → ℝ ⁿ , называются эквивалентными тогда и только тогда, когда существует биективное C ^r -отображение φ  : I ₁ → I ₂ такое, что что

${\ displaystyle \ forall t \ in I_ {1}: \ quad \ varphi '(t) \ neq 0}$

а также

${\ displaystyle \ forall t \ in I_ {1}: \ quad \ gamma _ {2} {\ bigl (} \ varphi (t) {\ bigr)} = \ gamma _ {1} (t).}$

γ _- затем называется повторно параметризация из гаммы ₁ .

Повторная параметризация определяет отношение эквивалентности на множестве всех параметрических C ^r -кривых класса C ^r . Класс эквивалентности этого отношения просто C ^r -кривая.

Еще более тонкое отношение эквивалентности ориентированных параметрических C ^r -кривых можно определить, потребовав от φ, чтобы φ ′ ( t )> 0 .

Эквивалентные параметрические C ^r -кривые имеют одно и то же изображение, а эквивалентные ориентированные параметрические C ^r -кривые даже пересекают изображение в одном и том же направлении.

Длина и естественная параметризация

Длина l параметрической C ¹ -кривой γ  : [ a , b ] → ℝ ⁿ определяется как

${\ displaystyle l ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ int _ {a} ^ {b} \ left \ | \ gamma '(t) \ right \ | \, \ mathrm {d } {t}.}$

Длина параметрической кривой инвариантна при повторной параметризации и, следовательно, является дифференциально-геометрическим свойством параметрической кривой.

Для каждой регулярной параметрической C ^r -кривой γ  : [ a , b ] → ℝ ⁿ , где r ≥ 1 , функция определяется

${\ displaystyle \ forall t \ in [a, b]: \ quad s (t) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ int _ {a} ^ {t} \ left \ | \ gamma '(x) \ right \ | \, \ mathrm {d} {x}.}$

Запись γ (s) = γ ( t ( s )) , где t ( s ) - функция, обратная s ( t ) . Это повторная параметризация γ из гаммы , которая называется параметризация длины дуги , естественная параметризация,параметризацияединичной скорости. Параметр сек ( т )называетсяестественный параметромизгаммы.

Эта параметризация является предпочтительной, потому что естественный параметр s ( t ) пересекает изображение γ с единичной скоростью, так что

${\ displaystyle \ forall t \ in I: \ quad \ left \ | {\ overline {\ gamma}} '{\ bigl (} s (t) {\ bigr)} \ right \ | = 1.}$

На практике часто очень сложно вычислить естественную параметризацию параметрической кривой, но это полезно для теоретических рассуждений.

Для данной параметрической кривой γ естественная параметризация единственна с точностью до сдвига параметра.

Количество

${\ Displaystyle E (\ gamma) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} \ left \ | \ gamma '(t) \ right \ | ^ {2} ~ \ mathrm {d} {t}}$

иногда называют энергией или действием кривой; это название оправдано, поскольку уравнения геодезических являются уравнениями движения Эйлера – Лагранжа для этого действия.

Рамка Frenet

Система Френе - это подвижная система отсчета из n ортонормированных векторов e _i ( t ), которые используются для локального описания кривой в каждой точке γ ( t ) . Это основной инструмент дифференциально-геометрической обработки кривых, потому что гораздо проще и естественнее описывать локальные свойства (например, кривизну, кручение) в терминах локальной системы отсчета, чем с использованием глобальной системы, такой как евклидовы координаты.

Учитывая C ^{п +-} -кривый Г в ℝ ^п , регулярные порядка п репера Френа для кривого множества ортогональных векторов

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t), \ ldots, \ mathbf {e} _ {n} (t)}$

называемые векторами Френе . Они построены из производных γ ( t ) с использованием алгоритма ортогонализации Грама – Шмидта с

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {e} _ {1} (t) & = {\ frac {{\ boldsymbol {\ gamma}} '(t)} {\ left \ | {\ boldsymbol {\ гамма}} '(t) \ right \ |}} \\ [8px] \ mathbf {e} _ {j} (t) & = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {j}} } (t)} {\ left \ | {\ overline {\ mathbf {e} _ {j}}} (t) \ right \ |}}, \ quad {\ overline {\ mathbf {e} _ {j} }} (t) = {\ boldsymbol {\ gamma}} ^ {(j)} (t) - \ sum _ {i = 1} ^ {j-1} \ left \ langle {\ boldsymbol {\ gamma}} ^ {(j)} (t), \ mathbf {e} _ {i} (t) \ right \ rangle \, \ mathbf {e} _ {i} (t) \ end {align}}}$

Действительные функции χ _i ( t ) называются обобщенными кривизнами и определяются как

${\ displaystyle \ chi _ {i} (t) = {\ frac {{\ bigl \ langle} \ mathbf {e} _ {i} '(t), \ mathbf {e} _ {i + 1} (t ) {\ bigr \ rangle}} {\ left \ | {\ boldsymbol {\ gamma}} ^ {'} (t) \ right \ |}}}$

Система отсчета Френе и обобщенные кривизны инвариантны относительно репараметризации и, следовательно, являются дифференциально-геометрическими свойствами кривой.

Кривая Бертрана

Бертрана кривой является кривым Френом в с дополнительным свойством , что существует вторая кривой таким образом, что главные нормальные векторы для этих двух кривых одинаковы в каждой соответствующей точке. Другими словами, если r → ₁ ( t ) и r → ₂ ( t ) - две кривые в таких, что для любого t , N → ₁ = N → ₂ , то r → ₁ и r → ₂ - кривые Бертрана. По этой причине принято говорить о паре кривых Бертрана (например, r → ₁ и r → ₂ в предыдущем примере). Согласно задаче 25 Кюнеля «Кривые дифференциальной геометрии - поверхности - многообразия» также верно, что две кривые Бертрана, не лежащие в одной двумерной плоскости, характеризуются существованием линейной зависимости aκ + bτ = 1, где a и b - действительные константы и a 0 . Кроме того, произведение кручений пары кривых Бертрана постоянно. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Специальные векторы Френе и обобщенные кривизны

Первые три вектора Френе и обобщенные кривизны могут быть визуализированы в трехмерном пространстве. У них есть дополнительные имена и дополнительная семантическая информация.

Касательный вектор

Если кривая γ представляет путь частицы, то мгновенное значение скорости частицы в данной точке P выражается вектором , называется касательный вектор к кривой в точке P . Математически, учитывая параметризованную кривую C ¹ γ = γ ( t ) , для каждого значения t = t ₀ параметра вектор

${\ displaystyle \ gamma '(t_ {0}) = {\ frac {d} {d \, t}} {\ boldsymbol {\ gamma}} (t) \ {\ text {at}} \ t = t_ { 0}}$

- касательный вектор в точке P = γ ( t ₀ ) . Вообще говоря, касательный вектор может быть нулевым . Величина касательного вектора

${\ displaystyle \ left \ | {\ boldsymbol {\ gamma}} '(t_ {0}) \ right \ |}$

- скорость в момент времени t ₀ .

Первый вектор Френе e ₁ ( t ) является единичным касательным вектором в том же направлении, определенным в каждой регулярной точке γ :

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t) = {\ frac {{\ boldsymbol {\ gamma}} '(t)} {\ left \ | {\ boldsymbol {\ gamma}}' (t) \ right \ |}}.}$

Если t = s - естественный параметр, то касательный вектор имеет единичную длину. Формула упрощается:

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (s) = {\ boldsymbol {\ gamma}} '(s)}$.

Единичный касательный вектор определяет ориентацию кривой или прямое направление, соответствующее возрастающим значениям параметра. Единичный касательный вектор, взятый как кривая, отслеживает сферическое изображение исходной кривой.

Вектор нормали или кривизны

Вектор нормали, иногда называемый вектором кривизны, указывает отклонение кривой от прямой линии.

Он определяется как

${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (t) = {\ boldsymbol {\ gamma}} '' (t) - {\ bigl \ langle} {\ boldsymbol {\ gamma}} '' (t), \ mathbf {e} _ {1} (t) {\ bigr \ rangle} \, \ mathbf {e} _ {1} (t).}$

Его нормализованная форма, единичный вектор нормали, является вторым вектором Френе e ₂ ( t ) и определяется как

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} (t) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (t)} {\ left \ | {\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (t) \ right \ |}}.}$

Касательная и вектор нормали в точке t определяют соприкасающуюся плоскость в точке t .

Можно показать, что ē ₂ ( t ) ∝ e ′ ₁ ( t ) . Следовательно,

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} (t) = {\ frac {\ mathbf {e} _ {1} '(t)} {\ left \ | \ mathbf {e} _ {1}' ( t) \ right \ |}}.}$

Кривизна

Первая обобщенная кривизна χ ₁ ( t ) называется кривизной и измеряет отклонение γ от прямой линии относительно соприкасающейся плоскости. Он определяется как

${\ displaystyle \ kappa (t) = \ chi _ {1} (t) = {\ frac {{\ bigl \ langle} \ mathbf {e} _ {1} '(t), \ mathbf {e} _ { 2} (t) {\ bigr \ rangle}} {\ left \ | {\ boldsymbol {\ gamma}} '(t) \ right \ |}}}$

и называется кривизной из Г в точке т . Можно показать, что

${\ displaystyle \ kappa (t) = {\ frac {\ left \ | \ mathbf {e} _ {1} '(t) \ right \ |} {\ left \ | {\ boldsymbol {\ gamma}}' ( t) \ right \ |}}.}$

Обратная кривизна

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ kappa (t)}}}$

называется радиусом кривизны .

Окружность радиуса r имеет постоянную кривизну

${\ Displaystyle \ каппа (т) = {\ гидроразрыва {1} {г}}}$

тогда как линия имеет кривизну 0.

Бинормальный вектор

Единичный бинормальный вектор - это третий вектор Френе e ₃ ( t ) . Он всегда ортогонален единичным касательным и нормальным векторам в точке t . Он определяется как

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} (t) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {3}}} (t)} {\ | {\ overline {\ mathbf {e } _ {3}}} (t) \ |}}, \ quad {\ overline {\ mathbf {e} _ {3}}} (t) = {\ boldsymbol {\ gamma}} '' '(t) - {\ bigr \ langle} {\ boldsymbol {\ gamma}} '' '(t), \ mathbf {e} _ {1} (t) {\ bigr \ rangle} \, \ mathbf {e} _ {1 } (t) - {\ bigl \ langle} {\ boldsymbol {\ gamma}} '' '(t), \ mathbf {e} _ {2} (t) {\ bigr \ rangle} \, \ mathbf {e } _ {2} (t)}$

В трехмерном пространстве уравнение упрощается до

${\ Displaystyle \ mathbf {е} _ {3} (т) = \ mathbf {е} _ {1} (т) \ раз \ mathbf {е} _ {2} (т)}$

или чтобы

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} (t) = - \ mathbf {e} _ {1} (t) \ times \ mathbf {e} _ {2} (t),}$

То, что может иметь место любой знак, иллюстрируется примерами правой спирали и левой спирали.

Кручение

Вторая обобщенная кривизна χ ₂ ( t ) называется кручением и измеряет отклонение кривой γ от плоской кривой. Другими словами, если кручение равно нулю, кривая полностью лежит в одной и той же соприкасающейся плоскости (для каждой точки t существует только одна соприкасающаяся плоскость ). Он определяется как

${\ displaystyle \ tau (t) = \ chi _ {2} (t) = {\ frac {{\ bigl \ langle} \ mathbf {e} _ {2} '(t), \ mathbf {e} _ { 3} (t) {\ bigr \ rangle}} {\ left \ | {\ boldsymbol {\ gamma}} '(t) \ right \ |}}}$

и называются кручение от гаммы в точке т .

Аберранси

Третья производная может быть использована для определения аберрация , метрика Некруглость кривой.

Основная теорема теории кривых

Даны n - 1 функция:

${\ displaystyle \ chi _ {i} \ in C ^ {ni} ([a, b], \ mathbb {R} ^ {n}), \ quad \ chi _ {i} (t)> 0, \ quad 1 \ leq i \ leq n-1}$

то существует единственная (с точностью до преобразований с использованием евклидовой группы ) C ^{n + 1} -кривая γ, регулярная порядка n и обладающая следующими свойствами:

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ | \ gamma '(t) \ | & = 1 & t \ in [a, b] \\\ chi _ {i} (t) & = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {i} '(t), \ mathbf {e} _ {i + 1} (t) \ rangle} {\ | {\ boldsymbol {\ gamma}}' (t) \ |}} \ end {выровнено}}}$

где набор

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t), \ ldots, \ mathbf {e} _ {n} (t)}$

- рамка Френе для кривой.

Путем дополнительного обеспечения начала t ₀ в I , начальной точки p ₀ в ℝ ⁿ и начального положительного ортонормированного фрейма Френе { e ₁ ,…, e _{n - 1} } с

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ gamma}} (t_ {0}) & = \ mathbf {p} _ {0} \\\ mathbf {e} _ {i} (t_ {0} ) & = \ mathbf {e} _ {i}, \ quad 1 \ leq i \ leq n-1 \ end {align}}}$

Евклидовы преобразования исключаются, чтобы получить единственную кривую γ .

Формулы Френе – Серре

Формулы Френе – Серре представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решение представляет собой набор векторов Френе, описывающих кривую, заданную обобщенными функциями кривизны χ _i .

2 измерения

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ end {bmatrix}} = \ left \ Vert \ gamma '\ left (t \ right) \ right \ Vert {\ begin {bmatrix} 0 & \ kappa (t) \\ - \ kappa (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ end {bmatrix}}}$

3 измерения

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ mathbf {e} _ {3} '( t) \\\ end {bmatrix}} = \ left \ Vert \ gamma '\ left (t \ right) \ right \ Vert {\ begin {bmatrix} 0 & \ kappa (t) & 0 \\ - \ kappa (t) & 0 & \ tau (t) \\ 0 & - \ tau (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ mathbf {e} _ {3} (t) \\\ end {bmatrix}}}$

n размеров (общая формула)

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ vdots \\\ mathbf {e} _ { n-1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {n}' (t) \\\ end {bmatrix}} = \ left \ Vert \ gamma '\ left (t \ right) \ right \ Vert {\ begin {bmatrix} 0 & \ chi _ {1} (t) & \ cdots & 0 & 0 \\ - \ chi _ {1} (t) & 0 & \ cdots & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ chi _ {n-1} (t) \\ 0 & 0 & \ cdots & - \ chi _ {n-1} (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin { bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ vdots \\\ mathbf {e} _ {n-1} (t) \\ \ mathbf {e} _ {n} (t) \\\ конец {bmatrix}}}$

Смотрите также

• Список тем кривых

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Крейсциг, Эрвин (1991). Дифференциальная геометрия . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-66721-9.Глава II представляет собой классическое рассмотрение теории кривых в трехмерном пространстве.