Касательное пространство Зарисского - Zariski tangent space

В алгебраической геометрии , то касательное пространство Зарискому представляет собой конструкцию , которая определяет касательное пространство в точке Р на алгебраическом многообразии V (и в более широком смысле ). В нем не используется дифференциальное исчисление , поскольку он основан непосредственно на абстрактной алгебре , а в самых конкретных случаях - только на теории системы линейных уравнений .

Мотивация

Например, предположим, что задана плоская кривая C, заданная полиномиальным уравнением

F (X, Y) = 0

и возьмем P за начало координат (0,0). Удаление членов более высокого порядка, чем 1, приведет к чтению «линеаризованного» уравнения.

L (X, Y) = 0

в котором все члены X ^a Y ^b были отброшены, если a + b> 1 .

У нас есть два случая: L может быть 0 или это может быть уравнение прямой. В первом случае касательное пространство (Зарисского) к C в точке (0,0) - это вся плоскость, рассматриваемая как двумерное аффинное пространство . Во втором случае касательное пространство - это линия, рассматриваемая как аффинное пространство. (Вопрос о происхождении возникает, когда мы берем P как общую точку на C ; лучше сказать «аффинное пространство», а затем отметить, что P является естественным источником, чем прямо утверждать, что это векторное пространство . )

Легко видеть , что над полем действительных чисел можно получить L в терминах первых частных производных от F . Когда они оба равны 0 в P , у нас есть особая точка ( двойная точка , куспид или что-то более сложное). Общее определение является то , что особые точки из C являются случаи , когда касательное пространство имеет размерность 2.

Определение

Кокасательное пространство из локального кольца R с максимальным идеалом определяется как ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

{\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m}} ^ {2}}

где ² дается произведением идеалов . Это векторное пространство над полем вычетов k: = R / . Его двойные (как K -векторного пространство) называются касательное пространство из R . ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

Это определение является обобщением приведенного выше примера на более высокие размеры: пусть дан аффинное алгебраическое многообразие V и точку V из V . С моральной точки зрения, удаление ² соответствует удалению нелинейных членов из уравнений, определяющих V внутри некоторого аффинного пространства, тем самым давая систему линейных уравнений, определяющих касательное пространство. ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

Касательное пространство и кокасательное пространство к схеме X в точке P является (ко) касательным пространством схемы . Из-за функториальности Spec естественное фактор-отображение индуцирует гомоморфизм для X = Spec ( R ), P - точки в Y = Spec ( R / I ). Это используется для встраивания в . Поскольку морфизмы полей инъективны, сюръекция полей вычетов, индуцированная g, является изоморфизмом. Тогда морфизм k кокасательных пространств индуцируется g , задаваемый формулой ${\ displaystyle T_ {P} (X)}$ ${\ displaystyle T_ {P} ^ {*} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, P}}$ ${\ displaystyle f: R \ rightarrow R / I}$ ${\ displaystyle g: {\ mathcal {O}} _ {X, f ^ {- 1} (P)} \ rightarrow {\ mathcal {O}} _ {Y, P}}$ ${\ displaystyle T_ {P} (Y)}$ ${\ displaystyle T_ {f ^ {- 1} P} (X)}$

{\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {P} / {\ mathfrak {m}} _ {P} ^ {2}}

{\ displaystyle \ cong ({\ mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} / I) / (({\ mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} ^ {2} + I) / I)}

{\ displaystyle \ cong {\ mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} / ({\ mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} ^ {2} + I)}

{\ displaystyle \ cong ({\ mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} / {\ mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} ^ {2}) / \ mathrm { Ker} (k).}

Так как это сюръекция, транспонирование - это инъекция. ${\ displaystyle k ^ {*}: T_ {P} (Y) \ rightarrow T_ {f ^ {- 1} P} (X)}$

( Аналогичным образом часто определяют касательные и кокасательные пространства для многообразия.)

Аналитические функции

Если V - подмногообразие n -мерного векторного пространства, заданное идеалом I , то R = F _n / I , где F _n - кольцо гладких / аналитических / голоморфных функций на этом векторном пространстве. Касательное пространство Зарисского в точке x есть

m _n / (I + m _n² ),

где m _n - максимальный идеал, состоящий из функций из F _n, равных нулю в x .

В приведенном выше плоском примере I = ⟨F⟩ , а I + m ² = <L> + m ² .

Характеристики

Если R является нетерово локальным кольцом, размерность касательного пространства является , по меньшей мере размерностью из R :

дим м / м ² ≧ дим R

R называется регулярным, если выполняется равенство. Говоря более геометрическим языком, когда R - локальное кольцо многообразия V в v , также говорят, что v - регулярная точка. В противном случае это называется особой точкой .

Касательное пространство имеет интерпретацию в терминах гомоморфизмов к дуальным числам для K ,

К [т] / т ² :

на языке схем , морфизмы Spec K [t] / t ² схемы X над K соответствуют выбору рациональной точки x ∈ X (k) и элемента касательного пространства в точке x . Поэтому говорят и о касательных векторах . См. Также: касательное пространство к функтору .

В общем случае размерность касательного пространства Зарисского может быть чрезвычайно большой. Например, пусть - кольцо непрерывно дифференцируемых действительных функций на . Определим кольцо ростков таких функций в нуле. Тогда R - локальное кольцо, и его максимальный идеал m состоит из всех ростков, обращающихся в нуль в нуле. Функции для определяют линейно независимые векторы в кокасательном пространстве Зарисского , так что размерность не меньше , чем мощность континуума. Таким образом, размерность касательного пространства Зарисского не меньше . С другой стороны, кольцо ростков гладких функций в точке n -многообразия имеет n -мерное кокасательное пространство Зарисского. ${\ Displaystyle С ^ {1} (\ mathbf {R})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ Displaystyle R = C_ {0} ^ {1} (\ mathbf {R})}$ ${\ Displaystyle х ^ {\ альфа}}$ ${\ Displaystyle \ альфа \ в (1,2)}$ ${\ Displaystyle м / м ^ {2}}$ ${\ Displaystyle м / м ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ Displaystyle (м / м ^ {2}) ^ {*}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ mathfrak {c}}}$