Сплит-кватернион - Split-quaternion

Сплит-кватернионное умножение

×	1	я	j	k
1	1	я	j	k
я	я	−1	k	−j
j	j	−k	1	−i
k	k	j	я	1

В абстрактной алгебре , то сплит-кватернионы или coquaternions образуют алгебраическую структуру , введенный Джеймсом Cockle в 1849 под названием последнего. Они образуют ассоциативную алгебру размерности четыре над действительными числами .

После введения в 20 - м веке бескоординатных определений колец и алгебр , было доказано , что алгебра сплита-кватернионы изоморфна к кольцу из 2 × 2 вещественных матриц . Таким образом, изучение расщепленных кватернионов можно свести к изучению реальных матриц, и это может объяснить, почему в математической литературе 20-го и 21-го веков мало упоминаний о расщепленных кватернионах.

Определение

В сплит-кватернионов являются линейными комбинациями (с вещественными коэффициентами) из четырех базисных элементов 1, I, J, K , которые удовлетворяют следующим правилам продукта:

я ² = -1 ,

j ² = 1 ,

к ² = 1 ,

ij = k = −ji .

По ассоциативности эти отношения подразумевают

jk = −i = −kj ,

ki = j = −ik ,

а также ijk = 1 .

Итак, расщепленные кватернионы образуют реальное векторное пространство размерности четыре с {1, i, j, k} в качестве основы . Они также образуют некоммутативное кольцо , расширяя приведенные выше правила произведения посредством дистрибутивности на все расщепленные кватернионы.

Рассмотрим квадратные матрицы

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {1}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ qquad & {\ boldsymbol {i}} = {\ begin {pmatrix } 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \\ {\ boldsymbol {j}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ qquad & {\ boldsymbol {k}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}. \ end {align}}}$

Они удовлетворяют той же таблице умножения, что и соответствующие расщепленные кватернионы. Поскольку эти матрицы образуют основу матриц «два на две», функция, которая отображает 1, i, j, k в (соответственно), индуцирует изоморфизм алгебры от расщепленных кватернионов к двум посредством двух вещественных матриц. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {1}}, {\ boldsymbol {i}}, {\ boldsymbol {j}}, {\ boldsymbol {k}}}$

Приведенные выше правила умножения подразумевают, что восемь элементов 1, i, j, k, −1, −i, −j, −k образуют группу при этом умножении, которая изоморфна группе диэдра D ₄ , группе симметрии квадрат . Фактически, если рассматривать квадрат, вершинами которого являются точки с координатами 0 или 1 , матрица представляет собой поворот на четверть оборота по часовой стрелке, симметрию относительно первой диагонали и симметрию относительно оси x . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {i}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {j}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {k}}}$

Характеристики

Подобно кватернионам, введенным Гамильтоном в 1843 году, они образуют четырехмерную вещественную ассоциативную алгебру . Но, как и матрицы, и в отличие от кватернионов, расщепленные кватернионы содержат нетривиальные делители нуля , нильпотентные элементы и идемпотенты . (Например, 1/2(1 + j) - идемпотентный делитель нуля, а i - j - нильпотентный.) Как алгебра над действительными числами , алгебра расщепленных кватернионов изоморфна алгебре вещественных матриц 2 × 2 определенным выше изоморфизмом .

Этот изоморфизм позволяет идентифицировать каждый расщепленный кватернион с матрицей 2 × 2. Таким образом, каждое свойство расщепленных кватернионов соответствует аналогичному свойству матриц, которое часто называется по-разному.

Конъюгат сплит-кватернион д = ш + х I + у J + г к , является д ^* = ш - х я - у J - г к . В терминах матриц сопряжение - это матрица кофакторов, полученная путем обмена диагональными элементами и изменения знака двух других элементов.

Произведение расщепленного кватерниона с его сопряженным элементом представляет собой изотропную квадратичную форму :

${\ Displaystyle N (q) = qq ^ {*} = w ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2},}$

которая называется нормой расщепленного кватерниона или определителем соответствующей матрицы.

Действительная часть расщепленного кватерниона q = w + x i + y j + z k равна w = ( q ^∗ + q ) / 2 . Он равен следу соответствующей матрицы.

Норма произведения двух сплит-кватернионов является произведением их норм. Эквивалентно, определитель произведения матриц является произведением их определителей.

Это означает, что расщепленные кватернионы и матрицы 2 × 2 образуют композиционную алгебру . Поскольку есть ненулевые расщепленные кватернионы, имеющие нулевую норму, расщепленные кватернионы образуют «алгебру расщепления композиции» - отсюда и их название.

Расщепленный кватернион с ненулевой нормой имеет мультипликативный обратный , а именно q ^∗ / N ( q ) . С точки зрения матрицы, это правило Крамера, которое утверждает, что матрица является обратимой тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля, и в этом случае обратная матрица является частным множителя матрицы по определителю.

Изоморфизм между расщепленными кватернионами и матрицами 2 × 2 показывает, что мультипликативная группа расщепленных кватернионов с ненулевой нормой изоморфна, а группа расщепленных кватернионов нормы 1 изоморфна с${\ displaystyle \ operatorname {GL} (2, \ mathbb {R}),}$${\ displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {R}).}$

Представление в виде сложных матриц

Существует представление сплита-кватернионы как унитальная ассоциативная подалгебра из 2 × 2 матриц с комплексными записями. Это представление может быть определено гомоморфизмом алгебр, который отображает расщепленный кватернион w + x i + y j + z k на матрицу

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} w + xi & y + zi \\ y-zi & w-xi \ end {pmatrix}}.}$

Здесь i ( курсив ) - это мнимая единица , которую не следует путать с основным разделенным кватернионом i ( прямым римским шрифтом ).

Образ этого гомоморфизма - кольцо матриц, образованное матрицами вида

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} u & v \\ v ^ {*} & u ^ {*} \ end {pmatrix}},}$

где верхний индекс означает комплексное сопряжение . ${\ displaystyle ^ {*}}$

Этот гомоморфизм отображает соответственно расщепленные кватернионы i, j, k на матрицы

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 & i \\ - i & 0 \ end {pmatrix}}.}$

Доказательство того, что это представление является гомоморфизмом алгебры, несложно, но требует некоторых скучных вычислений, которых можно избежать, начав с выражения расщепленных кватернионов как вещественных матриц 2 × 2 и используя подобие матриц . Пусть S - матрица

${\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \ end {pmatrix}}.}$

Затем, применительно к представлению расщепленных кватернионов как вещественных матриц 2 × 2 , вышеупомянутый гомоморфизм алгебр является подобием матриц.

${\ Displaystyle M \ mapsto S ^ {- 1} MS.}$

Практически сразу следует, что для разделенного кватерниона, представленного в виде комплексной матрицы, сопряженное значение является матрицей кофакторов, а норма - определителем.

С представлением расщепленных кватернионов в виде сложных матриц. матрицы кватернионов нормы 1 в точности являются элементами специальной унитарной группы SU (1,1) . Это используется для в гиперболической геометрии для описания гиперболических движений на диске модели Пуанкаре .

Генерация из разделенных комплексных чисел

Кевин Маккриммон показал , как все композиционные алгебры могут быть построены на манере промульгированного LE Диксон и Адриан Альбертом для разделения алгебры C , H и O . Действительно, он представляет правило умножения

${\ displaystyle (a, b) (c, d) \ = \ (ac + d ^ {*} b, \ da + bc ^ {*})}$

для использования при производстве удвоенного продукта в реальных деленных случаях. Как и прежде, удвоенное сопряжение так, что ${\ displaystyle (a, b) ^ {*} = (a ^ {*}, - b),}$

${\ Displaystyle N (a, b) \ = \ (a, b) (a, b) ^ {*} \ = \ (aa ^ {*} - bb ^ {*}, 0).}$

Если a и b - комплексные числа с разбиением и кватернион с разбиением${\ Displaystyle д = (а, Ь) = ((вес + zj), (у + хj)),}$

потом ${\ displaystyle N (q) = aa ^ {*} - bb ^ {*} = w ^ {2} -z ^ {2} - (y ^ {2} -x ^ {2}) = w ^ {2 } + x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}.}$

Стратификация

В этом разделе изучаются и классифицируются подалгебры, порожденные одним расщепленным кватернионом.

Пусть p = w + x i + y j + z k - расщепленный кватернион. Его действительная часть является ш = 1/2( р + р ^* ) . Пусть q = p - w =1/2( p - p ^* ) - его нереальная часть . У одного q ^* = - q , и, следовательно, оно является действительным числом тогда и только тогда, когда p является либо действительным числом ( q = 0 и p = w ), либо чисто нереальным разделенным кватернионом ( w = 0 и p = q ). . ${\ displaystyle p ^ {2} = w ^ {2} + 2wq-N (q).}$${\ displaystyle p ^ {2}}$

Структура подалгебры, порожденной p, очевидна. Надо ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [п]}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} [p] = \ mathbb {R} [q] = \ {a + bq \ mid a, b \ in \ mathbb {R} \},}$

и это коммутативная алгебра . Его размерность равна двум, за исключением случая, когда p вещественно (в данном случае подалгебра просто ). ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Неверные элементы , квадрат которых действителен, имеют вид aq с${\ Displaystyle \ mathbb {R} [п]}$${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}.}$

Необходимо рассмотреть три случая, которые подробно описаны в следующих подразделах.

Нильпотентный случай

С выше обозначениями, если (то есть, если д является нильпотентным ), то Н ( д ) = 0 , то есть, Отсюда следует , что существует ж и т в таких , что 0 ≤ т <- π и ${\ displaystyle q ^ {2} = 0,}$${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} = 0.}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle p = w + a \ mathrm {i} + a \ cos (t) \ mathrm {j} + a \ sin (t) \ mathrm {k}.}$

Это параметризация всех расщепленных кватернионов, нереальная часть которых нильпотентна.

Это также параметризация этих подалгебр точками окружности: расщепленные кватернионы формы образуют окружность ; подалгебра, порожденная нильпотентным элементом, содержит ровно одну точку окружности; а круг не содержит другой точки. ${\ Displaystyle \ mathrm {я} + \ соз (т) \ mathrm {j} + \ грех (т) \ mathrm {k}}$

Алгебра, порожденная нильпотентным элементом, изоморфна пространству двойственных чисел . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [X] / \ langle X ^ {2} \ rangle}$

Разборный корпус

Это тот случай, когда N ( q )> 0 . Позволяя одному иметь ${\ textstyle п = {\ sqrt {N (q)}},}$

${\ displaystyle q ^ {2} = - q ^ {*} q = N (q) = n ^ {2} = x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}.}$

Это следует из того 1/п q принадлежит гиперболоиду двух листов уравненияСледовательно, существуют действительные числа n , t , u такие, что 0 ≤ t <2 π и ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} = 1.}$

${\ Displaystyle п = вес + п \ сш (и) \ mathrm {я} + п \ зп (и) \ соз (т) \ mathrm {j} + п \ зп (и) \ грех (т) \ матрм { k}.}$

Это параметризация всех расщепленных кватернионов, нереальная часть которых имеет положительную норму.

Это также параметризация соответствующих подалгебр парами противоположных точек гиперболоида двух листов: расщепленные кватернионы формы образуют гиперболоид из двух листов; подалгебра, порожденная расщепленным кватернионом с невещественной частью положительной нормы, содержит ровно две противоположные точки на этом гиперболоиде, по одной на каждом листе; и гиперболоид не содержит другой точки. ${\ Displaystyle \ сш (и) \ mathrm {я} + \ sinh (и) \ соз (т) \ mathrm {j} + \ sinh (и) \ грех (т) \ mathrm {k}}$

Алгебра, порожденная расщепленным кватернионом с невещественной частью положительной нормы, изоморфна пространству расщепленных комплексных чисел и ему . Он также изоморфен (как алгебра) отображению, определяемому ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [X] / \ langle X ^ {2} -1 \ rangle}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ textstyle (1,0) \ mapsto {\ frac {1 + X} {2}}, \ quad (0,1) \ mapsto {\ frac {1-X} {2}}.}$

Неразборный корпус

Это тот случай, когда N ( q ) <0 . Позволяя одному иметь ${\ textstyle п = {\ sqrt {-N (q)}},}$

${\ displaystyle q ^ {2} = - q ^ {*} q = N (q) = - n ^ {2} = x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}.}$

Это следует из того 1/п q принадлежит гиперболоиду одного листа уравненияСледовательно, существуют действительные числа n , t , u такие, что 0 ≤ t <2 π и ${\ displaystyle y ^ {2} + z ^ {2} -x ^ {2} = 1.}$

${\ Displaystyle п = вес + п \ зп (и) \ mathrm {я} + п \ сш (и) \ соз (т) \ mathrm {j} + п \ соз (и) \ грех (т) \ mathrm { k}.}$

Это параметризация всех расщепленных кватернионов, нереальная часть которых имеет отрицательную норму.

Это также параметризация соответствующих подалгебр парами противоположных точек гиперболоида одного листа: расщепленные кватернионы формы образуют гиперболоид одного листа; подалгебра, порожденная расщепленным кватернионом с невещественной частью отрицательной нормы, содержит ровно две противоположные точки на этом гиперболоиде; и гиперболоид не содержит другой точки. ${\ displaystyle \ sinh (u) \ mathrm {i} + \ cosh (u) \ cos (t) \ mathrm {j} + \ cosh (u) \ sin (t) \ mathrm {k}}$

Алгебра, порожденная расщепленным кватернионом с невещественной частью отрицательной нормы, изоморфна полю комплексных чисел и полю комплексных чисел. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [X] / \ langle X ^ {2} +1 \ rangle}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Стратификация по норме

Как видно выше, чисто нереальные расщепленные кватернионы нормы –1, 1 и 0 образуют соответственно гиперболоид из одного листа, гипорболоид из двух листов и круговой конус в пространстве нереальных кватернионов.

Эти поверхности являются попарными асимптотами и не пересекаются. Их набор состоит из шести связанных регионов:

• две области, расположенные на вогнутой стороне гиперболоида двух листов, где ${\ Displaystyle N (q)> 1}$
• две области между гиперболоидом двух листов и конусом, где ${\ Displaystyle 0 <N (д) <1}$
• область между конусом и гиперболоидом одного листа, где ${\ Displaystyle -1 <N (д) <0}$
• область вне гиперболоида одного листа, где ${\ Displaystyle N (д) <- 1}$

Эту стратификацию можно уточнить, рассматривая расщепленные кватернионы фиксированной нормы: для каждого действительного числа n 0 чисто нереальные расщепленные кватернионы нормы n образуют гиперболоид. Все эти гиперболоиды являются асимптотами указанного выше конуса, и ни одна из этих поверхностей не пересекается с другими. Поскольку набор чисто нереальных расщепленных кватернионов представляет собой несвязное объединение этих поверхностей, это обеспечивает желаемую стратификацию.

Исторические заметки

Кокватернионы были впервые представлены (под этим названием) в 1849 году Джеймсом Коклом в журнале London-Edinburgh-Dublin Philosophical Magazine . Вводные статьи Кокла были упомянуты в Библиографии Общества Кватерниона 1904 года . Александр Макфарлейн назвал структуру векторов расщепленных кватернионов экзосферической системой, когда он выступал на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году.

Единичная сфера была рассмотрена в 1910 году Гансом Беком. Например, группа диэдра появляется на странице 419. Структура расщепленного кватерниона также кратко упоминалась в Annals of Mathematics .

Синонимы

• Пара-кватернионы (Иванов, Замковой 2005, Мохаупт 2006) Многообразия с пара-кватернионными структурами изучаются в дифференциальной геометрии и теории струн . В пара-кватернионной литературе k заменяется на −k.
• Exspherical система (Macfarlane 1900)
• Сплит-кватернионы (Розенфельд, 1988)
• Антикватернионы (Розенфельд, 1988)
• Псевдокватернионы (Яглом 1968 Розенфельд 1988)

Смотрите также

• Матрицы Паули
• Сплит-бикватернионы
• Сплит-октонионы
• Гиперкомплексные числа
• Двойные кватернионы

Примечания

дальнейшее чтение

• Броуди, Дордже К. и Ева-Мария Грефе . «О сложной механике и кокватернионах». Журнал Physics A: математической и теоретической 44,7 (2011): 072001. дои : 10,1088 / 1751-8113 / 44/7/ 072001
• Иванов, Стефан; Замковой, Симеон (2005), "Параэрмитовы и паракватернионные многообразия", Дифференциальная геометрия и ее приложения 23 , стр. 205–234, arXiv : math.DG / 0310415 , MR 2158044 .
• Мохаупт, Томас (2006), «Новые разработки в специальной геометрии», arXiv : hep-th / 0602171 .
• Оздемир, М. (2009) «Корни расщепленного кватерниона», Applied Mathematics Letters 22: 258–63. [1]
• Оздемир, М. и А.А. Эргин (2006) "Вращения с времяподобными кватернионами в 3-м пространстве Минковского", Журнал геометрии и физики 56: 322–36. [2]
• Погоруй, Анатолий и Рамон М. Родригес-Дагнино (2008) Некоторые алгебраические и аналитические свойства алгебры кокватернионов , достижения в прикладных алгебрах Клиффорда .