Примеры групп - Examples of groups

Некоторые элементарные примеры групп в математике даны на Group (математике) . Дополнительные примеры перечислены здесь.

Перестановки набора из трех элементов

График цикла для S ₃ . Цикл определяет серию степеней любого элемента, связанного с тождественным элементом (e). Например, цикл e-ba-ab отражает тот факт, что ba ² = ab и ba ³ = e, а также тот факт, что ab ² = ba и ab ³ = e Остальные «петли» являются корнями из единицы, так что, например, a ² = e.

Рассмотрим три цветных блока (красный, зеленый и синий), изначально размещенные в порядке RGB. Пусть a будет операцией «поменять местами первый блок и второй блок», а b будет операцией «поменять местами второй блок и третий блок».

Мы можем написать xy для операции «сначала сделай y , затем сделай x »; так что ab - это операция RGB → RBG → BRG, которую можно описать как «переместить первые два блока на одну позицию вправо и поместить третий блок в первую позицию». Если мы напишем e для «оставить блоки такими, какие они есть» (операция идентичности), то мы можем записать шесть перестановок трех блоков следующим образом:

е : RGB → RGB
а : RGB → GRB
б : RGB → RBG
ab : RGB → BRG
ba : RGB → GBR
aba : RGB → BGR

Обратите внимание, что aa имеет эффект RGB → GRB → RGB; так что мы можем написать aa = e . Аналогично bb = ( aba ) ( aba ) = e ; ( ab ) ( ba ) = ( ba ) ( ab ) = e ; поэтому у каждого элемента есть обратный.

Путем осмотра мы можем определить ассоциативность и замкнутость; отметим, в частности, что ( ba ) b = bab = b ( ab ).

Поскольку он строится из основных операций a и b , мы говорим, что набор { a , b } порождает эту группу. Группа, называемая симметрической группой S ₃ , имеет порядок 6 и неабелева (так как, например, ab ≠ ba ).

Группа переводов самолета

Перевод плоскости представляет собой жесткое движение каждой точку плоскости на определенное расстояние в определенном направлении. Например, «двигаться в северо-восточном направлении на 2 мили» - это перевод самолета. Два перевода, такие как a и b, могут быть составлены для формирования нового перевода a ∘ b следующим образом: сначала следуйте предписанию b , затем предписанию a . Например, если

a = "двигаться на северо-восток на 3 мили"

а также

b = "двигаться на юго-восток на 4 мили"

тогда

a ∘ b = "двигаться к пеленгу 8,13 ° на 5 миль" (пеленг измеряется против часовой стрелки и с востока)

Или если

a = "двигаться по пеленгу 36,87 ° на 3 мили" (пеленг измеряется против часовой стрелки и с востока)

а также

b = «двигаться к пеленгу 306,87 ° на 4 мили» (пеленг измеряется против часовой стрелки и с востока)

тогда

a ∘ b = "двигаться на восток на 5 миль"

(см. теорему Пифагора, почему это так, геометрически).

Совокупность всех перемещений плоскости с композицией в качестве операции образует группу:

Если a и b переводы, то a ∘ b также перевод.
Состав переводов ассоциативен: ( a ∘ b ) ∘ c = a ∘ ( b ∘ c ).
Идентификационным элементом этой группы является перевод с предписанием «двигайтесь на ноль миль в любом желаемом направлении».
Обратный перевод получается при прохождении того же расстояния в противоположном направлении.

Это абелева группа и наш первый (недискретный) пример группы Ли : группа, которая также является многообразием .

Группа симметрии квадрата: группа диэдра порядка 8

Цикл граф из DIH ₄
а это вращение по часовой стрелке ,
и б горизонтального отражения.

Dih ₄ как 2D точечная группа, D ₄ , [4], (* 4 •), порядок 4, с 4-кратным вращением и зеркальным генератором.	Dih ₄ в трехмерной диэдральной группе D ₄ , [4,2] ⁺ , (422), порядок 4, с образующей вертикального 4-кратного вращения порядка 4 и 2-кратным горизонтальным образующим

График Кэли Диа ₄

Другой график Кэли Dih ₄ , созданный горизонтальным отражением b и диагональным отражением c

Группы очень важны для описания симметрии объектов, будь то геометрические (например, тетраэдр ) или алгебраические (например, система уравнений). В качестве примера мы рассмотрим стеклянный квадрат определенной толщины (с буквой «F», написанной на нем, чтобы можно было различить различные положения).

Чтобы описать его симметрию, мы формируем набор всех тех жестких движений квадрата, которые не делают видимой разницы (кроме буквы «F»). Например, если объект, повернутый на 90 ° по часовой стрелке, по-прежнему выглядит так же, движение - это один элемент набора, например a . Мы также можем перевернуть его по горизонтали, чтобы его нижняя сторона стала его верхней стороной, а левый край стал правым. Опять же, после выполнения этого движения стеклянный квадрат выглядит так же, поэтому это также элемент нашего набора, и мы называем его b . Движение, которое ничего не делает, обозначается e .

Имея два таких движения x и y , можно определить композицию x ∘ y, как указано выше: сначала выполняется движение y , а затем движение x . В результате плита останется прежней.

Дело в том, что набор всех этих движений с композицией как действие образует группу. Эта группа является наиболее кратким описанием симметрии квадрата. Химики используют группы симметрии этого типа для описания симметрии кристаллов и молекул.

Создание группы

Давайте еще немного исследуем нашу группу симметрии квадратов. Сейчас мы имеем элементы , а , б и е , но мы можем легко сформировать больше: например , а ∘ с , также записывается как в ² , является 180 ° градусов поворота. a ³ - это вращение на 270 ° по часовой стрелке (или на 90 ° против часовой стрелки). Мы также видим, что b ² = e, а также a ⁴ = e . Вот интересный вопрос: что делает a ∘ b ? Сначала переверните по горизонтали, затем поверните. Попытайтесь представить себе, что a ∘ b = b ∘ a ³ . Кроме того, a ² ∘ b является вертикальным переворотом и равно b ∘ a ² .

Мы говорим, что элементы a и b порождают группу.

Эта группа порядка 8 имеет следующую таблицу Кэли :

∘	е	б	а	а ²	а ³	ab	а ² б	а ³ б
е	е	б	а	а ²	а ³	ab	а ² б	а ³ б
б	б	е	а ³ б	а ² б	ab	а ³	а ²	а
а	а	ab	а ²	а ³	е	а ² б	а ³ б	б
а ²	а ²	а ² б	а ³	е	а	а ³ б	б	ab
а ³	а ³	а ³ б	е	а	а ²	б	ab	а ² б
ab	ab	а	б	а ³ б	а ² б	е	а ³	а ²
а ² б	а ² б	а ²	ab	б	а ³ б	а	е	а ³
а ³ б	а ³ б	а ³	а ² б	ab	б	а ²	а	е

Для любых двух элементов в группе таблица фиксирует их состав.

Здесь мы написали « a ³b » как сокращение от ³ ∘ b .

В математике эта группа известна как группа диэдра порядка 8 и обозначается либо Dih ₄ , D ₄ или D ₈ , в зависимости от соглашения. Это был пример неабелевой группы: операция ∘ здесь не коммутативна , что видно из таблицы; стол не симметричен относительно главной диагонали.

Группа диэдра порядка 8 изоморфна группе перестановок, порожденной (1234) и (13)

.

Нормальная подгруппа

Эта версия таблицы Кэли показывает, что в этой группе есть одна нормальная подгруппа, показанная на красном фоне. В этой таблице r означает вращения, а f означает переворачивание. Поскольку подгруппа нормальная, левый смежный класс такой же, как правый смежный класс.

Групповой стол D ₄
	е	r ₁	r ₂	r ₃	f _v	f _h	f _d	f _c
е	е	r ₁	r ₂	r ₃	f _v	f _h	f _d	f _c
r ₁	r ₁	r ₂	r ₃	е	f _c	f _d	f _v	f _h
r ₂	r ₂	r ₃	е	r ₁	f _h	f _v	f _c	f _d
r ₃	r ₃	е	r ₁	r ₂	f _d	f _c	f _h	f _v
f _v	f _v	f _d	f _h	f _c	е	r ₂	r ₁	r ₃
f _h	f _h	f _c	f _v	f _d	r ₂	е	r ₃	r ₁
f _d	f _d	f _h	f _c	f _v	r ₃	r ₁	е	r ₂
f _c	f _c	f _v	f _d	f _h	r ₁	r ₃	r ₂	е
Элементы e, r ₁ , r ₂ и r ₃ образуют подгруппу , выделенную в красный (верхняя левая область). Левый и правый смежные классы этой подгруппы выделены в зеленый (в последнем ряду) и желтый (последний столбец) соответственно.

Бесплатная группа на двух генераторах

Свободная группа с двумя образующими и Ь состоит из всех конечных строк , которые могут быть образованы из четырех символов , ^-1 , б и б ^-1 , такие , что ни один не появится непосредственно рядом с A ^-1 и ни Ь не появляется непосредственно рядом с b ⁻¹ . Две такие строки можно объединить и преобразовать в строку этого типа, многократно заменяя «запрещенные» подстроки пустой строкой. Например: « abab ⁻¹a ⁻¹ », объединенное с « abab ⁻¹a », дает « abab ⁻¹a ⁻¹abab ⁻¹a », которое сокращается до « abaab ⁻¹a ». Можно проверить, что набор этих строк с помощью этой операции образует группу с нейтральным элементом - пустой строкой ε: = "". (Обычно кавычки опускаются, поэтому требуется символ ε!)

Это еще одна бесконечная неабелева группа.

Свободные группы важны в алгебраической топологии ; свободная группа с двумя образующими также используется для доказательства парадокса Банаха – Тарского .

Набор карт

Наборы карт от набора к группе

Пусть G - группа, а S - непустое множество. Множество отображений $M (S, G)$ само является группой; а именно для двух отображений f, g из S в G мы определяем fg как такое отображение, что $(fg) (x) = f (x) g (x)$ для любого $x \in S$ и $f -1$ как такое отображение, что $f -1 (x) = f (x) -1$ .

Возьмем отображения f , g и h в $M (S, G)$ . Для каждого x в S , f ( x ) и g ( x ) оба находятся в G , как и ( fg ) ( x ). Следовательно, fg также принадлежит $M (S, G)$ или $M (S, G)$ замкнуто. Для $((fg) h) (x) = (fg) (x) h (x) = (f (x) g (x)) h (x) = f (x) (g (x) h (x) ) = f (x) (gh) (x) = (f (gh)) (x), M (S, G)$ ассоциативно. И существует отображение я такое , что $я (х) = е$ , где е является единичным элементом G . Отображение i делает все функции f в $M (S, G)$ такими, что $if = fi = f$ , или i является единичным элементом $M (S, G)$ . Таким образом, $M (S, G)$ на самом деле группа.

Если G коммутативна, то $(fg) (x) = f (x) g (x) = g (x) f (x) = (gf) (x)$ . Следовательно, $M (S, G) тоже$ .

Группы автоморфизмов

Группы перестановок

Пусть G - множество биективных отображений множества S на себя. Тогда G образует группу при обычной композиции отображений. Эта группа называется симметрической группой и обычно обозначается Σ _S или . Единичный элемент G является тождественным отображением из S . Для двух отображений f и g в G биективны, fg также биективны. Следовательно, G замкнута. Состав карт ассоциативный; следовательно, G - группа. S может быть конечным или бесконечным. ${\ displaystyle \ operatorname {Sym} (S)}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {S}}$

Матричные группы

Если n - некоторое положительное целое число, мы можем рассмотреть множество всех обратимых матриц размера n на n , скажем, над вещественными числами . Это группа, в которой умножение матриц используется в качестве операции. Она называется общей линейной группой GL ( n ). Геометрически он содержит все комбинации вращений, отражений, растяжений и перекосов n- мерного евклидова пространства, которые фиксируют данную точку (начало координат ).

Если ограничиться матрицами с определителем 1, то мы получим другую группу, специальную линейную группу SL ( n ). Геометрически он состоит из всех элементов GL ( n ), которые сохраняют ориентацию и объем различных геометрических тел в евклидовом пространстве.

Если вместо этого ограничиться ортогональными матрицами, то мы получим ортогональную группу O ( n ). Геометрически он состоит из всех комбинаций поворотов и отражений, которые фиксируют начало координат. Это как раз те преобразования, которые сохраняют длину и углы.

Наконец, если мы наложим оба ограничения, то получим специальную ортогональную группу SO ( n ), состоящую только из вращений.

Эти группы являются нашими первыми примерами бесконечных неабелевых групп. Они также оказываются группами Ли . Фактически, большинство важных групп Ли (но не все) можно выразить как матричные группы.

Если эту идею обобщить на матрицы с комплексными числами в качестве элементов, мы получим дополнительные полезные группы Ли, такие как унитарная группа U ( n ). Мы также можем рассматривать матрицы с кватернионами как элементы; в этом случае нет четко определенного понятия определителя (и, следовательно, нет хорошего способа определить кватернионный «объем»), но мы все же можем определить группу, аналогичную ортогональной группе, симплектическую группу Sp ( n ).

Кроме того, эту идею можно рассматривать чисто алгебраически с помощью матриц над любым полем , но тогда группы не являются группами Ли.

Например, у нас есть общие линейные группы над конечными полями . Теоретик групп Дж. Л. Альперин написал, что «Типичным примером конечной группы является общая линейная группа n измерений над полем с q элементами. Студент, который знакомится с предметом с другими примерами, полностью вводится в заблуждение». ${\ Displaystyle GL (п, д)}$

Languages

In other projects