Сплит-октонион - Split-octonion
В математике , на сплит-октонионы являются 8-мерной неассоциативной алгеброй над вещественными числами . В отличие от стандартных октонионов , они содержат ненулевые элементы, которые необратимы. Также различаются сигнатуры их квадратичных форм : сплит-октонионы имеют расщепленную сигнатуру (4,4), тогда как октонионы имеют положительно-определенную сигнатуру (8,0).
С точностью до изоморфизма октонионы и расщепленные октонионы являются единственными двумя 8-мерными композиционными алгебрами над действительными числами. Они также являются единственными двумя алгебрами октонионов над действительными числами. Алгебры расщепленных октонионов, аналогичные расщепленным октонионам, могут быть определены над любым полем .
Определение
Конструкция Кэли-Диксона
Октонионы и расщепленные октонионы могут быть получены из конструкции Кэли-Диксона путем определения умножения на парах кватернионов . Введем новую мнимую единицу ℓ и запишем пару кватернионов ( a , b ) в виде a + ℓ b . Товар определяется правилом:
где
Если выбрать λ равным −1, мы получим октонионы. Если вместо этого принять +1, мы получим расщепленные октонионы. Можно также получить расщепленные октонионы посредством удвоения по Кэли-Диксону расщепленных кватернионов . Здесь любой выбор λ (± 1) дает расщепленные октонионы.
Таблица умножения
Основой для сплит-октонионов задается набором .
Каждый сплит-октонион можно записать как линейную комбинацию базисных элементов,
с действительными коэффициентами .
По линейности умножение сплит-октонионов полностью определяется следующей таблицей умножения :
множитель | |||||||||
умножаемое | |||||||||
Удобную мнемонику дает диаграмма справа, которая представляет таблицу умножения для сплит-октонионов. Это происходит от своего родительского октониона (одного из 480 возможных), который определяется следующим образом:
где - дельта Кронекера, а - символ Леви-Чивиты со значением, когда и:
со скалярным элементом и
Красные стрелки указывают возможные изменения направления, вызванные отрицанием нижнего правого квадранта родительского элемента, создавая разделенный октонион с помощью этой таблицы умножения.
Сопряженные, нормальные и обратные
Конъюгат из разделенных октонионов х задаются
как и с октонионами.
Квадратичная форма по х задается
Эта квадратичная форма N ( x ) является изотропной квадратичной формой, поскольку существуют ненулевые расщепленные октонионы x с N ( x ) = 0. С N расщепленные октонионы образуют псевдоевклидово пространство восьми измерений над R , иногда написано R 4,4 для обозначения сигнатуры квадратичной формы.
Если N ( x ) ≠ 0, то x имеет (двусторонний) мультипликативный обратный x −1, задаваемый формулой
Свойства
Сплит-октонионы, как и октонионы, некоммутативны и неассоциативны. Также, как октонионы, они образуют композиционную алгебру, поскольку квадратичная форма N мультипликативна. То есть,
Расщепленные октонионы удовлетворяют тождествам Муфанг и, таким образом, образуют альтернативную алгебру . Следовательно, по теореме Артина подалгебра, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна. Набор всех обратимых элементов (т.е. тех элементов, для которых N ( x ) ≠ 0) образуют петлю Муфанг .
Группа автоморфизмов расщепленных октонионов - это 14-мерная группа Ли, расщепленная вещественная форма исключительной простой группы Ли G 2 .
Векторная матричная алгебра Цорна
Поскольку расщепленные октонионы неассоциативны, они не могут быть представлены обычными матрицами (умножение матриц всегда ассоциативно). Цорн нашел способ представить их как «матрицы», содержащие как скаляры, так и векторы, используя модифицированную версию матричного умножения. В частности, определите вектор-матрицу как матрицу 2 × 2 вида
где a и b - действительные числа, а v и w - векторы в R 3 . Определим умножение этих матриц по правилу
где · и × - обычное скалярное произведение и векторное произведение 3-векторов. При обычном сложении и скалярном умножении набор всех таких матриц образует неассоциативную унитальную 8-мерную алгебру над вещественными числами, называемую векторно-матричной алгеброй Цорна .
Определим « определитель » вектор-матрицы по правилу
- .
Этот определитель является квадратичной формой на алгебре Цорна, удовлетворяющей правилу композиции:
Алгебра векторных матриц Цорна фактически изоморфна алгебре расщепленных октонионов. Напишите октонион в форме
где и - действительные числа, а v и w - чисто мнимые кватернионы, рассматриваемые как векторы в R 3 . Изоморфизм расщепленных октонионов на алгебру Цорна дается формулой
Этот изоморфизм сохраняет норму, поскольку .
Приложения
Сплит-октонионы используются при описании закона физики. Например:
- Уравнение Дирака в физике (уравнение движения частицы 1/2 со свободным спином, такой как, например, электрон или протон) может быть выражено с помощью собственной арифметики расщепленного октониона.
- Суперсимметричная квантовая механика имеет октонионное расширение.
- Алгебра расщепленных октонионов на основе Цорна может использоваться при моделировании локальной калибровочно-симметричной SU (3) квантовой хромодинамики.
- Задача качения шара без проскальзывания по шару радиуса в 3 раза большего, чем его группа симметрии, имеет расщепленную вещественную форму исключительной группы G 2 из-за того, что эту проблему можно описать с помощью расщепленных октонионов.
Рекомендации
- Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1 .
- Нэш, Патрик Л. (1990) "О структуре алгебры расщепленных октонионов", Il Nuovo Cimento B 105 (1): 31–41. DOI : 10.1007 / BF02723550
- Springer, TA; Ф. Д. Велдкамп (2000). Октонионы, йордановы алгебры и исключительные группы . Springer-Verlag. ISBN 3-540-66337-1 .